2.2 函数的单调性与最值-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

当-2≤x<1时，f(x)=x2,值域为[0,4]，1 因为f(x)=a 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 当x≥1时，f(x)=-x十2，值域为(-∞，1]， 对于C,(换元法)设t=√x-1,则x=2+1, 故f(x)的值域为（一∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)=一x十2=2，无解，当 所以f-)-(+) 且0y-20+》-1=2()°+点. -2≤x<1时，令f(x)=x2=2,解得x= a(x2-x1） 由≥0，再结合函数的图象（如图②所示）， 一√2，故C正确； +）- 当-2≤x1时，令f(.x)=x2<1,解得x∈ 由于-1<1<x2<1, 可得函数的位城为[点十）】 (-1,1),当x≥1时，令f(x)=-x+21,: 所以x2一x1>0,x1一1<0，x2一1<0， 对于D,函数的定义域为[1，十∞)， 解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为： 故当a>0时，f(x1）-f(x2)>0, (-1,1)U(1,+∞)，故D错误. :y=√x+I与y=√x-1在[1，+∞)上均单 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上 答案BC 调递增，∴.y=√x+1+√/x-1在[1，十∞) 单调递减； (2)解析分段函数求值因为3>0，所以 上为增函数， 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, f(3)=5. 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上 .当x=1时，ymn=√2，即函数的值域为 答案√ 单调递增。 [2,+o∞). 即学即练3(1)D[因为当x>0时，f(x)= 方法二导数法 答案ACD f(.x-1)-f(x-2), 所以f(x十1)=f(x)-f(x一1)，f(x+1)= f(x)=ax'(x-1)-ax(x-1)' :[例5]解析因为函数f(x)=lnx+2x在 (x-1)2 定义域(0，十∞)上为增函数，且f(1)= -f(x一2)， a(r-1)-ar_ 1n1+2=2,所以由f(a2-4)<2得，fa2-4) 即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+ (x-1)2 (x-1)2 <f(1),所以0<a2-4<1,解得-5<a 3)=f(x), 故当a>0时，f(x)0,函数f(x)在（一1,1 -2或2<a<√5. 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)= 1)上单调递减； -f(-1)=号-1=1，则a=4.故选D.] 当a<0时，f(x)>0,函数f(x)在(-1,1D[例6解析“分段画数的单调性十一元二 答案(-√5，-2)U(2,√5) 上单调递增. (2)BCD[对于A,因为f(5)=-(3)2+3:即学即练1(1)B[g(x)= 次函数的单调性（理性思维，数学探索） x·x-1|+1= 逻辑分析法十数形结合法因为函数f(x) =0,所以f(f(√3)=f(0)=2,所以A错： 在R上单调递增，且当x<0时，f(x)= 误；对于B,当x<1时，由f(x)=一1，得 (x2-x+1,x≥1， -x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2a.r-a x十2=一1，解得x=一3，当x≥1时，由 1-x2+x+1,x<1, 3-2-0 23本 在（一∞，0）上单调递增，所以一a≥0，即 f(x)=-1,得-x2十3=-1，x2=4,解得！ 画出函数图象，如图 所示， -2 a0:当x≥0时，f(x)=e2十ln(x十1)，所 x=2或x=-2(舍去)，综上，x=2或x= 以函数f(x)在[0，十∞)上单调递增.若函 一3，所以B正确；对于C,当x<1时，由 根据图象知，函数的单调递减区间为 数f(x)在R上单调递增，则一af(0)=1, f(x)2,得x十22，解得x<0,当x≥1 2, 即a≥一1.综上，实数a的取值范围是 时，由f(x)2,得-x2十3<2，解得x>1, 综上，f(x)<2的解集为（一∞，0）U(1, 1.] [-1,0].故选B. 答案B 十∞)，所以C正确；对于D,当x<1时，x十 (2)(一9,1)和(2，十∞) 即学即练2(1)C[由函数f(x)= 23,当x≥1时，一x2+32,所以f(x)的 [f(x)= Ix2-2x,x2, 值域为(-∞，3)，因为Hx∈R,a>f(x),所 x2十2x,x2. ln(x十1)，t≥0，的图象（图略）可得f(x) -2.x2,x<0 以a≥3，所以D正确.] 出f(x)的大致图象，如图所 在R上是增函数，则不等式f(x十2)< §2.2函数的单调性与最值 示，由图象知f(x)的单调递 f(x2+2x)等价于x十2<x2+2x,即x2+ 增区间是（一∞，1）和(2，十∞).] -2>0,解得x>1或x<一2，则原不等式 必备知识·整合 :[例3]解析因为对任意的工1，x2∈(-∞，0] 的解集为(-∞，一2)U(1,十∞).] 【知识梳理】 1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2) ≠)，有）-f2 <0. (2)(-∞，0][由题意知函数y=ax2一2 2.f(r)M f(r)=M f(r)M f(rn)=M 1a<0, 所以f(x)在（一∞，0]上单调递减， 在(1，十∞)上单调递减，故 【课前自测】 ≤1或a=0, 又f(x)为偶函数， a 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 解得a0.] 2,A[y=-2x十1在R上是减函数，故A1 则f(2)f(3)f(4), 正确 又f(-2)=f(2). §2.3函数的奇偶性、周期性 y=x2+1在(-，0)上单调递减，在(0， 所以f(-2)<f(3)<f(4) 必备知识·整合 十∞)上单调递增，故B错误； 答案A 【知识梳理】 y=√x在[0，十∞)上是增函数，故C错误； ,[例4]解析函数的定义域为[1，十∞)， 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)》 y=2x在R上是增函数，故D错误.] y=√Wx+1与y=Wx-1在[1，十∞)上 原点 3.A[y=- x十1在（一1，十∞）上单调递增， 均为增函数， :2.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数 代x)=+I+V-1在[1，十∞)上为【课前自测】 则y=一x十在区间[1,2]上单调递增， :1.(1)×(2)×(3)/(4)× 单调递增函数， !2.C[因为f(x)为奇函数，所以f(一1)= 所以ymax=一2十1 1 1 小当x=1时，f(x)min=反 -f(1)=5. 答案√2 :3.B[由f(x十2)=f(x)可知，函数f(x)的 1号2[由于)=马在[2.61上单润 2 【微拓展】解析对于A,(配方法)y= 周期为2 x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+1, 递减， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图①所 故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为 示)，可得函数的值域为[2,6)， f2021.5)=f(2024+)-f(2) f6)=.] 1 5 4 +1=] 关键能力·突破 4.(-2,0)U(2,5][由图象可知，当0<x [例1]解析y=x2在（一∞，0]上单调递 4 1=12-2x43 y=2(+1)-1 2时，f(x)>0:当2<x≤5时，f(x)<0,又 减，在(0，十∞)上单调递增，故A错误； 3 f(x)是奇函数，.当一2<x<0时，f(x)< y=x在R上为增函数，故B正确； 2 2 0,当-5x<-2时，fx)>0.综上，f(x)<0 y=一√x在[0，十∞)上单调递减，故C 的解集为(-2,0)U(2,5].] 错误； 01234x o士234广：关键能力·突破 在(-0,0)上单调递减，在(0，十∞) ① ② :[例1](1)解析对于A,函数的定义域为 yx 对于B,(分离常数法)y= 2r+1 上单调递减，故D错误. x-3 {≠受十红，∈乙}，关于原点对称，且 答案B 7 7 f(-x)=tan(-x)=一tanx=-f(.x),故 [例2]解方法一定义法 2(x-3)+7=2+ x-3 一3，显然 3≠0， 函数为奇函数； 设-1<x1<x2<1, y≠2. 对于B,函数的定义域为R,关于原，点对称， 379高三总复习·数学 考点三分段函数 +/思维升华/++++++++++++++ 1x2,-2≤x<1, 分段函数求值问题的解题思路 [例3)(1)（多选）已知函数f(x)= 则 -x+2,x>1, (1)求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应 下列关于函数f(x)的结论正确的是 从内到外依次求值。 A.f(x)的定义域为R (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段 B.(.x)的值域为(-∞，4] 函数定义区间的各段上，然后求出相应自变 C.若f(x)=2,则x的值是一√2 量的值，切记要代入检验， D.f(x)<1的解集为(-1,1) 即学即练3(1)(2025·广州联考)已知函数f(x)= (2)(2024·上海卷，4分)已知函数∫(x)= 1-a·2r,.x≤0， N元，x>0 若f(2024)=1,则 则f(3)= f(x-1)-f(x-2),x>0, 1,x≤0 实数a的值为 ( [听课记录] A.0 B.1 C.2 D.4 (+2,x<1, (2)(多选)已知函数f(x)= 则 -x2+3,x>1, A.f(f(√3))=3 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞，0)U(1,十∞) D.若Hx∈R,a>f(x),则a≥3 温馨提示 请做课时分层检测（七） §2.2函数的单调性与最值 【课标要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数 单调性的简单应用. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>》> 【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 少 y=f(x) y=f(x) 增函数 减函数 图 Af(x2) ifx2) 象 x月 般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I二D,如果 修 x,x2∈I 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下 降的 定 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 义 ,那么就称函 ,那么就称函 (2)单调区间的定义 数f(x)在区间I上单调递数f(x)在区间I上单调 增，特别地，当函数f(x)递减，特别地，当函数f(x) 如果函数y=∫(x)在区间I上单调递增或单调 在它的定义域上单调递增在它的定义域上单调递减 递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 时，我们就称它是增函数 时，我们就称它是减函数 (严格的)单调性，区间I叫做y=∫(x)的单调 区间. 精品教辅·智慧人生 20 第二章函数 2.函数的最值 :【课前自测】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实 前提 或“X”) 数M满足 (1)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x) 为增函数. () (1)Vx∈D,都有 (1)Hx∈D,都有 (2)函数y=f(x)在[1，十∞)上是增函数，则函 条件 数的单调递增区间是[1，十∞). (2)3xo∈D,使得 (2)3xo∈D,使得 (3)函数y=的单调递减区间是(-∞，0)U(0, 十∞). () M是函数y=f(x)的最 M是函数y=f(x)的最 (4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D, 结论 大值 小值 且x1≠x2有(x1一x2)[∫(x1)-f(x2)]>0,则 函数f(x)在区间D上是增函数. () 【常用结论】 2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是( 1.x1∈1且x1≠xr2,有f)-fx2 >0(< A.y=-2.x+1 B.y=x2+1 x1一x2 C.y= D.y=2 0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)台f(x) 3.函数y=一 在区间I上单调递增（减）. 十在区间1,2]上的最大值为《) 2.在公共定义域内，增函数十增函数=增函数，减 A- B司 函数十减函数=减函数. C.-1 D.不存在 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义 2 域内与y=一x)y=的单调性相反 4.(必修-P81[例5]改编)函数f()=x∈ [2,6]),则f(x)的最小值为 ,最大值为 4.复合函数的单调性：同增异减. 。关键能力·突破 分类讲练以例求法> 考点一确定函数的单调性 听课记录] 角度1函数单调性的判断 [例1](2025·广东模拟)下列函数在R上为增函 数的是 ( A.y=x2 B.y=x C.y=-√元 D.y=1 x 听课记录 十 /思维升华/+++++++++ 角度2利用定义证明函数的单调性 确定函数单调性的四种方法 [例2]试讨论函数f)=晋a≠0)在(-1，) (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性 质法 上的单调性 21 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 即学即练1(1)函数g(x)=x·x一1|十1的单 【微拓展】 调递减区间为 求函数的值域（最值）的常用方法 A(-,] (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函 数求值域问题。 B2刂 (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定 义域来确定函数的值域 C.[1,十o∞) (3)数形结合法. D.(-∞，2]U[1,+∞) (4)换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来 (2)函数f(x)=|x一2|x的单调递增区间为 的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用 配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个 考点二函数单调性的应用 分式和的形式： 角度1比较函数值的大小 [典例]（多选）下列函数中，值域正确的是 [例3]定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的 ( ∈(-∞，0](m≠2)，有)-fx2) A.当x∈[0,3)时，函数y=x2-2x+3的值域 x1一2 0,则 为[2,6) A.f(-2)<f(3)<f(4) B.函数y= 2x+十1的值域为R x一3 B.f(-2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(-2) C函数y=2x一可的值域为[货+四 D.f(4)<f(-2)<f(3) D.函数y=√x+I十x一I的值域为[2，十∞) 听课记录 角度3解函数不等式 [例5]已知函数f(x)=1nx十2，若f(a2-4)< 2,则实数a的取值范围是 听课记录] 角度2求函数的最值 [例4]函数f(x)=√x十十√x-1的最小值为 角度4求参数的取值范围 [例6](2024·新课标I卷)已知函数f(x)= 听课记录 1-x2-2a.x-a,x<0 在R上单调递增，则a的取 c+ln(x+1),x≥0 值范围是 ( A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+o∞) 听课记录] 精品教辅·智慧人生 22 第二章函数 +思维升华/+++++十++++++ ln(x+1),x0, 即学即练2(1)已知函数f(x) (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个 -2x2x<0, 单调区间内，然后利用函数的单调性解决 则不等式f(x十2)<f(x2+2x)的解集是 (2)求解函数不等式时，由条件脱去“∫”，转化 A.(-2,1) B.(0,1) 为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域 C.(-∞，-2)U(1,+∞) D.(1,+∞) (3)利用单调性求参数的取值（范围）.根据其 (2)已知函数f(x)是R上的减函数，若f(a.x2 单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式 2x)在(1，十∞)上是增函数，则实数a的取值范 (组)或先得到其图象的升降，再结合图象求 围是 解.对于分段函数，要注意衔接点的取值。 温馨提示 请做课时分层检测（八） §2.3 函数的奇偶性、周期性 【课标要求】1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简 单的应用 □必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 【知识梳理】 ;2.函数周期性常用结论 1.函数的奇偶性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： 奇偶性 (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). 定义 图象特点 (2)若f(x+a)= r则T=2a(a>0). 1 般地，设函数f(x)的定义域为 D,如果Vx∈D,都有-x∈D,且 【课前自测】 偶函数 关于 对称 ,那么函数f(x)就叫 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” 做偶函数 或“X”) (1)函数y=x2在x∈(0，十o∞)上是偶函数.() 般地，设函数f(x)的定义域为 (2)若函数∫(x)为奇函数，则一定有(0)=0. D,如果Vx∈D,都有-x∈D,且 奇函数 关于对称 () ,那么函数f(x)就 叫做奇函数 (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z,n ≠0)也是函数f(x)的周期 () 2.函数的周期性 (4)对于函数y=∫(x),若存在x,使∫（一x)= (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为 一f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.() D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个2.若函数∫(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数 时，f(x)=x2一6.x,则f(一1)等于 () y=∫(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 A.-7 B.-5 C.5 D.7 函数的周期. 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)=f(x), 当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+1,则f(2024.5)等于 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 ( 期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. A号 C.2 D.1 【常用结论】 4.设奇函数f(x)的定义域为 1.函数奇偶性常用结论 [- 5,5],若当x∈ 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单 [0,5]时，f(x)的图象如图所 调性：偶函数在关于原点对称的区间上具有相反 示，则不等式(x)<0的解 的单调性， 集为 23 精品教辅·智慧人生