7.3 定义、命题、定理（讲义）数学新教材人教版七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 知识点一 定义 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 即学即练 在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 知识点二 命题及其组成 ★1、命题的概念：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题. 【注意】 （1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. （2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. ★2、命题的组成 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意. 即学即练 把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么的形式 　 ． 知识点三 真假命题 ★1、真命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题， ★2、假命题：被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 【注意】 真命题-------可以用推理的方法； 假命题-------可以举反例来说明. 反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 即学即练 1．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 2．用举反例说明命题“若，则”是假命题，可以举例的一组实数是（    ） A． B． C． D． 知识点四 定理 ★定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据． 【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实. 如直线公理：两点确定一条直线. 即学即练 1．下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 2．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 知识点五 证明 ★1、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 【注意】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. ★2、证明的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 即学即练 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 题型01 定义的判断 / 数学对象的定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义． 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·月考）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 4．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 题型02 命题的判断 / 可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 2．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 题型03 命题的改写 / 正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 命题改写的原则是不改变原题的原意． 典｜例｜精｜析 【例题3】（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式： ． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 3．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 题型04 真假命题的判段 / 真假命题的判断，一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 典｜例｜精｜析 【例题4】（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05 反例 / 本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例是指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列选项中可以用来证明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 4．（25-26八年级上·全国·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 题型06 定理的判断 / 经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．基本事实是无需证明的公认真命题. 典｜例｜精｜析 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 推理与证明 / 本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 典｜例｜精｜析 【例题7】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，被直线所截，分别在和的内部作射线和射线．现有以下三个条件：①；②；③． (1)请你以①②作为题设，③作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出这个命题； (2)判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出理由；若为假命题，请举出反例． 3．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 5．（24-25七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 知识点一 定义 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 即学即练 在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征； ∴选项B是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义． 故选：B． 知识点二 命题及其组成 ★1、命题的概念：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题. 【注意】 （1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. （2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. ★2、命题的组成 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意. 即学即练 把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么的形式 　 ． 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”． 【详解】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行， 改写成如果…那么…的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是理解命题的题设和结论的定义．题设是命题的条件部分，结论是由条件得到的结论． 知识点三 真假命题 ★1、真命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题， ★2、假命题：被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 【注意】 真命题-------可以用推理的方法； 假命题-------可以举反例来说明. 反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 即学即练 1．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据不等式的性质、等式的性质、平行线的性质、平面内两直线的位置关系逐项分析即可得解． 【详解】解：A、取，则但，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； B、若，则两边平方得，该选项说法正确，是真命题，符合题意； C、只有当两条直线平行时，内错角才相等，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； D、不相交的两条直线可能不在同一平面（如异面直线），不一定是平行线，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 故选：D． 2．用举反例说明命题“若，则”是假命题，可以举例的一组实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例，根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可． 要说明命题为假命题，需找到满足但的一组实数，利用绝对值的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵取，时， ∴，，满足， 又∵，即不成立， ∴此组实数可作为反例证明原命题是假命题， A中，满足，不符合要求； B中，不满足； D中，不满足，均不符合反例条件， 故选：C． 知识点四 定理 ★定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据． 【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实. 如直线公理：两点确定一条直线. 即学即练 1．下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答． 【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实． 故选：C． 2．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 知识点五 证明 ★1、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 【注意】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. ★2、证明的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 即学即练 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）解：， ． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴．（同位角相等，两直线平行） 题型01 定义的判断 / 数学对象的定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义． 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，掌握定义是对名称或术语的含义进行描述，据此判断选项是解题的关键． 根据定义的概念，判断每个选项是否是对某个名称或术语的含义进行描述． 【详解】解：A、“直角三角形的两个锐角互余”，是直角三角形的性质，不是定义，不符合题意； B、“同角或等角的余角相等”，是余角的性质，不是定义，不符合题意； C、“点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度”，是对点到直线的距离这个术语的含义进行描述，属于定义，符合题意； D、“两直线平行，内错角相等”，是平行线的性质，不是定义，不符合题意． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·月考）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【分析】定义是对数学概念或术语的精确描述，选项D符合方程的定义，其他选项均为性质或非数学语句． 本题考查了定义的特性，熟练掌握定义的特性是解题的关键． 【详解】解：已知定义是描述概念本质的语句， A、是垂线段的性质，不符合题意； B、不是数学语句，不符合题意； C、是正方形的性质，不符合题意； D、是方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键． 定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 【详解】解：定义是给出术语含义的语句， 选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明， 选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】D 【分析】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 4．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型02 命题的判断 / 可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 2．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，解答的关键是理解命题定义：判断一件事情的句子，叫做命题．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据命题定义，命题是能判断真假的陈述句， A为祈使句（指令），不是陈述句，不是命题； B为疑问句，不是陈述句，不是命题； C为祈使句，不是陈述句，不是命题； D为陈述句，且能判断真假，是命题． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义． 命题是可以判断真假的陈述句，据此逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项是可判断真假的陈述句，属于命题； B选项是操作类指令，不是可判断真假的陈述句，不属于命题； C选项是可判断真假的陈述句，属于命题； D选项是可判断真假的陈述句，属于命题； 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 题型03 命题的改写 / 正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 命题改写的原则是不改变原题的原意． 典｜例｜精｜析 【例题3】（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0 【分析】本题主要考查了命题，原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写． 【详解】解：命题“正数的绝对值大于0”中，“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”． 故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． 3．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题； （2）如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式，是真命题． 【分析】（1）根据命题的概念把原命题改写成“如果…那么…”的形式，根据对顶角相等判断真假命题； （2）根据命题的概念把原命题改写成“如果…那么…”的形式，根据等式的性质判断真假命题． 【详解】解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题； （2）如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式，是真命题． 【点睛】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 【答案】(1)如果内错角相等，那么两直线平行 (2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 (3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键， 先确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法，即可求解（1），（2），（3），（4）． 【详解】（1）解：∵命题：内错角相等，两直线平行， ∴题设是内错角相等，结论是两直线平行， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行； （2）解：∵命题：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， ∴题设是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，结论是两个三角形全等， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 （3）解：∵命题：直角三角形两个锐角互余， ∴题设是直角三角形，结论是两个锐角互余， 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （4）解：∵命题：同角的余角相等 ∴题设：两个角是同一个角的余角，结论是两个角相等， 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 题型04 真假命题的判段 / 真假命题的判断，一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 典｜例｜精｜析 【例题4】（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题． 【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题； ∵如果，则，∴B是真命题； ∵正数总是大于负数，∴C是真命题； ∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，平行线的性质与判定，平方的性质，根据平行线的性质与判定定理可判断A、B；根据平方的性质可判断C、D． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； C、如果，那么，原命题是真命题，不符合题意； D、如果，那么，原命题是假命题，符合题意； 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题． 故选：D 3．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．选项A错误，因为两个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角；选项B、C、D均为真命题，符合几何性质． 【详解】解：A、两个锐角之和可能小于（如），不一定为钝角，是假命题，符合题意； B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 题型05 反例 / 本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例是指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子. 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查假命题的定义，正确掌握判断假命题的方法是解题的关键． 找到一组a、b的值，使得成立但不成立即可说明这个命题是假命题． 【详解】解：说明命题“若，则”是假命题，需要满足且， A、 ，， ，且，不符合反例条件； B、 ，， ，且，符合反例条件； C、 ，， ，且，不符合反例条件； D、 ，， ，即不成立，不满足命题的条件； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，举反例时，所举的例子要符合原命题的条件，但是不符合原命题的结论，据此求解即可． 【详解】解：反例需满足且， 选项A：，不满足，该选项不符合题意； 选项B：，，但，该选项不符合题意； 选项C：，不满足，该选项不符合题意； 选项D：，，且，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查举反例说明假命题，根据题意，需找反例使成立但不成立，即 ，进行判断即可． 【详解】解：对于选项C：， ， ∵， ， ∴，即成立， 但， ∴，即不成立， 故命题为假命题． 其他选项均不支持反例：A、B、D 中 且均成立； 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列选项中可以用来证明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 证明命题为假需反例满足前提（）但结论不成立（），据此即可求解． 【详解】解：∵反例需满足且， ∴选项C中，且，符合反例条件， 选项A、B、D均不满足：A中，B中和不等于，D中和不等于， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 【答案】(1)假命题，反例见解析； (2)真命题． (3)假命题，反例见解析． 【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例． （1）根据绝对值的性质，即可解答； （2）根据能被5整除的数的特征即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是． （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角． 题型06 定理的判断 / 经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．基本事实是无需证明的公认真命题. 典｜例｜精｜析 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可． 【详解】解：设，则的余角为：，的余角为， ∵， ∴， 即等角的余角相等， ∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较简单． 根据命题与定理的定义与意义分别判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，选项说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，选项说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意； D、从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实得到的真命题就是定理，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 题型07 推理与证明 / 本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 典｜例｜精｜析 【例题7】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，被直线所截，分别在和的内部作射线和射线．现有以下三个条件：①；②；③． (1)请你以①②作为题设，③作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出这个命题； (2)判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出理由；若为假命题，请举出反例． 【答案】(1)见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查命题和平行线的判定，垂直的定义， （1）根据命题的规则写出结论即可； （2）有垂直得，进一步得到，根据平行线的判定即可． 【详解】（1）解：如果，，，那么； （2）解：该命题为真命题，理由如下： ，， ， ， ， ， 则． 3．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)此命题为真命题，理由见解析 【分析】（1）根据题意，补充条件即可； （2）根据平行线的性质可得：，然后根据角平分线的定义可得：， ，从而得出：，再根据平行线的判定，即可证出：． 【详解】（1）解：根据题意：已知：，、分别平分和，则； （2）解：此命题为真命题；理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查的是平行线的性质和判定，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等和平行线的判定：同位相等，两直线平行，是解决此题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【详解】（1）解：第一种：如果，，那么； 第二种：如果，那么； 第三种：如果，那么． （2）解：证明第一种：∵， ， ∵，， ∴， ∴； 证明第二种：， ， ， ， ， ； 证明第三种：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $