专题02 整式乘法及其应用的五种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题02 整式乘法及其应用的五种考法 类型一、基本运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 类型二、（x+p）（x+q）型多项式乘法 1．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则可得且，再列出所有符合题意的整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，（a、b为整数）． 列出所有整数对a、b满足： 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． ∴ m的可能值为或． 故选D． 3．已知，为常数，且为恒等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 4．若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则的应用，利用多项式乘以多项式法则对等式左边进行变形，再根据多项式相等的条件确定出的最大值与最小值，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为，最小值为，其差为， 故答案为：． 类型三、整式乘法与几何综合应用 1．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 2．一个长方形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶容正长方形”． (1)图是一个周长为的阶容正长方形，求这个阶容正长方形的面积； (2)请画出两个用不同方法分割的阶容正长方形，若这两个阶容正长方形的周长相等，求这两个阶容正长方形的面积比； (3)若长方形可按图所示的方式分割为个大小不等的正方形，设最小一个正方形①的边长为，相邻正方形②的边长为，求的值． 【答案】(1) (2)作图见解析； (3) 【分析】（1）设周长为的阶容正长方形的宽为，推出它的长为，得，得到，可得答案； （2）如图，图①、图②即为所作．设这两个阶容正长方形的周长为，如图①中，设这个阶容正长方形的宽为，则三个正方形的边长为，得，解得，可得这个阶容正长方形的面积为：；如图②中，设，则，，继而得到，，进一步得，求解后可得这个阶容正长方形的面积为：；可得答案； （3）如图，按图中标号顺序，将个正方形的边长依次表示为，，⋯，，设，，可得，，，，，根据得，继而得到，，，，再根据可推出，可得答案． 【详解】（1）解：设周长为的阶容正长方形的宽为， ∴正方形的边长为， ∴周长为的阶容正长方形的长为， ∴， ∴， ∴， ∴周长为的阶容正长方形的长为，宽为， ∴， ∴这个阶容正长方形的面积为； （2）解：如图，图①、图②即为所作． 设这两个阶容正长方形的周长为， 如图①中，设这个阶容正长方形的宽为，则三个正方形的边长为， ∴这个阶容正长方形的长为， ∴， ∴， ∴， ∴这个阶容正长方形的面积为：； 如图②中，标注字母如图，设， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴这个阶容正长方形的长为，宽， ∴这个阶容正长方形的面积为：； ∴， 即这两个阶容正长方形的面积比为； （3）解：如图，按图中标号顺序，将个正方形的边长依次表示为，，⋯，， 设，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵四边形是长方形， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查新定义，长方形与正方形的性质，长方形的周长与面积，一元一次方程的应用等知识点，正确理解题意并利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 4．有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 类型四、不含某一项问题 1．若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式的乘法． 将多项式展开后，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解a的值即可． 【详解】解：， ∵的展开式不含x的二次项， ∴， 解得． 故答案为：2． 2．若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 3．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 4．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 类型五、多项式乘法规律性探究问题 1．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 2．探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）根据所给的四个等式归纳规律解答即可； （2）把，代入（1）中的等式求值即可； （3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加，然后再计算即可． 【详解】（1）解：由所给的四个等式，可归纳出：； 故答案为：； （2）解：当时，； 故答案为：； （3）解：原式 ． 3．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1）；（2）结论是0，理由见详解；（3）结论是，理由见详解；（4），理由见详解；（5）m的所有可能的值为14、16、19、26 【分析】本题主要考查整式运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据月历特征可进行求解； （2）根据题（1）可进行求解； （3）根据题（1）可进行求解； （4）分别根据多项式乘以多项式得出x、y的值，然后问题可求解； （5）由题意易得48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，然后根据题意得出a、b所有可能的值，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）我发现的结论是0，理由如下： 由（1）可知： ； （3）我发现的结论是，理由如下： 由（1）可知： ； （4） ； ； ∵， ∴； （5）由题意得：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， ∵a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31）， ∴当或24时，或2，此时； 当或16时，或3，此时； 当或12时，或4，此时； 当或8时，或6，此时； ∴m的所有可能的值为14、16、19、26． 4．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法及其应用的五种考法 类型一、基本运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、（x+p）（x+q）型多项式乘法 1．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 2．若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 3．已知，为常数，且为恒等式，则 ． 4．若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 类型三、整式乘法与几何综合应用 1．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．一个长方形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶容正长方形”． (1)图是一个周长为的阶容正长方形，求这个阶容正长方形的面积； (2)请画出两个用不同方法分割的阶容正长方形，若这两个阶容正长方形的周长相等，求这两个阶容正长方形的面积比； (3)若长方形可按图所示的方式分割为个大小不等的正方形，设最小一个正方形①的边长为，相邻正方形②的边长为，求的值． 3．有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 4．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 类型四、不含某一项问题 1．若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 2．若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 3．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 4．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 类型五、多项式乘法规律性探究问题 1．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 2．探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 3．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 4．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $