2.7 指数与指数函数-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 (2)若函数f(x)=x2-2bx十3a在区间[0,1]上 即学即练3(1)(2025·宣城模拟)已知y= 的最大值为M,最小值为m,则M一m的值 (x-m)(x-n)+2025(m<n),且a,β(a<β)是 ( 方程y=0的两根，则a,3,m,n的大小关系是 A.与a无关，与b有关 () B.与a有关，与b无关 A.a<m<n<B C.与a有关，且与b有关 B.m<a<n<p D.与a无关，且与b无关 C.m<a<<n +/思维升华/++++ 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类 D.a<m<<n 型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动， (2)(2025·镇江模拟)函数∫(x)=x2-4x十2在 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区 区间[a,b]上的值域为[一2,2]，则b一a的取值 间的位置关系，当含有参数时，要依据对称 范围是 轴与区间的位置关系进行分类讨论. 温馨提示 请做课时分层检测（十二） §2.7指数与指数函数 【课标要求】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实 例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单 应用. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 :4.指数函数及其性质 1.根式 (1)概念：一般地，函数y=a2(a>0,且a≠1)叫 (1)一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方： 做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 根，其中n>1,且n∈N*. (2)式子a叫做 ,这里n叫做根指数，a (2)指数函数的图象与性质 叫做被开方数。 a>1 0<a<1 (3)(a)n= 4)y 当n为奇数时a”= ly=a y=' (0,1) 当n为偶数时a”=|a (a,a≥0， 图象 -=1 0,2y=1 -a,a<0. 01x 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：a” 定义域 (a>0,m, n∈N*,n>1). 值域 正数的负分数指数幂：a” 过定点 ,即x=0时，y=1 (a>0,m,n∈N*,n>1). 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指 当x>0时， 当x<0时， 数幂没有意义· 性质 当x<0时， 当x>0时 3.指数幂的运算性质 a'as= ；(a')s (ab)'= 函数 (a>0,b>0,r,s∈R). 函数 精品教辅·智慧人生 32 第二章函数 【常用结论】 (3)指数函数y=a2与y=ax(a>0,且a≠1)的 1.指数函数图象的关键点(0,1，(1，)，(-1，） 图象关于y轴对称 (4)若am<a"(a>0,且a≠1)，则m<n.( 2.如图所示是指数函数(1)y=a2, 2) (3) 2.下列函数中，值域是(0，十∞)的为 (1) (4) (2)y=b,(3)y=c2,(4)y=d的 A.y=√3x-1 R=() 图象，则c>d>1>a>b>0,即在 第一象限内，指数函数y=a c=1-( D.y=3 (a>0,且a≠1)的图象越高，底数越大 3.(必修一P119T6改编)已知a=0.750.1,b= 【课前自测】 1.0127,c=1.013.5,则 () A.a>b>c B.a>c>b 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√/” C.c>b>a D.c>a>b 或“X”) (1)W-4)=-4. 4.(2025·福州质检)7-40+（分）°+0.25× (2)2a·2b=2b (-2） 正关键能力·突破 分类讲练以例求法>》> 考点一指数幂的运算 即学即练1（多选）下列运算（化简）中正确的有 [例1]计算： () a5)-2×(别 -2x/2+°+（） -2 A.(a)1.(a2)-÷=a B.(xa1y)a·(4ya)=4x (2)25×31.5×912 C.[(1-√2)2]克-(1+√2)-1+(1+√2)=3- [听课记录] 2√2 D.2a3w.(-5ab)÷(4a5)=-3ab 考点二指数函数的图象及应用 例2](1)函数f(x)=ax一6的 图象如图所示，其中a,b为 常数，则下列结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b0 (2)若函数f(x)=|2r一2|一b有两个零点，则实 数b的取值范围是 听课记录 +/思维升华/++++ (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数 指数幂统一为整数的分数指数暴，以便利用 法则计算，还应注意： +/思维升华/++++++++++++++ ①必须同底数暴相乘，指数才能相加。 对于有关指数型函数的图象问题，一殷是从 ②运算的先后顺序. 最基本的指数函数的图象入手，通过平移、 (2)运算结果不能同时含有根号和分数指 伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1 数，也不能既有分母又含有负指数 的大小关系不确定时应注意分类讨论. 十+十+十+十十十++十++++++++++十 33 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 +2 即学即练2函数∫(x) 的部分图象 角度3指数函数性质的综合应用 大致为 [例5]已知函数f(x)=8+a·2兰（a为常数，且 a·4x a≠0，a∈R)是奇函数 -1 (1)求a的值： -20 -20 (2)若Hx∈[1,2]，都有f(2.x)-mf(x)≥0成 B 立，求实数m的取值范围。 考点三指数函数的性质及应用 听课记录 角度1比较指数式的大小 [例3](2025·海口模拟)已知a=1.30.6,b= ()‘c=(》则 A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a [听课记录] +/思维升华/++++++叶 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方 程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大 小还可以借助中间量 角度2解简单的指数方程或不等式 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题， [例4](2025·福州多校联考)若ca十πb≥eb十 要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区 π“，下列结论一定成立的是 ( 间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一 A.a+b≤0 B.a-b≥0 性质分析判断. C.a-b≤0 D.a+b≥0 [听课记录 即学即练3(1)（多选）(2025·赤峰调研)已知 函数x)=4+十2则 A.f(.x)在(-∞，0)上单调递增 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.不等式/x+1)<空的解集是(-2,0) (2)(2025·莱阳摸底)已知函数f(.x)=exa (a为常数)，若f(x)在区间[1，十∞)上单调递 增，则实数a的取值范围是 温馨提示 请做课时分层检测（十三） 精品教辅·智慧人生 34§2.7指数与指数函数 必备知识·整合 【知识梳理】 1.(2)根式(3)aa 2.vam 0 3.ats ans a"br 4.(1)R(2)R(0,+∞)(0,1)>1 0<y<1y>10<y<1增减 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.B[函数y=√3r-1的值域为[0，+∞)： 函数y= (3 的值域为(0，十∞)； 的值域为[0,1)： 函数y=3的值域为(0,1)U(1,十∞).故 选B.] 3.C[因为函数y=1.01x在（一∞，+o∞）上 是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5> 1.012.7>1>0.751,即c>b>a.] 4.5[-0+(号)”+×(-号) =-4+1+0.5×16=5.] 关键能力·突破 [例1] 解1)原式-（铝）-2× ()-+() [()]-2×[()]°-+品 -2×6-2+6 9 9 1-8-2+= (2)原式-2X3×3×(侵)×(2×3片 =6X2寸+分X3+寸+吉 =6×3=18. 即学即练1ABD[对于A,(a安)1· (a2)宁=a合+号=a,故正确：对于B, (xa-1y)a·(4ya)=4x÷xa·ya-a= 4xy°=4x,故正确：对于C,[(1-√2)2]立 (1+②)-1+(1+2)0=(2-1)2×÷ 1十E+1=反-1-（巨-1）+1=1，故错 误；对于D,2a3b子·(-5a子b寸）÷ (4√a*b)=[2×(-5)÷4]a3+号-寸 中寸--号。6，故正确.故 选ABD.] [例2](1)解析由题中f(x)=a2b的图 象可以观察出，函数f(x)=ar一b为减函数， 所以0<a<1.函数f(x)=a-b的图象是 将f(x)=a'的图象向左平移得到的，所以 b0.] 答案D (2)解析在同一平 y=2-21 面直角坐标系中画 出y=|22-2|与y y=2 =b的图象，如图 -y=b 所示， 01 .当0<b<2时，两 -y=-2 函数图象有两个交 点，从而函数f(x)=|22一2|一b有两个 零点. .实数b的取值范国是(0,2). 答案(0,2) 即学即练2B[由题意得，f(x)的定义域为 R,排除C,D:当x≥一2时，f(x)= (合)，因为0<名<1，所以f(0在 [一2，十∞)上单调递减，排除A,故选B.] [例3]解析a=1.3.6>1.3°=1，b -0.4 0.3 (合)“-() 3 -() 0.4 因为指数函蟹y一（子）是减西数， 所以()<()<()-1 所以bc<1,所以bca. 答案D [例4]解析 e+≥eb+πa,∴.ea π“≥e-6 一π①，令f(x)=er一πx,则 f(x)是R上的增函数，①式即为f(a) f(-b),∴.a≥-b,即a+b≥0. 答案D 例5]解()fx)=·2”+, a 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x), 即日 是+2 所以（日+(+安）-0，脚+1-0 解得a=一1， (2)由(1)知a=-1, 所以)--2[1,2 所以-2≥加（安-2）小 所以m≥+2长1,2] 令t=2,t∈[2,4]， 设y=+2,则y=1+子1[2,4. 由于y=1什上在[2,4]上单调递增， 117 所以n≥4十- 44 所以实数m的取值范国是[， +） 即学即练3(1)BD[对于A,当x<0时， f)-4h4+-(-4）h4K 42 0,所以函数f(x)在（一○，0）上单调递减， 故A错误；对于B,f(x)的定义域为R, -0=4十，片+2在+华+2 f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称，故B 正确；对于C,因为f(x)+f(一x)= 2(+)十>2，故画数)的圆象不 关于点(0,1)对称，故C错误：对于D,由 +1》-41+高+2<空得12 1 平·1+1<0，则<41<，可得 4 一1<x十1<1，解得一2<x<0,因此不等 式f(x十1)<25的解集是(-2,0)，故D正 确.故选BD.] (2)(-o∞，1][令t=|x-a,.y=e,t |x一a|在（-∞，a)上单调递减，在 [a,十∞)上单调递增.又y=t为增函数， ∴f(x)=exa在(-∞，a)上单调递减，在 [a,十∞)上单调递增，∴a≤1.] §2.8对数与对数函数 必备知识·整合 【知识梳理】 1.log N a N lg N In N 2.(1)0 1 N (2)Dlog M+logaN ②log.M-log.V③nlog.M 383 3.(0,+∞)R(1,0)y>0y<0y<0 y>0增减 4.y=log x y=x 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A[根据复合函数单调性的同增异减原则 可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0 x1,所以1≤x+1≤2，则log跑1≤1og2(x+1)≤ 1og22,即f(x)∈[0,1].] 3.C[函数y=log2(x十1)的图象是由函数 y=10g2x的图象向左平移一个单位长度得 到的，图象过定点(0,0)，函数定义域为 (一1，十∞)，且在(-1，十∞)上是增函数， 故选C.] 4.(2,4)[对于函数y=1og(x-1)十4， 令x一1=1，解得x=2,则y=4, 所以函数y=log,(x一1)十4的图象恒过定 点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).] 关键能力·突破 例1](1)解析对数的运算性质与换底公 式的应用（理性思维、数学应用）根据题意 21og2 三即3lok2 210g。2=-立，设t=-log2(a>1),则t>0, 5 终31一=之，得1二6(1二-1舍去) 6 1 所以1og2=6,所以a六=2，所以a=64. 答案64 (2)解析原式=1g35-1og0-1g14十 log(√2)2 35 -+1og÷2 =1og3125-1=log553-1=3-1=2. 答案2 即学即练1(1)A [1og1210=1g12= 1g3+21g22a+6] (2)e[根据条件，利用指数和对数的运算 求得答案.由f(ln2)f(ln4)=8,可得 aln2·aln4=8,即aln2+n4=a3ln2=8,也即 (aln2)3=23,a>0且a≠1，∴.aln2=2,两 边取对数得：ln2·lna=ln2,解得a=e.故 答案为：e,] [例2](1)解析当a>1时，函数y=logx 的图象为选项B、D中的曲线，此时函数y= 一x十a的图象与y轴的交点的纵坐标a应 满足a>1,B、D错误；当0<a<1时，函数 y=logar的图象为选项A、C中的曲线，此 时函数y=一x十a的图象与y轴的交点的 纵坐标a应满足0a<1,A正确」 答案A (2)解析画出f(x)= log3x的图象如图 所示， 因为ab,且f(a)=fb), 所以-log3a=log3b, 故1=b,且0<a<1, 4 令y=a十4b,所以y=a十 由对勾函数的性质可知y=a十善在(0,1) 上单调递减， 故y=a+4>1+4=5, 故a十4b的取值范围是(5，十∞). 答案D 即学即练2(1)C[对于A,由指数函数的 图象，可得a>1,则0<1<1，即函数g(x)