2.8 对数与对数函数-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

§2.7指数与指数函数 必备知识·整合 【知识梳理】 1.(2)根式(3)aa 2.vam 0 3.ats ans a"br 4.(1)R(2)R(0,+∞)(0,1)>1 0<y<1y>10<y<1增减 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.B[函数y=√3r-1的值域为[0，+∞)： 函数y= (3 的值域为(0，十∞)； 的值域为[0,1)： 函数y=3的值域为(0,1)U(1,十∞).故 选B.] 3.C[因为函数y=1.01x在（一∞，+o∞）上 是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5> 1.012.7>1>0.751,即c>b>a.] 4.5[-0+(号)”+×(-号) =-4+1+0.5×16=5.] 关键能力·突破 [例1] 解1)原式-（铝）-2× ()-+() [()]-2×[()]°-+品 -2×6-2+6 9 9 1-8-2+= (2)原式-2X3×3×(侵)×(2×3片 =6X2寸+分X3+寸+吉 =6×3=18. 即学即练1ABD[对于A,(a安)1· (a2)宁=a合+号=a,故正确：对于B, (xa-1y)a·(4ya)=4x÷xa·ya-a= 4xy°=4x,故正确：对于C,[(1-√2)2]立 (1+②)-1+(1+2)0=(2-1)2×÷ 1十E+1=反-1-（巨-1）+1=1，故错 误；对于D,2a3b子·(-5a子b寸）÷ (4√a*b)=[2×(-5)÷4]a3+号-寸 中寸--号。6，故正确.故 选ABD.] [例2](1)解析由题中f(x)=a2b的图 象可以观察出，函数f(x)=ar一b为减函数， 所以0<a<1.函数f(x)=a-b的图象是 将f(x)=a'的图象向左平移得到的，所以 b0.] 答案D (2)解析在同一平 y=2-21 面直角坐标系中画 出y=|22-2|与y y=2 =b的图象，如图 -y=b 所示， 01 .当0<b<2时，两 -y=-2 函数图象有两个交 点，从而函数f(x)=|22一2|一b有两个 零点. .实数b的取值范国是(0,2). 答案(0,2) 即学即练2B[由题意得，f(x)的定义域为 R,排除C,D:当x≥一2时，f(x)= (合)，因为0<名<1，所以f(0在 [一2，十∞)上单调递减，排除A,故选B.] [例3]解析a=1.3.6>1.3°=1，b -0.4 0.3 (合)“-() 3 -() 0.4 因为指数函蟹y一（子）是减西数， 所以()<()<()-1 所以bc<1,所以bca. 答案D [例4]解析 e+≥eb+πa,∴.ea π“≥e-6 一π①，令f(x)=er一πx,则 f(x)是R上的增函数，①式即为f(a) f(-b),∴.a≥-b,即a+b≥0. 答案D 例5]解()fx)=·2”+, a 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x), 即日 是+2 所以（日+(+安）-0，脚+1-0 解得a=一1， (2)由(1)知a=-1, 所以)--2[1,2 所以-2≥加（安-2）小 所以m≥+2长1,2] 令t=2,t∈[2,4]， 设y=+2,则y=1+子1[2,4. 由于y=1什上在[2,4]上单调递增， 117 所以n≥4十- 44 所以实数m的取值范国是[， +） 即学即练3(1)BD[对于A,当x<0时， f)-4h4+-(-4）h4K 42 0,所以函数f(x)在（一○，0）上单调递减， 故A错误；对于B,f(x)的定义域为R, -0=4十，片+2在+华+2 f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称，故B 正确；对于C,因为f(x)+f(一x)= 2(+)十>2，故画数)的圆象不 关于点(0,1)对称，故C错误：对于D,由 +1》-41+高+2<空得12 1 平·1+1<0，则<41<，可得 4 一1<x十1<1，解得一2<x<0,因此不等 式f(x十1)<25的解集是(-2,0)，故D正 确.故选BD.] (2)(-o∞，1][令t=|x-a,.y=e,t |x一a|在（-∞，a)上单调递减，在 [a,十∞)上单调递增.又y=t为增函数， ∴f(x)=exa在(-∞，a)上单调递减，在 [a,十∞)上单调递增，∴a≤1.] §2.8对数与对数函数 必备知识·整合 【知识梳理】 1.log N a N lg N In N 2.(1)0 1 N (2)Dlog M+logaN ②log.M-log.V③nlog.M 383 3.(0,+∞)R(1,0)y>0y<0y<0 y>0增减 4.y=log x y=x 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A[根据复合函数单调性的同增异减原则 可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0 x1,所以1≤x+1≤2，则log跑1≤1og2(x+1)≤ 1og22,即f(x)∈[0,1].] 3.C[函数y=log2(x十1)的图象是由函数 y=10g2x的图象向左平移一个单位长度得 到的，图象过定点(0,0)，函数定义域为 (一1，十∞)，且在(-1，十∞)上是增函数， 故选C.] 4.(2,4)[对于函数y=1og(x-1)十4， 令x一1=1，解得x=2,则y=4, 所以函数y=log,(x一1)十4的图象恒过定 点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).] 关键能力·突破 例1](1)解析对数的运算性质与换底公 式的应用（理性思维、数学应用）根据题意 21og2 三即3lok2 210g。2=-立，设t=-log2(a>1),则t>0, 5 终31一=之，得1二6(1二-1舍去) 6 1 所以1og2=6,所以a六=2，所以a=64. 答案64 (2)解析原式=1g35-1og0-1g14十 log(√2)2 35 -+1og÷2 =1og3125-1=log553-1=3-1=2. 答案2 即学即练1(1)A [1og1210=1g12= 1g3+21g22a+6] (2)e[根据条件，利用指数和对数的运算 求得答案.由f(ln2)f(ln4)=8,可得 aln2·aln4=8,即aln2+n4=a3ln2=8,也即 (aln2)3=23,a>0且a≠1，∴.aln2=2,两 边取对数得：ln2·lna=ln2,解得a=e.故 答案为：e,] [例2](1)解析当a>1时，函数y=logx 的图象为选项B、D中的曲线，此时函数y= 一x十a的图象与y轴的交点的纵坐标a应 满足a>1,B、D错误；当0<a<1时，函数 y=logar的图象为选项A、C中的曲线，此 时函数y=一x十a的图象与y轴的交点的 纵坐标a应满足0a<1,A正确」 答案A (2)解析画出f(x)= log3x的图象如图 所示， 因为ab,且f(a)=fb), 所以-log3a=log3b, 故1=b,且0<a<1, 4 令y=a十4b,所以y=a十 由对勾函数的性质可知y=a十善在(0,1) 上单调递减， 故y=a+4>1+4=5, 故a十4b的取值范围是(5，十∞). 答案D 即学即练2(1)C[对于A,由指数函数的 图象，可得a>1,则0<1<1，即函数g(x) 在(0，十∞)上单调递减，故A错误； 对于B,由指数函数的图象，可得0a<1, 则一>1，即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递增，故B错误； 对于C,由指数函数的图象，可得a>1,则 0<】<1,即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递减，故C正确； 对于D,由指数函数的图象，可得a>1,则 0<1<1,即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递减，故D错误.] (2)D[因为f(2)·g(2)>0,所以a>1, 所以f(x)=ax与g(x)=logx在其定义 域上分别是减函数与增函数，故选D.] [例3]解析，a=lg0.2<lg1=0, b=1og32>0,c=1og64>0, lg 2 色思片要器×品器 lg 6 .b<c,即c>b>a. 答案A [例4幻解析指数函数的性质十基本不等 式十指数、对数的运算（理性思维、数学探 索)因为（工1，y1),(x2,2)为函数y=2 的图象上两个不同的点，所以当=2， y2=25,且x1≠2，则25≠25，所以y1十 2=25+2:>2V2·25=2√2，所 以十业>√2西>0，所以1照1十业> 2 2 lg√2%百-十2，故选B. 2 答案B [例5]解析函数f(x)的定义域为{xx≠ ±3}，fx)-lhx+3|+lnx-3-ln2- 9l,令g(x)=|x2-9|,则f(x)=lng(x),由 函数g(x)的图象（图略）可知，当x∈ (一∞，一3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈（一3,0），x∈(3，十∞)时，g(x)单调递 增，由复合函数的单调性得f(x)的单调区间； 由f(-x)=ln(-x)2-9|=lnx2-9|= f(x)得f(x)为偶函数.故选A. 答案A 即学即练3(1)A[由题意得，x2-2x>0 →x∈(-∞，0)U(2,十∞)， 而函数y=x2一2x的对称轴为x=1, 所以函数y-x2-2x在(-∞，1)上单调递 减，在(1，十∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f(x)的单调递增区间为(2，十∞)， 又因为函数f(x)在(a,十)上单调递增， 所以a∈[2，十∞).] (2)4[由x-2x-8>0,得x>4或x -2, 所以f(x)的定义域为{x|x>4,或x<一2}. 又μ=x2-2x-8在(4，十∞)上单调递增， 在（一∞，一2）上单调递减， 而y=1g:在定义域上单调递增， 所以f(x)=1g(x2一2x一8)的单调递增区 间为(4，十∞)，故a=4.门 §2.9指、对、幂的大小比较 [例1]解析指数对数函数的性质十比较 大小由函数y=4,2单调递增可知，0< a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故 选B. 答案B [例2]解析由已知a=log÷πlog51=0, loga x-log,31.clog log 4 1 有0<og1<1,即0<c<1,踪上得a<c< b.故进A. 答案A [例3]解析取特殊值，令a=4,b=2, 则4=4宁，b=2寸，a>b,故A错误： ab-4X2寸=2，ba-2X4÷=2号， ∴，ab>ba,故B错误： log-log子--1，.logse-loge--2, alogic=-8,blogac=-2, .alog6c<log。c,logc>log6c,故C正确， D错误 答案C 即学即练1(1)B[法一（特殊值法）取 a-8-4.log.b-logs 4-jog 8 1og24 ，lgc=logE-子，loga=lgr8-6, 2 故A、C不正确；logb=1og24=4,loga= 1og8-号，logc-log8E-名，故B正确， D不正确，故选B.] (2)A[法一如图，作出函数=l0g.2x, 2=log.3x,y3=log0.4x的图象， 6 x 0.3 -ya=loga 由图可知，当x=6时，1og0.26>1og0.36> log0.46, 即a>b>c. 法二易知0>10g0.4>10g0.3>1og60.2, 所以1ogi0.4<1og60.3<1g50.2' 即log0.46<loga.36<1og0.26, 即a>b>c.] 例4灯)解析=log12=1+1g4门 1+0等1+0号=640=1+16g8 -1+慢器-1+号 21g2_31g2 1g 3 1g 5 21g2×lg5-31g2×1g3 lg3×lg5 =1g2(21g5-31g3) 1g3×1g5 _1g2(lg25-1g27)<0, 1g3×lg5 又b0,c>0,.bc: :1=1+1og8<1+log√25=1+ log55子-5 :1-1og26=1+1og23>1+log2VB-1+ g2=号a<号 a<c.a<c<b. 答案D (2)解析令f(x)=(20-x)lnx(x≥9)，则 f(.x)=-lnx+(20-x)· =-In x+ 20-1,显然当x≥9时，f(x)单调递减且 f(9)=-1n9+20-1<0,故f(x)在 [9,十∞)上单调递减，f(9>f(10)> f11),即11ln9>10ln10>9ln11,即ln911> ln1010>ln11°，可得911>1010>119，即 a<b.故选A 答案A [例5]解析4 °==l0g43Xlog45 384 1og43+1og4512 2 log:15 2 <1,a 1og43>0,b=log4>0,.a<b,:410<59, 4<5立，b=1og54<9 10 =0.9,c 203>2青= 1 (②)5 (1.44)宁 1 1.2》F>4.21) =1.>0.9,b<c, .a<b<c,故选D. 答案D [例6]解析因为53=125>(3宁)3=81， 所以5>3， 所以1g5>1bg3t-专，脚a>e 因为73=343<(5京)3=625，所以7<5云， 所以1og7<1og5京=专，即b<c 所以a>c>b. 答案D [例7]解析 构建函数=(1+） (x>0), 则f)-(+) 1+x1 令g(x)=ln1+ ）>0. 1 则g'(x)= x1+x2<0, 可知f(x)在(0，十∞)上单调递减， 又当x→十∞时，f(x)→0， 所以f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调 递增， 所以f(2024)>f(2023),即a<b. 答案a<b 即学即练2(1)B[因为a=2100, 所以1ga=lg2100=100lg2≈30.1， 因为b=365, 所以1gb=lg3的=65lg3≈31.0115， 因为c=930=30, 所以1gc=lg360=60lg3≈28.626， 所以lgb>lga>lgc,所以b>a>c.] (2c[由1ga=号→是-号→1 同理之_1-，构逸函数 b31 fx)=兰，f(x）=1-n上，当x>e时， f(x)=1-ln上<0，当0<x<e时，f(x) =1-ln工>0，可得函数f(x)在(0，e)上单 调递增，在(e,十o∞)上单调递减，而2<e< 3<4,又由h4-2,a≠2，c≠4，可得a 2 4,c=2,9>8→21n3>3n2→h3>1h2,又 3 2 由e<3,b≠3及f(x)的单调性，可知2< b<e,故c<b<a.故选C.] §2.10函数的图象 必备知识·整合 【知识梳理】 1.列表描点连线 2.y=f(x-a)y=f(x+a)y=f(x)+b y=f(x)-b 1 w 1AAx轴y轴 原点x轴下方右y轴 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)×(4)× x-1 2.A[y=21-x 1 2】 ，故函数为减函 数，可排除C、D,又当x=0时，y=2,排除 B,故选A.]第二章函数 §2.8对数与对数函数 【课标要求】1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数 函数y=a2(a>0,且a≠1)与对数函数y=logar(a>0,且a≠1)互为反函数. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 :【常用结论】 1.对数的概念 1.log.b·loga=1(a>0,且a≠1，b>0,且b≠1)， 一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫 1og。-b"=”1og.b(a>0,且a≠1，b>0) 做以a为底N的对数，记作x= ,其中 叫做对数的底数， 叫做真数 2.如图，给出4个对数函数的图象. y=logx 以10为底的对数叫做常用对数，记作 y=logx 以e为底的对数叫做自然对数，记作 -Y=I 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log。1 ,log a= y=log y=logx ,alog N= (a>0,且a≠1，N>0). 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限内，不同的 (2)对数的运算性质 对数函数图象从左到右底数逐渐增大 如果a>0,且a≠1，>0，N>0,那么： 【课前自测】 ①log.(MN)= 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 或“X”) ②1og.N (1)若M=N,则logM=log.N. ③log.M"= (n∈R). (2)函数y=log。2x(a>0,且a≠1)是对数函数. log.b () (3)对数换底公式：logb log a (a>0,且a≠1； (3)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是增函数. b>0:c>0,且c≠1). () 3.对数函数的图象与性质 (4)函数y=log2x与y=log号x的图象关于x轴 对称 () a>1 0<a<1 2.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域为[0,1]，则 ; 函数f(x)的值域为 ( x=1 =1 图 y=logx A.[0,1] B.(0,1) (1,0) 象 /1,0)x C.(-∞，1] D.[1,+∞) y=logx 3.函数y=log2(x十1)的图象大致是 定义域 值域 过定点 ,即x=1时，y=0 性 当x>1时， 当x>1时， 质 当0<x<1时， 当0<x<1时， 函数 函数 4.反函数 指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数 (a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关：4.已知函数y=log(x一1)十4的图象恒过定点P, 于直线 对称 则点P的坐标是 35 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 D关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 考点一对数式的运算 (2)已知函数f(x)=|log3x|,若a<b,且f(a)= [例1](1)(2024·全国甲卷·理T15,文T15)已 f(b),则a十4b的取值范围是 1 知a>1且 5 ,则a= logsa loga4 2 A.[2√2，+∞) B.(2√2，+∞) (2)计算：log35+21og反-l10g550 C.[5,+o∞) D.(5,+∞) -1og514= [听课记录] [听课记录 +/思维升华/++++++++++++++ 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函 数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴 /思维升华/+ 的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求 解决对数运算问题的常用方法 的选项 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相 化简. 应的函数图象问题，利用数形结合法求解： (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成 即学即练2(1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著 同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形 用及变形应用. 缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事 休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来 即学即练1(1)（必修一P127T5改编）设a= lg2,b=1g3,则1og1210= 研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的 1 1 图象特征，函数f(x)=a与g(x)=logx(a>0 A.2a+b B.26+a 且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是( C.2a+b D.26+a (2)(2025·八省联考河南卷)已知函数f(x)= a2(a>0,a≠1)，若f(ln2)f(ln4)=8,则a= 考点二对数函数的图象及应用 [例2](1)(2025·邵阳模拟)函数y=logx与y= 一x十a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (2)(2025·德阳模枞)已知f(x)=ar,g(x) logx,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x) 的图象是 头 精品教辅·智慧人生 36 第二章函数 考点三对数函数的性质及应用 、 角度3对数函数的性质及应用 角度1比较对数式的大小 :[例5](2025·郑州模拟)设函数f(x)=lnx十3|十 [例3]若a=1g0.2,b=log32,c=log64,则关于a, 1nx-3|,则f(x) ( b,c的大小关系，下列说法正确的是 ( ) A.是偶函数，且在（一∞，-3）上单调递减 A.c>b>a B.b>c>a B.是奇函数，且在（一3,3）上单调递减 C.c>a>b D.a>b>c C.是奇函数，且在(3，十∞)上单调递增 D.是偶函数，且在（一3,3）上单调递增 [听课记录 听课记录] 角度2解对数方程、不等式 [例4](2024·北京卷，4分)已知(x1,y1),(x2, y2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则 A.log2十业<I+2 +/思维升华/++++++++++++++ 2 2 求与对数函数有关的函数值域和复合函数 B.log21十2>西十2 的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定 2 2 义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函 C.log2 y+2<x1十x2 2 数的构成。 D.log2 y+2>十x2 即学即练3(1)已知函数f(x)=log2(.x2-2x)在 2 (a,十o∞)上单调递增，则a的取值范围是 () [听课记录] A.[2,十∞) B.[1,十∞) C.(-∞，1] D.(-∞，0] (2)(2025·义鸟模拟)已知函数f(x)=lg(x2-2.x 8)的单调递增区间为(a,十c∞)，则a= 温馨提示 请做课时分层检测（十四） §2.9指、对、幂的大小比较 【重点解读】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较 是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的 性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置 考点一直接法比较大小 听课记录] 角度1利用函数的性质 [例1](2024·天津卷)若a=4.20.3,b=4.20.3, c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 37 精品教辅·智慧人生