小升初思维拓展：体积相关问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：体积相关问题 1．一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 2．一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 3．一个高1米的直柱体容器如图1所示，俯视图如图2所示（单位：分米）。容器中有甲、乙两块挡板（挡板的体积忽略不计）将容器分成A、B、C三个区域，其中甲挡板高6分米，乙挡板高8分米。往C区域匀速注水，10分钟后，B区域水的高度是3分米。 （1）每分钟注水多少升？ （2）如果往C区域注水的同时以同样的速度往A区域注水，多少分钟后，A区域水的高度是B区域的2倍？ 4．一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体表面积的倍，则在切割成的小正方体中，棱长为1的小正方体的所有可能的个数之和是（    ）。 A．168 B．182 C．216 D．248 5．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是209平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 6．一根长72厘米的铁丝围成一个长方体，问围成一个什么形体时，体积最大？最大体积是多少立方厘米？ 7．有一块长方形的铁皮，长60厘米，宽40厘米。在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积。 8．如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 9．5个正方体一字拼成一个长方体，表面积比原来5个正方体的表面积之和减少288平方厘米，原来每个正方体的体积是多少立方厘米？ 10．如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？ 11．一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是厘米，水深厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 12．如图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 13．如下图所示，皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球直径为10cm，水桶底面直径为40cm，小球有的体积浸在水中，问小球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米（π＝3）。 14．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 15．一个长方体形状的玻璃容器内盛有水，容器长9厘米，宽8厘米，水面高2.5厘米。在这个容器中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面有没有淹没铁块？ 16．将棱长是6厘米的正方体铁块，锻造成长3厘米，宽2厘米的长方体，锻造成的这个长方体的高是多少厘米？ 17．将一个棱长为20厘米的正方体，削成一个圆柱体，并且要使圆柱体的体积最大，则削去部分的体积是 立方厘米． 18．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 19．一只乌鸦站在一个长8厘米、宽6厘米、高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有45厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了。请问：乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水（假定每块石头是棱长为1厘米的小正方体）？ 20．用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长. 21．如图，直角三角形如果以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，那么如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ 22．有一块长、宽、高分别为5分米、4分米、3分米的长方体铁块，现把它煅造成一根横截面是长8厘米、宽5厘米的长方形的长方体，求锻造后的长方体的高是多少厘米？ 23．把一个铁球浸没在底面直径是12厘米的圆柱形量杯的水中，水的高度由原来的6厘米上升到9厘米（如图）。这个铁球的体积是多少立方厘米。 24．一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是多少立方厘米．(取) 25．如图9所示，有一个空的长方体容器（如图9a所示）和另一个水深24厘米的长方形容器（如图9b所示）．若把容器2中的水倒入一部分在容器1中，使两个容器中的水的深度相同，求这时水的深度是多少？ 26．如图，现有一个高70厘米，底面积为2600平方厘米的长方体容器，容器里直立着一个高1米的长方体铁块，此时水深50厘米。将铁块竖直向上提起10厘米后，水面下降了3厘米，求长方体铁块的底面积。 27．有一个长方体容器，长25厘米、宽16厘米、高12厘米，里面水深8厘米。如果让长25厘米、宽12厘米的面朝下，这时水深多少厘米？ 28．2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？ 29．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米．求这个圆柱体的体积． 30．有一个棱长为6分米的正方体容器里注有水，水深4分米，将一块长为4分米，宽5分米的长方体铁块浸没水中，水面上升1.5分米，则这个长方体的高是多少分米？ 31．有一个长方体水池，底面为边长60米的正方形，深度50米，现在水深25米，然后将一根底面边长为20米、高45米的长方体体铁桂竖直插入水池，水面高度变为多少米？ 32．一个长方体的纸盒，底面是周长为12厘米的正方形，高是2.5厘米，这个长方体纸盒的表面积和体积各是多少？ 33．圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是多少立方厘米．(结果用表示) 34．有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积. 35．小明家里有一个长方体形状的鱼缸，长为4分米，宽为3分米，里面只注入了2分米深的水。一天爸爸买回来一座假山，当小明把假山放入鱼缸被水浸没后，水面立即上升了6厘米，你能求出这块假山的体积是多少吗？ 36．已知直角三角形的三条边长分别为，，，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(取) 37．一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积和表面积分别是多少？ 38．有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？ 39．如图，用105个棱长为1厘米的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，那么留下部分的表面积是多少？ 40．把一块长为15.8厘米，宽为8.4厘米，高为6厘米的长方体铝块和一块底面积直径为8.4厘米，高10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为10厘米的圆锥形铝块，求这块圆锥形铝块的高是多少厘米？ 41．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？ 42．下图是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个珠宝箱的表面积和体积． 43．一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，高为10dm。水箱里有水深6dm，现在将一块长8分米，宽6分米的石块放入水箱后，水箱溢出64立方分米的水，那么石块的高度是多少？ 44．一个正方体的棱长是一个一位数，表面的每个正方形的面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数，且若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。 45．有一个棱长40厘米的正方体钢块，锻造成一个长方体，长方体的横截面是一个边长为5厘米的正方形，求长方体的长是多少厘米？ 46．有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米？ 47．把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。 48．横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？ 49．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π=3.14）？ 50．有一个长方体容器，长40厘米、宽30厘米、高15厘米，里面水深10厘米。先将容器倾斜使水部分流出，剩余水体积为原来的一半，然后让长40厘米、宽15厘米的面朝下，这时水深多少厘米？ 51．从一个长方体上截下为32立方厘米的小长方体后，剩下部分正好是棱长4厘米的正方体．原来长方体的表面积是( )平方厘米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．128平方厘米 【详解】将小长方体拼在正方体上恰可以组成原来的长方体，因此小长方体必有一面与正方体的面相等，即小正方体有一面为4×4的正方体，从而它的长、宽、高分别为2厘米、4厘米和4厘米．所以大正方形的长、宽、高分别为6厘米、4厘米和4厘米，从而它的表面积为：2×（4×4+4×6+4×6）=2×（16+24+24）=2×64=128（平方厘米）． 52．62.172立方厘米，合0.062172升 【详解】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的倍．所以酒精的体积为立方厘米，而立方厘米毫升升． 2．10 【详解】根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度． (法1)：(厘米)； (法2)：设水面上升了厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：，解得：，(厘米)． 3．（1）每分钟注水6升 （2）9.6分钟 【分析】（1）先向C区域注水，注满后再流向B区域，当B区域水的高度是3分米时，用此时B、C区域的水的总容积除以10分钟就是每分钟注水多少升； （2）因为A区域的底面积是12平方分米，C区域的底面积是8平方分米，所以相同时间内一定是C区域先注满水后流向B区域。先求B区域注满水需要的时间及此时A区域里水面的高度。再设还需t分钟，A区域水的高度是B区域的2倍。解出的t与B区域注满所需时间求和，即为所求。 【详解】（1）2×4×6＋2×2×3 ＝8×6＋4×3 ＝48＋12 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60÷10＝6（升） 答：每分钟注水6升。 （2）2×4×6÷6 ＝8×6÷6 ＝8（分钟） 6×8÷（2×6） ＝48÷12 ＝4（分米） 设还需t分钟，A区域水位是B区域的2倍， 8＋1.6＝9.6（分钟） 答：9.6分钟后，A区域水位是B区域的2倍。 【点睛】本题考查应用长方体体积公式的灵活变形解决水的容积问题。 4．B 【分析】先求出这个棱长为6的大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216。切割后若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体表面积的倍，因此可求出切割后小正方体表面积总和是：216×＝720。一个棱长为6的正方体可以切割成棱长为1～5的小正方体，可以假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63－53）÷13＝91 （个），这时表面积总和是：52×6＋12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体；然后，依次分棱长为4、3、2、1的小正方体分类讨论，列方程组解答即可。 【详解】 大正方体表面积：6×6×6＝216， 体积：6×6×6＝216 切割后小正方体表面积总和是：216×＝720 ①假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63－53）÷13＝91 （个），这时表面积总和是：52×6＋12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体； ②棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体。设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个， 则：解得： ③设棱长为3的小正方体有x个，棱长为2的小正方体有y个，棱长为1的小正方为z个，则： 则：解得： 因此当x＝0时，y＝24，z＝24； 当x＝1时，y＝19.5，z＝33（不合题意舍去）； 当x＝2时，y＝15，z＝42； 当x＝3时，y＝10.5，z＝51（不合题意舍去）； 当x＝4时，y＝6，z＝60； 当x＝5时，y＝1.5，z＝69（不合题意舍去）； 当x＝6时，y＝﹣3，z＝78（不合题意舍去）； 当x＝7时，y＝﹣7.5，z＝87（不合题意舍去）； 所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个。 即56＋24＋42＋60＝182（个） 故答案为：B 5．374立方厘米 【分析】设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。前面和上面的面积之和是209平方厘米，因此，即。将209分解质因数，。它的长、宽、高都是质数，因此只可能是。由此即可解决。 【详解】解：设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。 即 因为a、b、c都是质数， 因此 体积： （立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 6．围成一个正方体时，体积最大，最大为216立方厘米 【详解】由于长方体分别有四条高、长、宽，不妨设为a、b、c，因此，因此，问题转化为已知a+b+c=18，求abc的最大值．显然，当这三个数相等，即a=b=c =6时，即围成一个正方体时，体积最大，此时体积为6×6×6=216（立方厘米）． 7．7500立方厘米 【分析】在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，由此可知这个长方体盒子的长为：60－5×2＝50（厘米），宽为：40－5×2＝30（厘米），高为5厘米。然后再根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】 （立方厘米） 答：这个长方体盒子的体积是7500立方厘米。 8．100；204 【详解】求体积： 开了的孔，挖去，开了的孔， 挖去；开了的孔， 挖去， 剩余部分的体积是：． (另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图： 得到总体积为：． 求表面积： 表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为、 、，所以总的表面积为 ． (另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向： 上下方向： 左右方向： 总表面积为． 总结：“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 9．216立方厘米 【分析】5个正方体拼成一个长方体，需要拼合4次，则减少8个面，因为表面积之和减少288平方厘米，所以每个面面积为288÷8＝36平方厘米，进而正方体棱长：36＝6×6，体积：6×6×6＝216立方厘米 【详解】（5－1）×2＝8 288÷8＝36（平方厘米） 36＝6×6 6×6×6＝216（立方厘米） 答：原来每个正方体的体积是216立方厘米。 10．18块 【详解】解：本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么十一个，这是不能再少的． 第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块， 第三步，再根据侧视图，说明另一侧至少要加上一块， 最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如图所示． 至少是11+7=18（块） 当然，这里的形状不唯一． 专家点评： 【点睛】本题考点切片法．以俯视图为标准，三行当中，中间行至少有2块，上行至少6块，下行至少10块,此时才能满足正视图和侧视图． 11．15 【详解】玻璃杯剩余部分的体积为立方厘米，铁块体积为立方厘米，因为，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度厘米 铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯． 12．216立方厘米 【分析】观察图形可知，将大正方体切成8个下正方体后，看似增加了很多面，但是可以合在一起来分析，从图中可知切成如图8个小正方体只需要切3次，则增加3×2＝6个大面，因为表面积增加了216平方厘米，所以每个大正方形面积为216÷6＝36（平方厘米），所以原正方体棱长为36＝6×6，所以大正方体体积为6×6×6＝216（立方厘米） 【详解】3×2＝6 216÷6＝36（平方厘米） 36＝6×6 6×6×6＝216（立方厘米） 答：原来正方体的体积是216立方厘米。 13．厘米 【分析】根据球体的体积πr3求出皮球的体积，再除以4就是浸在水中的球的体积，水面上升的体积等于浸在水中的球的体积，用水面上升的体积除以圆柱形水桶的底面积即可解答。 【详解】小球浸在水中部分的体积： ＝4×125÷4 ＝125（立方厘米） 40÷2＝20（厘米） 125÷（3×202） ＝125÷1200 （厘米） 答：水桶的水面升高厘米。 14．表面积785.12（平方厘米）,体积为668.64（立方厘米）． 【分析】本题考点 不规则图形的表面积及体积．大正方形减去右边图形就是我们要求的体积．打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面． 这道题是人大附中分班考试题目． 【详解】解：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8． 内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16． 总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）． 计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可． 挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π． 所求几何体体积为：10×10×10- （256+24π）=668.64（立方厘米）． 15．水面没有淹没铁块。 【分析】把放入铁块后的玻璃容器看作一个新容器，其底面积是长方体玻璃容器的底面积减去正方体铁块的底面积。再根据长方体的体积公式可以求出水的体积。最后用水的体积除以新容器的底面积，即可求出现在水的高度。这个高度与正方体棱长6厘米进行比较，即可知道水面是否会淹没铁块。 【详解】水的体积：9×8×2.5 ＝72×2.5 ＝180（立方厘米） 新的底面积：72－6×6 ＝72－36 ＝36（平方厘米） 现在水面高度：180÷36＝5（厘米） 5＜6 答：水面没有淹没铁块。 16．36厘米 【分析】先根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积，即等于锻造后的长方体体积。然后再用长方体体积除以长，再除以宽，即可求出这个长方体的高是多少厘米。 【详解】6×6×6÷3÷2 ＝216÷3÷2 ＝72÷2 ＝36（厘米） 答：这个长方体的高是36厘米。 17．1720 【详解】显然，只有当圆柱体的底面直径和高均为20厘米时，圆柱体的体积最大，削去部分的体积设为V，则有 即削去部分的体积为1720立方厘米． 18．厘米 【分析】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积就等于所沉入的碎石的体积。因此，沉入在中水池中的碎石的体积是：3×3×0.06＝0.54（立方米），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×2×0.04＝0.16（立方米），这两堆碎石的体积一共是：0.54＋0.16＝0.7（立方米）。把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7立方米。而大水池的底面积是：6×6＝36（平方米），所以大水池的水面升高了（0.7÷36）米，再换算成厘米即可。 【详解】6厘米＝0.06米，4厘米＝0.04米 3×3×0.06＝0.54（立方米） 2×2×0.04＝0.16（立方米） 0.54＋0.16＝0.7（立方米） 0.7÷（6×6） ＝0.7÷36 ＝（米） ＝（厘米） ＝ （厘米） 答：大水池的水面升高了厘米。 【点睛】本题关键是明确水面升高所增加的体积就等于所沉入的碎石的体积。 19．240块 【分析】根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，可以先求出原本长方体玻璃容器中水的体积，然后再求出乌鸦喝到水时水加石头的体积，相减即为石头的总体积。最后再用所求石头的总体积除以一块石头的体积即可求出乌鸦要往水里扔多少块石头。 【详解】8×6×50－8×6×45 ＝2400－2160 ＝240（立方厘米） 240÷（1×1×1） ＝240÷1 ＝240（块） 答：乌鸦要往水里扔240块石头才能喝到水。 20．将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是体对角线的长. 【详解】略 21．9.6π 【详解】设，，那么以边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，由此可得到两条等式： ，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度为，那么斜边上的高为． 如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为，高的和为5，所以体积是． 22．1500厘米 【分析】根据题意，锻造前后铁块的体积相等即原长方体体积＝现长方体体积50×40×30＝60000（立方厘米），再根据长方体体积公式进行计算：锻造后长方体横截面积8×5＝40（平方厘米），高＝60000÷40＝1500（厘米）。 【详解】50×40×30＝60000（立方厘米） 8×5＝40（平方厘米） 60000÷40＝1500（厘米） 答：锻造后的长方体的高是1500厘米。 23．339.12立方厘米 【分析】根据题意，把一个铁球浸没在一个有水的圆柱形量杯中，水上升了（9－6）厘米，那么水上升部分的体积等于这个铁球的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个铁球的体积。 【详解】3.14×（12÷2）2×（9－6） ＝3.14×62×3 ＝3.14×36×3 ＝339.12（立方厘米） 答：这个铁球的体积是339.12立方厘米。 24．100.48 【详解】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为厘米的圆柱，空气部分构成高为厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：(立方厘米)． 25．8厘米 【分析】在倒水过程中，水的体积是保持不变的．因此我们可以根据这个等量关系，列出方程．同时，我们也可以想像将两个容器粘合在一起，再求出水的深度． 【详解】解法一：若把容器2中的水的一部分倒入容器1中，使两个容器的水一样高，设这个高度为x厘米，而水的总体积是30×20×24=14400（立方厘米），从而有容器1中水的体积加上容器2中水的体积等于水的总体积，即 40×30×x+30×20×x=14400 1200x+600x=14400 1800x=14400 x=8（厘米） 解法二：将容器1的宽和容器2的长度粘合在一起，则两个容器的底部成为长为（40+20）=60厘米，宽为30厘米的长方形，其面积为60×30=1800（平方厘米），从而水的深度为30×20×24÷1800=14400÷1800=8（厘米）． 答：这时水的深度为8厘米． 26．600平方厘米 【分析】设长方体铁块的底面积为x平方厘米。铁块竖直向上提起10厘米后，铁块提起来这部分会被水填充，这部分的体积为10x立方厘米；此时水面下降了3厘米，即下降的这3厘米部分的水的体积为立方厘米。根据这两部分的体积相等即可列出方程求解。 【详解】解：设长方体铁块的底面积为x平方厘米。 由题意可知： 答：长方体铁块的底面积为600平方厘米。 27．厘米 【分析】根据题意，容器中的水未加入也未倒出，所以水的体积不变，根据原位置可得出水的体积为为25×16×8＝3200立方厘米。新底面面积为25×12＝300平方厘米。可得水深为3200÷300＝厘米。 【详解】25×16×8＝3200（立方厘米） 25×12＝300（平方厘米） 3200÷300＝（厘米） 答：水深厘米。 28．长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米. 210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米. 【详解】略 29．392.5立方厘米 【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为10÷2=5厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可解决问题． 【详解】解：圆柱的高为：100÷2÷10 =50÷10 =5（厘米） 所以圆柱的体积为：3.14×（10÷2）2×5 =3.14×25×5 =392.5（立方厘米） 答：原来这个圆柱的体积是392.5立方厘米． 30．2.7分米 【分析】根据题意，当物体完全浸没时，铁块的体积等于上升部分水的体积，即6×6×1.5＝54（立方分米），再根据体积公式求高即可54÷（4×5）＝2.7（分米） 【详解】6×6×1.5＝54（立方分米） 54÷（4×5）＝2.7（分米） 答：这个长方体的高是2.7分米。 31．28.125米 【分析】首先计算水池中水的体积： 水池底面为边长60米的正方形，水深25米，水的体积V＝60×60×25＝90000（立方米）。插入底面边长为20米的长方体铁柱后，水的底面积变为：60×60－20×20＝3600－400＝3200（平方米）。根据水的体积不变，水面高度h＝90000÷3200＝28.125（米）。 【详解】60×60×25＝90000（立方米） 60×60－20×20＝3600－400＝3200（平方米） 90000÷3200＝28.125（米） 答：水面高度变为28.125米。 32．48平方厘米；22.5立方厘米 【分析】根据底面是周长为12厘米的正方形可以求出这个长方体的长与宽都是：12÷4＝3（厘米）。高是2.5厘米，因此可以利用“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”、“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】12÷4＝3（厘米） 表面积：（3×3＋3×2.5＋3×2.5）×2 ＝（9＋7.5＋7.5）×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 体积：3×3×2.5 ＝9×2.5 ＝22.5（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是48平方厘米，体积是22.5立方厘米。 33．立方厘米或立方厘米 【详解】当圆柱的高是12厘米时体积为(立方厘米) 当圆柱的高是12厘米时体积为(立方厘米)．所以圆柱体的体积为立方厘米或立方厘米． 34．36cm³ 【详解】由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，前面的面积为，左面的面积为，而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为． 35．7.2立方分米 【分析】根据题意，当物体完全浸没时，假山的体积等于上升部分水的体积，但是需要注意单位换算。 【详解】6厘米＝0.6分米 4×3×0.6＝7.2（立方分米） 答：假山体积是7.2立方分米。 36．30.144 【详解】以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为 以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为 以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高的两个圆锥，高之和是的两个圆的组合体，体积为 37．原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。 【分析】一个长方体高截掉2厘米后剩下的正好是一个正方体，由此可知原来这个长方体的长与宽相等，即4个侧面完全一样。根据表面积就减少了32平方厘米，即可知道减少的4个侧面的面积为32平方厘米，因此用32平方厘米除以4先求出减少的一个侧面的面积，再除以高2厘米，即可求出这个长方体的长与宽。加上2厘米就是这个长方体原来的高。最后根据长方体的表面积公式和体积公式即可求解。 【详解】长： （厘米） 高：（厘米） 体积： （立方厘米） 表面积： （平方厘米） 答：原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。 38．96 【详解】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的，即，钢材底面积就是水桶底面积的．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍． 6÷()=96(厘米)，(法2)：3．14×20×6÷(3．14×5)=96(厘米)． 39．46平方厘米 【分析】由图可知原本这个长方体的长宽高分别为：5厘米、3厘米、7厘米，若将沿棱的小正方体拆下，则这个长方体的长宽高都会减少2厘米，从而可以知道留下部分长方体的长宽高。最后再根据长方体的表面积公式即可求解。 【详解】长：7－2＝5（厘米） 宽：3－2＝1（厘米） 高：5－2＝3（厘米） 表面积：（5×1＋5×3＋1×3）×2 ＝（5＋15＋3）×2 ＝23×2 ＝46（平方厘米） 答：留下部分的表面积是46平方厘米。 40．12.90厘米 【分析】要想求出圆锥体的高，必须确定它的体积，而圆锥体是用两个不同形状的几何体熔铸而成的，故圆锥体的体积就等于长方体的体积加上圆柱体的体积． 【详解】长方体的体积为15.8×8.4×6=796.32（立方厘米） 圆柱体的体积为（立方厘米） 设圆锥体的高为x厘米，则圆锥体的体积为（立方厘米） 根据题意，圆锥体积等于长方体体积与圆锥体体积之和，列方程可得 即104.64x=1350.22 从而x=12.90（厘米） 答：这块圆锥体铝块的高是12.90厘米． 【点睛】抓住其中的不变量：总体积． 41．52厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，首先把1998分解质因数，因为我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小，据此把1998的质因数适当调整计算即可求出长、宽、高，进而求出它的长、宽、高的和的最小可能值，据此解答。 【详解】1998＝2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的二个数应越接近越好，有2×3×3×3＝6×9时，即1998＝6×9×37时，这三个自然数最接近，所以长方体的长、宽、高分别为6厘米、9厘米、37厘米，它们的和为6＋9＋37＝52（厘米），即长方体的长宽高的和的最小值可能是52厘米。 【点睛】此题考查的是分解质因数，解题的关键是利用分解质因数的方法求出长方体的长、宽、高。 42．表面积：2942平方厘米   体积：11140立方厘米 【分析】这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积．这两个部分为：上部的半圆柱体、下部的正方体． 【详解】（1）先求这个珠宝箱的表面积： 将这个几何体的表面积分成两上部分：一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和． 由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）． （2）再求这个珠宝箱的体积： 第一部分的体积为；第二部分的体积为；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）． 答：这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米． 43．8分米 【分析】根据题意，当物体完全浸没时，有水溢出，那么石块的体积等于上升部分水的体积＋溢出部分水的体积。即10×8×（10－6）＝320（立方分米），320＋64＝384（立方分米）。那么根据体积公式求石块的高度384÷（8×6）＝8（分米） 【详解】10×8×（10－6）＝320（立方分米） 320＋64＝384（立方分米） 384÷（8×6）＝8（分米） 答：石块的高度是8分米。 44．343 【分析】现根据题目条件进行验证排除，棱长是1、2、3时，每个面的面积是一位数，不满足题意； 棱长是4时，表面积是两位数，不满足题意； 棱长是5、6、7、8、9时，每个面的面积是两位数，表面积是三位数，满足题意。再根据若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码，即可找到正方体额棱长，然后根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长解决。 【详解】由题意可知，这个正方体的棱长可能是是5、6、7、8、9， 正方体棱长 5 6 7 8 9 正方体面积 25 36 49 64 81 正方体表面积 150 216 294 384 486 由表格可知只有棱长为7时才满足题意。 体积：7×7×7 ＝49×7 ＝343 答：这个正方体的体积是343。 45．2560厘米 【分析】根据题意，锻造前后铁块的体积相等即长方体体积＝正方体体积40×40×40＝64000（立方厘米），再根据长方体体积公式进行计算：长方体横截面积5×5＝25（平方厘米），长＝64000÷25＝2560（厘米）。 【详解】40×40×40＝64000（立方厘米） 5×5＝25（平方厘米） 64000÷25＝2560（厘米） 答：长方体的长是2560厘米。 46．12厘米 【分析】根据题意，容器中的水未加入也未倒出，所以水的体积不变，根据原位置可得出水的体积为30×20×6＝3600（立方厘米），变化后底面积：30×10＝300（平方厘米），可得水深3600÷300＝12（厘米） 【详解】30×20×6＝3600（立方厘米） 30×10＝300（平方厘米） 3600÷300＝12（厘米） 答：这时的水深是12厘米。 47．1800立方厘米 【分析】正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米，即截去的高为8厘米的长方体的侧面积为320平方厘米。由于剩下的部分是一个正方体，因此截去的长方体每个侧面的面积相等。用320平方厘米除以4，即可求出一个侧面的面积。再除以8，即可求出剩余的这个长方体的长与宽。长加上8厘米即可求出这个长方体的高。最后再根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】320÷4÷8 ＝80÷8 ＝10（厘米） 10×10×（10＋8） ＝100×18 ＝1800（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1800立方厘米。 48．31.4立方分米 【分析】根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高．假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积． 【详解】解：设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子： 2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2=2πx+4π 根据题意列方程：2πx+4π=75.36 解方程：x=10 圆钢的体积为π×（2÷2）2×10=31.4（立方分米） 49．301.44立方厘米 【分析】要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高．按题意画图． 在图中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лR×n÷360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来．这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R．另外从图6—17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h． 【详解】因为扇形的弧长为 所以 2πR=12π，得R=6（厘米） 在直角三角形中，根据勾股定理有： 102=h2+R2，即h2=102-R2=100-36=64，h=8（厘米） 圆锥的体积为： 答：此圆锥的体积是301.44立方厘米． 50．10厘米 【分析】原水体积为40×30×10＝12000立方厘米，倒出后剩余水体积为12000÷2＝6000立方厘米。新底面面积为40×15＝600平方厘米。根据体积可求水深为6000÷600＝10厘米。 【详解】40×30×10＝12000（立方厘米） 12000÷2＝6000（立方厘米） 40×15＝600（平方厘米） 6000÷600＝10（厘米） 答：水深10厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $