5 数学归纳法（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

5.数学归纳法 题型一 数学归纳法 1．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 【答案】B 【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出． 【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 2．下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子中，当时，式子的值为1 B．式子中，当时，式子的值为 C．式子中，当时，式子的值为 D．设，则 【答案】C 【分析】根据所给式子代入计算即可判断． 【详解】A中，时，式子，故A错误； B中，时，式子，故B错误； C中，时，式子，故C正确； D中，，故D错误． 故选：C． 3．用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答. 【详解】依题意，当时，应证明的等式为： . 故答案为： 题型二 数学归纳法证明恒等式 4．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式． 【详解】解：当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 5．用数学归纳法证明时，对于表达式，从到,表达式需要添加的因式是 . 【答案】 【分析】根据条件写出时左边的表达式，进一步分析即可. 【详解】当时，左端为：， 当时，左端为：， 由到需添加的因式为：. 故答案为： 6．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法进行证明，先证成立，再假设当时不等式成立，证得也成立，从而得证. 【详解】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 故当时，等式也成立， 所以成立. 题型三 数学归纳法证明整除问题 7．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B 【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设． 【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确； 故选：B． 8．用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 题型四 数学归纳法证明几何问题 9．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an. （1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明） （2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1），，，，；（2）当时，：当时，，证明见解析. 【分析】（1）直接由题意求得的值，并猜想出； （2）求出的值，的值，可得当时，，猜想：当时，，即，然后利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由题意得，，，，， 猜想：. （2），，，，，，，，，， 则当时，，猜想：当时，，即， 下面利用数学归纳法证明： ①当时，，，，结论成立； ②假设时结论成立，即， 那么当时，， 而时，，即， 所以， 所以当时，结论也成立. 由①②可知，当时，结论成立. 综上，当时，，当时，，即. 10．如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）． （1）写出、、； （2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1），，；（2）猜想：，证明见解析． 【分析】（1）推导出，结合的值，可求得、、的值； （2）结合、、的值可猜想得出，然后利用数学归纳法结合可证得猜想成立. 【详解】（1）设，则依题意，可得，， 代入，得， 即， 所以，，． （2）由（1）可猜想：． 下面用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，猜想显然成立； （ⅱ）假设当时猜想成立，即有， 则当时，由得， 即， 解得（不符合题意，舍去）， 即当时，猜想成立． 由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即． 题型五 数学归纳法证明数列问题 11．已知数列的通项公式，数列的通项公式，则数列（    ） A．既有最大值，也有最小值 B．仅有最大值，而无最小值 C．既无最大值，也无最小值 D．仅有最小值，而无最大值 【答案】B 【分析】特殊值代入验证，利用归纳法进行简单证明. 【详解】解：当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，有， 假设当时，有， 那么当时，，时，都有，即 ， 又 ，且n趋近无穷大时，趋近0，数列有最大值，无最小值． 故选：B 12．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可. 【详解】由，可得． 由，可得． 同理可得，，． 归纳上述结果，猜想 下面用数学归纳法证明这个猜想． （1）当时，③式左边，右边，猜想成立． （2）假设当时，③式成立，即， 那么，即当时，猜想也成立． 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立． 13．已知数列的前n项和分别为，且，． （1）求； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1）；（2）猜想；证明见解析． 【分析】（1）分别令即可求解； （2）猜想，根据数学归纳法证明即可. 【详解】（1）当时，，解得（舍）或， 当时，，解得（舍）或， 当时，，解得（舍）或， ； （2）猜想 证明：①当时，左边，右边，符合要求． ②假设当时，成立， 当时， 即，∵，即． ∴当时，也成立． 根据①②可知，． 14．设正项数列满足，且______． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题： （1）求，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】若选①，（1）由已知条件可得，，，可得，（2）用数学归纳法证明，当时，利用可求出即可， 若选②，（1）由已知条件求出，从而可猜想得，（2）利用数学归纳法证明时，当时，利用求出即可， 【详解】若选①， （1）由，，可得，，， 猜想． （2）下面用数学归纳法证明． 当时，，猜想成立； 假设当时，猜想成立，即； 则当时，， 即当时，猜想也成立， 所以数列的通项公式为． 若选②， （1）由，可得，因为是正项数列，所以， 由，解得， 由，解得， 猜想． （2）下面用数学归纳法证明． 当时，，猜想成立； 假设当时猜想成立，即； 则当时，由，可得， 因为是正项数列，所以，得到， 所以， 即当时，猜想也成立， 所以数列的通项公式为． 15．已知数列满足（），且. (1)计算的值，并猜想的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在（1）中的猜想. 【答案】(1)；猜想（）； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据递推关系可得的值，由此可猜想数列的通项公式； （2）利用数学归纳证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， 由此猜想（）； （2）①当时，，结论成立； ②假设（，且）时结论成立，即， 当时，， ∴当时结论成立， 由①②知：对于任意的，恒成立. 题型六 数学归纳法证明其他问题 16．用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（    ）． A．． B．． C．． D．． 【答案】C 【分析】根据的式子，即可比较求解. 【详解】由，则， 因此 故选：C 17．先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：． 【答案】，证明见解析 【分析】根据时计算其值，观察归纳规律，即可得到猜想，然后根据数学归纳法证明即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由此猜想． 证明：①当时，猜想显然成立； ②假设（且）时，猜想成立，即 ， 那么时， ． 所以当时，猜想也成立． 由①②知，猜想都成立． 18．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 【详解】当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 题型七 推理证明解决探究问题 19．观察下列数表： 1 3    5 7    9    11    13 15    17    19    21    23    25    27    29 …    …    … 设1025是该表第m行的第n个数，则 . 【答案】12 【分析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第十行有29个数，分别求出左起第一个数的规律，按照此规律，即可求出答案. 【详解】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数， 第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1 第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1 第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1     … 第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023， 第2个数为1025，所以1025是第10行的第2个数，所以m=10，n=2， 所以m+n=12； 故答案为：12 20．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：CD 1．小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:记:,则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数列的新定义,写出前4项,即可判断选项AD的正误,再根据新定义找到项数,,与第几个数列之间的关系,利用数学归纳法即可判断选项B的正误,根据和之间的联系即可得到选项C的正误. 【详解】解:由题可知: 第一个新数列为:1,10,10,项数为:3,, 第二个新数列1,10,10,100,10,由于第二个新数列的得到是第一个数列的基础上,相邻两项积插入,故项数为:,, 第三个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故项数为:,, 第四个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故项数为:, , 故选项A正确; 不妨记第个数列时，为, 当时,即第一个数列时,满足, 不妨假设当时,即第个数列时满足,且数列有项, 则当时,即第个数列时, 数列的项数有项, 此时, 满足, 故选项B正确; 由于新数列是将两数之积插入这两数之间得到, 且, 故在中比多出来的部分需要乘2次,需要乘一次, 再加上乘以, 故有, 即, 故选项C正确; 由选项A中可知: , , 故选项D错误. 故选:ABC 2．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． （1）求，，的值，猜想的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性． 【答案】（1），，，，；（2）证明见解析． 【分析】（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式； （2）根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（1）当时，，∴， 当时，，∴， ∴，， 猜想，； （2）下面用数学归纳法证明： ①当时，，，猜想正确； ②假设时，猜想正确，即， 那么当时， 可得， 即时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数，都成立． 3．已知数列满足. （1）求； （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】（1）；（2），证明见解析. 【详解】试题分析：（1）利用递推公式及首项逐个求；（2）由得表达式可猜想显然当时成立，令，其代入递推公式中，可求得，即假设成立，所以数列的通项公式为. 试题解析：（1）由可得 . （2）猜想. 下面用数学归纳法证明： ①当时，左边 右边猜想成立. ②假设时猜想成立，即， 当时， ，故当时，猜想也成立. 由①，②可知，对任意都有成立. 4．已知数列满足，． （1）求，，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1），，，，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）依题意可得，再一一代入计算可得，即可猜想，再利用数学归纳法证明； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法计算可得； 【详解】证明：（）因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，； 猜想． ①当时，，猜想显然成立. ②假设时，猜想成立，即． 则当时，， 即当时猜想也成立. 由①②可知，猜想成立，即． （）由（）知. 因为． 所以 ． 5．已知函数的最大值不大于，且当时，． （1）求的值； （2）设，，，证明． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用二次函数的性质，可得，解得，转化当时，为，结合的范围可得，求解即可. （2）利用数学归纳法，按照步骤证明即可. 【详解】（1）由题意，知， 又，所以， 所以，即． 又函数图象的对称轴为，且， 所以当时，， 所以，解得， 所以． （2）用数学归纳法证明： ①当时，，显然原不等式成立． 因为当时，， 所以． 故当时，原不等式也成立． ②假设当（，）时，不等式成立． 由（1）知，其图象的对称轴为直线， 所以当时，为增函数． 所以由，得． 于是，， 所以当时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何，不等式成立． 6．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用递推式变形，结合数列为正项数列，通过数学归纳法或直接推导证明每一项都小于1； （2）先由（1）得到，猜想，再用数学归纳法证明． 【详解】（1）证明：由，得． 在数列中，， 故数列中的任何一项都小于1． （2）由（1）知，，那么， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明：当，且时猜想正确． ①当时已证； ②假设当（，且）时，有成立， 那么 所以当时，猜想正确． 综上所述，对于一切，都有． 7．已知数列满足，，它与数列形成的新数列的前项和为． (1)求、： (2)记集合，为集合中所有元素的和，试比较与的大小． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式，利用前项和与通项之间的关系可求出数列的通项公式； （2）求出的表达式，利用作差法可比较出与的大小关系. 【详解】（1）解：，， 所以， ． 所以对任意的，． 又的前项和为， 当时，，得， 当时，，得， 也适合，故对任意的，. （2）解：由已知得，， ． 而， 所以，． ,，，， 所以，当时，，； 下证当时，． ①当时，； ②假设当时，，即； 则当时， ， 所以当时，． 综上所述，当时，；当时，． 8．若数列的通项公式为，，证明：对任意的，不等式成立. 【答案】证明见解析 【分析】由题意，按照数学归纳法的步骤依次证明即可，由成立，去证明时，只需证，可借助基本不等式 【详解】证明：由于，故. 所证不等式为. （1）当时，左式，右式，左式>右式，结论成立. （2）假设当时结论成立， 即，则当时， ， 要证时结论成立，只需证，即证. 由基本不等式知成立. 故成立，所以当时，结论成立. 由（1）（2）可知，对任意的时，不等式成立. 1．设关于正整数的函数 （1）求； （2）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论 【答案】（1），， （2），证明见详解 【分析】（1）令，代入运算；（2）先利用特殊值得到参数的的值，然后对于题中的结果运用数学归纳法加以证明． 【详解】（1）令，得，， （2）假设存在使题设的等式成立，令得 ，解得 则对下面等式成立： 记 假设时上式成立，即 则时， 即等式对也成立 综上所述：当时，题设的等式对一切自然数n成立 2．数列又称黄金分割数列，因为当趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数.已知数列的递推关系式为. （1）证明：数列中任意相邻三项不可能成等比数列； （2）用数学归纳法证明：数列的通项公式为. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用反证法进行证明，假设存在、、三项成等比数列，可得出，根据定义得出，可得出，可求得的值，再由为有理数可推出矛盾，从而可得出结论成立； （2）利用数学归纳法证明数列的通项公式，先验证、时成立，再假设当时，结论成立，再由通过计算得出，由数学归纳法可得出结论成立. 【详解】（1）证明：（反证法）假设存在、、三项成等比数列，则， 所以，所以，解得， 由条件可知数列的所有项均大于，所以， 又数列的所有项均为整数，所以应该为有理数，这与（无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立； （2）证明：①易验证、时命题成立. ②假设时命题成立，即， 则当时， . 所以，时，命题也成立. 由①②可知，数列的通项公式为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.数学归纳法 题型一 数学归纳法 1．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 2．下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子中，当时，式子的值为1 B．式子中，当时，式子的值为 C．式子中，当时，式子的值为 D．设，则 3．用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ． 题型二 数学归纳法证明恒等式 4．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明时，对于表达式，从到,表达式需要添加的因式是 . 6．用数学归纳法证明：． 题型三 数学归纳法证明整除问题 7．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 8．用数学归纳法证明：能被整除． 题型四 数学归纳法证明几何问题 9．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an. （1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明） （2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明. 10．如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）． （1）写出、、； （2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明． 题型五 数学归纳法证明数列问题 11．已知数列的通项公式，数列的通项公式，则数列（    ） A．既有最大值，也有最小值 B．仅有最大值，而无最小值 C．既无最大值，也无最小值 D．仅有最小值，而无最大值 12．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 13．已知数列的前n项和分别为，且，． （1）求； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 14．设正项数列满足，且______． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题： （1）求，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 15．已知数列满足（），且. (1)计算的值，并猜想的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在（1）中的猜想. 题型六 数学归纳法证明其他问题 16．用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（    ）． A．． B．． C．． D．． 17．先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：． 18．用数学归纳法证明：． 题型七 推理证明解决探究问题 19．观察下列数表： 1 3    5 7    9    11    13 15    17    19    21    23    25    27    29 …    …    … 设1025是该表第m行的第n个数，则 . 20．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:记:,则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． （1）求，，的值，猜想的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性． 3．已知数列满足. （1）求； （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 4．已知数列满足，． （1）求，，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． （2）记数列的前项和为，证明：． 5．已知函数的最大值不大于，且当时，． （1）求的值； （2）设，，，证明． 6．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 7．已知数列满足，，它与数列形成的新数列的前项和为． (1)求、： (2)记集合，为集合中所有元素的和，试比较与的大小． 8．若数列的通项公式为，，证明：对任意的，不等式成立. 1．设关于正整数的函数 （1）求； （2）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论 2．数列又称黄金分割数列，因为当趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数.已知数列的递推关系式为. （1）证明：数列中任意相邻三项不可能成等比数列； （2）用数学归纳法证明：数列的通项公式为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.数学归纳法（答案版） A 基础达标题 题型一数学归纳法 1.B 2.C 3.cosxcxc()cos(2)-sin(2) sin x 题型二数学归纳法证明恒等式 4.B. 5.2k+2 6【详解们当=引时，左式-分右式=1日分显然等式波立。 1 假设当n三k时，等式成立，即二++…+)方三1，， 24 1111 11 则当n=k+1时， 24 +2+2m=1 2+2m 1 故当n=k+1时，等式也成立， 所以好+分1aeN,成立 24 题型三数学归纳法证明整除问题 7.B 8.【详解】(1)n=1时，f(1)=(2×1+7)×32+9=36,能被36整除， (2)假设n=k(k≥1，kEN)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除， 当n=k+1时，f(k+1)=[2(k+1)+7]3k+1+9 =3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1): 因为3k-1-1是偶数，所以18(3k-1-1)能被36整除， 又因为f(k)能被36整除，所以f(k+1)能被36整除， 由(1)(2)知，对一切n∈Nf(n)能被36整除。 题型四数学归纳法证明几何问题 9.【详解】(1)由题意得，4=1，a2=3,a=7,a4=15, 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 猜想：an=2”-1. (2)a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,b=1,b2=4,b=9,b4=16,b=25, 则当2≤n<5时，an<bn,猜想：当n≥5时，an>bn,即2”-1>n2, 下面利用数学归纳法证明： ①当n=5时，a=31,b=25,a>b,结论成立； ②假设n=k(k25,k∈Z)时结论成立，即2-1>k2, 那么当m=k+1时，01=21-1=2(2-1）+1>2k2+1=k2+k2+1, 而k≥5时，k(k-2)>0,即k2>2k, 所以a1=21-1=2(2-1)+1>2k2+1=k2+k2+1>k2+2k+1=(k+1)2=b1, 所以当n=k+1时，结论也成立 由①②可知，当n≥5时，结论成立 综上，当2≤n<5时，an<bn,当n≥5时，an>bn,即2”-1>n2 10.【详解】(1)设a,=0,则依题意，可得x,=0+,y,=V3.a, 2 2 即(a,-a2=2(a1+a,(neN), 所以4=2，a2=6,a3=12. (2)由(1)可猜想：a.=n(n+(neN). 下面用数学归纳法证明： (i)当n=1时，猜想显然成立； (ⅱ)假设当n=k时猜想成立，即有ak=k(k+1), 则当n=k+1时，由(a1-a'=2(a:+a)得[a1-k(k+1]=2[k(k+1+an], 即a1-2(k2+k+1a1+[k(k-1]·[(k+1(k+2]=0, 解得a+1=(k+I(k+2)(a1=k(k-1)<ak不符合题意，舍去)， 即当n=k+1时，猜想成立. 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(i)(i)知猜想成立，即a,=n(n+(neN). 题型五数学归纳法证明数列问题 11.B 12.【详解】由2an+1-an4n+1=1,可得an1= 1_(neN). 2-an 11 由a,=0,可得a,=2-02 12 1 4 同理可得 25, 13 2- 24, as=- 2 3 5. 3 4 归鳞上述结果，药想a,-片aeN) 下面用数学归纳法证明这个猜想。 (1)当m=1时，③式左边=4=0，右边=11=0，猜想成立 1 (2)假设当n=(keN)时，③式成立即a,=k-, k 那么02-a2-可k+k+1，即当n=k+1时，猪想也成立. k 由(1)(2)可知，猜想对任何n∈N都成立. 13.【详解】(1)当n=1时，6a1=a+3a1,解得a=0(舍)或a1=3, 当n=2时，6(3+a2)=a+3a2,解得a2=-3(舍)或a2=6, 当n=3时，63+6+a,)=a+3a,解得a3=-6(舍)或a,=9, ·a1=3,a2=6,a3=9; (2)猜想an=3n 证明：①当n=1时，左边a1=3,右边=3x1=3,符合要求. ②假设当n=k时，a=3k成立， 1/ 当n=k+1时，a1=S41-S=（ag1+3a1-a候-3a) 6 即a1-3a1-9k(k+1)=0,an>0,即ak+1=3(k+1). 当n=k+1时，也成立. 根据①②可知，an=3n. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.【详解】若选①， (1)由an1=a+2nan+2,a1=3,可得a2=5,%=7,a:=9, 猜想an=2n+1. (2)下面用数学归纳法证明an=2n+1. 当n=1时，a1=3=2×1+1,猜想成立； 假设当n=k(k∈N)时，猜想成立，即a=2k+1: 则当n=k+1时，ak1=a2-2ka+2=(2k+1)2-2k(2k+1+2=2(k+1)+1, 即当n=k+1时，猜想也成立， 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1. 若选②， (1)由a1=3,可得a=3×9+6a2,因为an}是正项数列，所以a2=9=32, 由a=3×81+18a,解得a,=27=33, 由a=3x729+54a4,解得a4=81=34, 猜想a,=3”. (2)下面用数学归纳法证明a,=3”. 当n=1时，a,=3=3,猜想成立； 假设当n=kk∈N)时猜想成立，即a=3; 则当n=k+1时，由a21=3a2+2aa1,可得(a41-3a)(a1+a)=0, 因为an}是正项数列，所以ak1-3a=0，得到ak1=3ak, 所以a1=3a:=3×3=3l, 即当n=k+1时，猜想也成立， 所以数列{an}的通项公式为a。=3”. 1 15.【详解】(1)因为a,1=2-a 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 1 13 所以4,2-4242-4,02-44 由此猜想a,=n-1 (nEN'); n (2)①当n=1时，a1=0,结论成立； ②假设n=k(k≥1，且keN)时结论成立，即a,=k-, k 1 1(k+-1 当m=k+1时，42-42-k三 k+1, k 当n=k+1时结论成立， 由①②知：对于任意的neN,a,=”-恒成立 n 题型六数学归纳法证明其他问题 16.C 17.【详解)当n=1时，=4， 1 12 当n=2时， 1×44×77, 当n=3时， 1,1,13 1×44×77×1010 1,1114 当a=4时，144x77×10+10x1313 1 1 1 1 n(neN,n21). 由此猪想1x44女7+7×10+…+3n-2×3n+3n+ -十 证明：①当n=1时，猜想显然成立； ②假设n=k(k≥I且keN)时，猜想成立，即 1 0++3k-2×3k+13k+灯' 那么n=k+1时， 1+1+ 1 1 1x44×77×1 0++3k-2×13k+13k+1x(3k+4 1 3k+1(3k+1×3k+4】 k×3k+4+1 (3k+1)×(3k+4) (k+1)×3k+1) (3k+1)×3k+4 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k+1 3k+1+1 所以当n=k+1时，猜想也成立. 11 1 由①②知，猜想1×4+4×77×10 1 (3n-2)×3n+13n+1 ,”neN,n2都成立. 18.【详解】当a=1,则万1<2×=2成立， 1 1 1 若n=k且k∈N时，1+ 十…+ <2√k成立， k 1 令n=k+1,则1+ 1 ++派+ <2k+1=2+D+1<++1+1=2中， k+1 k+1 k+1 所以n=k+1时不等式也成立， 1,1 1 综上，1+ 2+万+ +万<2(neN,恒成立 题型七推理证明解决探究问题 19.12 20.CD B 能力提升题 1.ABC 2.【详解】(1)当n=1时，(S-12=$，·S=2 当m22时，(S-2=(5-SS，3,=2-3, 1 2 3 ,=3,=4 猜想S。= n+l'neN': (2)下面用数学归纳法证明： ①当=1时，8-分片分猪怎正确： ②假设n=k时，猜想正确，即S,=k十' 那么当n=k+1时， 1=1=+1 可得512-S2-k+刊+1， k+1 即n=k+1时，猜想也成立. 综上可知，对任意的正整数，S。=”都成立 n+1 6/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.【详解】试题分析：(1)利用递推公式及首项逐个求a2,a,a4;(2)由a2,a,a,得表达式可猜想 a,=a-D--22,为eV最然当n=1时成立，令a= n-(n-1)a 化-)-（依-2），k∈V,其代入递推公式 k-(k-1)a 中，可求得a-1 _-(化-)口，k∈了，即假设成立，所以数列的通项公式为 k+1-ka a=a-0-n-2a neN' n-(n-1)a 试题解析：(1)由a1=2-4 ,114=11 1得a225a,2-a2421=7 2-a 2-a3-2a 1= 1 _3-2a 02-42-2-0 3-2a 4-3a （2)猪想a,=n-少-m-2到uN) n-(n-1)a 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=41=a, 右边-1--12e-4,想威立 1-1-1)a ②假设n=k(keN）时猜想成立，即a,=k--k-2到口」 k-(k-1a1 1 k-(k-1)a 当nk+1时，a2a2k-k-2a2k-k-a-k--k-2a k-(k-1a k+)-依+)-，故当n=+1时，猜想也成立 (k)-(k-1)a 0,②可知，对任意keN都有a,=n--n-2到0 成立 n-(n-1 a 4.【详解】证明：(1)因为a,a1+1=2a,所以a4=2- a 3 当n=1时，4=2 4 当n=2时，4=3 当n=3时，a,=4 7/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 猜想a=”+1 ①当n=1时，a1= +1=2,猜想显然成立 1 k+1 ②假设n=k时，猜想成立，即ak= k· 则当n=k+1时，a1=2-1=2-人=k+2_k+)+1 。k+1k+1k+11 即当n=k+1时猜想也成立. 由①②可知，猜想成立，即4，=”+ n (2)由(1)知a,=”+1 n 因为ina,=ln"+l=lnn+l)-lnn. n 所以Sn=lna1+lna2+lna3+…+lnan In 2-In1+In 3-In 2+In 4-In 3+...+In(n+1)-In n In(n+1)>Inn. 5【】0)烟意.知=-=引g 所以a2≤1，即-1≤a≤1. 又函数fx)图象的对称轴为x=,且-≤≤ 3 333 所以当时，i=- 所以只3、1 2828’解得a≥1， 所以a=1. (2)用数学归纳法证明： ①当1=1时，0<4<乞显然原不等式成立. 因为当x∈ 0, .1 时，0<f(x)≤， 6 11 所以0<a2=f(a1)≤ 63 故当n=2时，原不等式也成立. 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②假设当n=k(k≥2，keN)时，不等式0<a:<k 1 成立 由（1)知x)=x-,其图象的对称轴为直线x=写 1 所以当x∈0,3 时，f(x为增函数 所以由<a得0<fa,))】 11 于是0am=a小女乱》+22中22+网+2 1 k+4 1 所以当n=k+1时，原不等式也成立. 根据①②，知对任何neN,不等式0<an< 成立。 n+1 6.【详解】(1)证明：由a≤a。-an1,得an+1≤a。-a :在数列an}中，an>0,a1>0,a,-a>0,.0<a,<1, 故数列{an}中的任何一项都小于1. 2由,01,-所--3 1 由此猜想a,< n 下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N时猜想正确 ①当n=2时己证： ②假设当=k(2,且keN冫时，有a<成立 哪安。片- 所以当n=k+1时，猜想正确 1 综上所述，对于一切n∈N,都有a,<二 n 7.【详解】(1)解：“a1=4,a1-a,=32, 所以，an=(a。-a-i）+(an-1-n-2)+…+(a2-a1)+a1=3.2"-1+3.2-2+…+3+4 -3x121 +4=32"-+1. 1-2 所以对任意的n∈N,an=3·2-+1. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又{(an-1b}的前n项和为(n+l2"-, 当n=1时，（a1-1b=3,得b,=1, 当n≥2时，(a,--6=[n+2--[n2-=n+2-2,得6.="+2， 3, 4=1电适合么“之，流对任在的n心，么：2 3 (2)解：由已知得n+2≤x≤32-+1，xeZ, 6.-3-21-m-2+1n+2+3-2+1_92+92--3n 2 而_3-2+92+6-2+1 2 2 所以，c,g-3-2-n-3n-132-2+3n+l 2 2 2 606<0,6著c0 a<0, 2 2 所以，当n≤4时，32<m2+3n+1,c.<号： 2 下证当n25时，c,>g 2 @当n=5时，e-g_3:2-53+15+-0 2 ②假设当m=k(k≥5到时，G4>0,即3-2>k2+3张+1； 2 则当a=+1时，232[k++3++1 2 2 2k+3+1-[k+1+3(k++_2+k-30 2 所以当n25时，6>g 2 综上所述，当≤4时，c,<号；当n≥5时，G,>写 2 8.【详解】证明：由于a,=2-,故b,=2(log2an+l)=2n(neN) 所证不等式为2+1.4+12n+>V+ 24 2n 10/12