8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019高一数学必修第二册第八章“立体几何初步”中的8.6.2节“直线与平面垂直”第1课时。内容包括：直线与平面垂直的定义及符号表示；点到平面的距离概念；直线与平面垂直的判定定理及应用；直线与平面所成角的概念及求解方法；通过实例探究与定理应用，体会空间问题转化为平面问题的思想。 内容解析 本节是立体几何中直线与平面位置关系的核心内容，是在学生学习了空间点、线、面的基本位置关系、直线与平面平行的判定与性质等知识后的延伸与拓展。其核心是构建“线面垂直”与“线线垂直”之间的转化桥梁，体现立体几何中“化空间为平面” “化繁为简”的转化与化归思想。 从知识关联看，直线与平面垂直是直线与直线垂直的空间拓展，也是后续学习平面与平面垂直的判定定理、棱锥与柱体的高、空间角与距离计算等知识的重要基础，在整个立体几何知识体系中起到承上启下的作用。 从学习意义看，通过对直线与平面垂直定义的抽象概括、判定定理的探究验证，学生能进一步提升空间想象能力、逻辑推理能力和数学抽象素养；通过解决正方体、四棱锥等模型中的线面垂直判定与线面角求解问题，体会数学知识的应用性，掌握立体几何问题的基本解题思路。 教学目标 1. 能准确表述直线与平面垂直的定义，掌握其符号语言表示，理解点到平面的距离的概念； 2. 经历直线与平面垂直判定定理的探究过程，能准确表述定理内容，明确定理的条件与结论，能运用定理证明简单的线面垂直问题； 3. 理解直线与平面所成角的定义，掌握其取值范围，能按“作图—定角—计算”的步骤求解简单的线面角； 4. 感悟立体几何中转化与化归、数形结合的数学思想，提升空间问题与平面问题相互转化的能力，增强逻辑推理与直观想象核心素养。 目标解析 1. 能结合旗杆与地面、正方体的侧棱与底面等实例，阐释直线与平面垂直的直观特征，准确说出“直线与平面内任意一条直线垂直”的定义内涵，能规范书写线面垂直的符号表达式（l⊥α），并能解释点到平面的距离与垂线段的关系。 2. 能通过三角形纸片翻折实验，归纳出直线与平面垂直的判定定理，明确“平面内两条相交直线”这一关键条件，能区分“两条相交直线”与“两条平行直线” “无数条直线”的本质区别，能在具体几何模型中找出满足定理的两条相交直线，证明线面垂直。 3. 能准确识别平面的斜线、斜足、射影等概念，明确直线与平面所成角的取值范围是[0°,90°]，能在正方体、四棱锥等几何体中，通过作垂线、找射影的方法构造线面角，利用直角三角形的边角关系求解角的大小。 4. 能在解决线面垂直判定、线面角求解等问题时，主动运用“线面垂直转化为线线垂直” “空间角转化为平面角”的思想，能清晰表述解题思路，规范书写推理过程，体现逻辑推理的严谨性。 达成上述目标的标志是： 1. 能举例说明生活中的周期现象（如潮汐、摩天轮高度、简谐运动），并指出其周期特征。 1. 给定实际数据（如潮汐水深与时间数据），能画出散点图，判断适用的三角函数模型类型，并通过周期计算、平衡位置确定、振幅确定，初步确定初相。 1. 针对具体问题（如货船进港时间、叶片高度不低于某值的时长），能列出三角不等式并求解，得到符合实际意义的结果（如时间范围、时长）。 1. 能结合实例（如潮汐问题）描述三角函数应用的步骤：“审清题意—整理数据—建立模型—求解模型—回归实际”，并解释每一步的作用。 学生在之前的学习中，已经掌握了空间点、线、面的基本位置关系，理解了直线与平面平行的判定与性质，具备了一定的空间想象能力和简单的逻辑推理能力，对“通过观察、操作、抽象概括得出数学结论”的学习模式有一定的经验。 但本节课的学习仍存在以下认知难点：一是从“直线与平面内无数条直线垂直”到“任意一条直线垂直”的抽象概括，学生容易混淆“无数条”与“任意一条”的区别；二是对判定定理中“两条相交直线”这一条件的必要性理解，难以从直观感知上升到逻辑论证，容易误将“两条平行直线”作为判定条件；三是线面角求解中，斜线在平面内的射影的寻找与构造，需要较强的空间想象能力，学生初学时容易无从下手；四是在复杂几何体中，难以快速识别满足线面垂直条件的线线关系，推理过程不够规范。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：1. 直线与平面垂直的定义与判定定理；2. 直线与平面所成角的定义与求解方法；3. 运用判定定理证明线面垂直。教学难点：1. 直线与平面垂直定义的抽象概括；2. 判定定理中“两条相交直线”条件的理解与应用；3. 线面角求解中射影的构造与转化。 知识点一　直线与平面垂直的定义及画法 1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示． 3．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 2．符号语言：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. 3．图形语言：如图所示． [提示]　直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 知识点三　直线与平面所成的角的定义 1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2．图形：如图所示． 3．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． 导入新知1：建筑安全中的“垂直奥秘” 我们每天上学路过的教学楼、小区里的高层住宅，在建造时都有一个关键要求——承重墙必须与地面垂直。大家不妨思考：为什么承重墙一定要垂直于地面？如果墙体倾斜了会怎么样？再看教室里的日光灯管，它的支架与天花板是垂直的，这样灯管才能稳定悬挂；还有家里的冰箱，底部的支撑脚与地面垂直，冰箱才不会晃动。我们可以观察两个典型场景：垂直于地面的旗杆能稳固直立，抵抗风吹雨打而不倾倒；而倾斜的电线杆却存在倾倒风险，容易被风吹倒。这些生活与建筑场景，都藏着直线与平面垂直的核心知识。从数学角度看，“垂直”到底意味着什么？我们该如何判断一条直线是否真的与平面垂直？今天这节课，我们就来揭开直线与平面垂直的神秘面纱，学会用数学方法解决这些生活中的“垂直问题”。 1. 建筑中承重墙必须垂直于地面，这一要求背后蕴含着什么数学原理？墙体倾斜会带来哪些安全隐患？ 2. 垂直于地面的旗杆能稳固直立，倾斜的电线杆易被风吹倒，从数学角度分析，两者的差异是什么？ 3. 结合承重墙、日光灯管支架等实例，我们该如何判断一条直线是否与一个平面垂直？ 设计意图 1. 贴近生活实际：选取教学楼承重墙、日光灯管支架、冰箱支撑脚等学生日常可见的场景，让抽象的立体几何知识与生活经验挂钩，降低学生对新知的陌生感。 2. 紧扣课程核心：通过“为什么要垂直” “如何判断垂直”两个核心问题，直接指向本节课的重点——直线与平面垂直的定义和判定定理，自然统领全文内容。 3. 激发求知欲：从建筑安全、物体稳定性等学生关心的实际问题切入，引发学生对“垂直”本质的思考，让学生感受到数学知识的实用性，从而主动探索新知。 导入新知2：体育竞技中的“垂直挑战” 体育竞技中藏着许多“垂直”学问：跳水运动员入水时身体需与水面垂直以减少水花，体操运动员倒立需与单杠竖直平面垂直以保持平衡，铅球下落轨迹与地面垂直。这些场景都涉及直线与平面垂直的知识，本节课将结合这些竞技场景，学习直线与平面垂直的判定方法，解锁直线与平面所成角的计算技巧。 1. 跳水运动员垂直入水时水花最小，倾斜入水则水花较大，这一现象背后蕴含着怎样的数学原理？ 2. 从数学角度，如何判断跳水运动员的身体是否与水面垂直、体操运动员的身体是否与单杠竖直平面垂直？ 3. 除了“与平面内所有直线垂直”的直观感受，有没有更简便的方法来判定直线与平面垂直？ 设计意图 1. 贴近生活实际：以跳水、体操、铅球等学生熟悉的体育项目为载体，将抽象的几何概念转化为生动的竞技场景，符合高一学生的兴趣特点。 2. 统领课程全文：引入中既涉及“直线与平面垂直的定义”（如垂直入水），又关联“判定定理”（如何判断垂直），还铺垫了“直线与平面所成角”（铅球出手角度），全面覆盖本节课核心知识点，实现“一线串珠”。 3. 激发求知欲：通过“为什么垂直入水水花小” “如何用数学判断动作是否标准”等问题，激发学生的好奇心和探索欲，让学生在解决实际问题的期待中进入新知学习。 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象． 观察 如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直．对于地面上不过点B的任意一条直线， 总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线也垂直，因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作． 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示． 思考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条． 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离． 下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件． 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？ 探究 如图8. 6-10，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）． （1）折痕与桌面垂直嘛？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直(图8．6-11)的充要条件是折痕AD是BC边上的高．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD， DC都垂直． 事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条相交直线，所唯一确定的，所以当直线垂直于这两条相交直线时，就能保证直线与内所有直线都垂直． 一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理． 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直的相互转化”． 思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？ 1、 能力提升 例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 已知：如图8.6-12，，，求证 分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可． 证明：如图8.6-13，在平面内取两条相交直线，． 直线，，．，，，又，，，是两条相交直线，． 你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？ 【变式】已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【知识点】证明异面直线垂直、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】借助长方体模型考察直线是否可在平面内，可判断①②；在平面内取两条相交直线m，n，根据线面垂直判定定理可判断③；利用线面平行的性质定理和异面直线夹角定义可判断④. 【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图， 当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确； 当直线为直线a时，满足，，而，②不正确； 在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则， 而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确； 因，过直线b作平面，如图， 则有，又，，于是得，从而得，④正确， ∴给定命题正确的是③④. 故选：D. 直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法． 如图8.6-14，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如果是平面内的任意一条不与直线重合的直线，那么直线与直线所成的角和直线与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是．直线与平面所成的角θ的取值范围是． 例4 如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角． 分析：关键是找出直线在平面． 解：连接与相交于点，连接．设正方体的棱长为． ，，，平面．， 又，平面， 为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角． 在中，，． ．直线和平面所成的角为． 【变式】如图所示正方体中，与对角面所成的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】结合正方体性质和线面垂直性质和判定定理可得平面，然后根据线面夹角的定义即可求解. 【详解】由正方体性质可知，， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，所以平面， 故OB为在平面上的射影， 从而为与平面所成的角． 故选：D. 【感悟提升】　求直线与平面所成的角的步骤 1.下列说法错误的是（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线平行、面面关系有关命题的判断、等角定理及其辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据线面垂直的性质、平面的基本性质、等角定理及面面位置关系判断各项的正误. 【详解】A：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线平行，对； B：由平面的基本性质，经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，对； C：由等角性质，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，错； D：如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上，故它们有且只有一条过该点的公共直线，对. 故选：C 2.如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直 【详解】根据长方体的结构特征判断即可. 【分析】在长方体中，与平面垂直的棱有、、、，共条. 故选：D. 3.（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【知识点】线面垂直证明面面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面垂直的性质判断. 【详解】与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个. 故选：B 4.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线平行 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABC选项；利用线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 5.已知是两条不同的直线，是一个平面，下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，则存在使得，又，， 所以，又，所以，故A正确； 对于B：若，，则，故B错误； 对于C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误； 对于D：若，，则或，故D错误. 故选：A 6.已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补全线面垂直的条件、判断线面是否垂直 【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解 【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误； 同理可知，错误； 若，可知与交于一点，且，所以，即D正确. 故选：D 7.已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面的位置关系，以及相应的性质定理，结合图形逐项分析即可. 【详解】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 8.已知平面与平面相互平行，直线，则下列说法正确的是（   ） A．若直线，则 B．若直线，则 C．若平面满足，则 D．若直线，则 【答案】D 【知识点】判断面面平行、判断线面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】因为，， 对于A选项，若，，，则与可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于B选项，若，仅根据，不能得出，所以B错误； 对于C选项，，平面与平面可能平行，也可能相交，所以C错误； 选项D：因为，，则，所以D正确. 故选：D. 9.设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线线位置、线面位置关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或相交，或是异面直线，B错误； 对于C；由，，得或或与相交，C错误； 对于D，若，，则，D正确. 故选：D 10.如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 1.已知直线及平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据空间中线面位置的判定和性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】对于A，由，得存在，使得，而， 所以，即，故A正确； 对于B，若，，则可能平行，与相交，，故B错误； 对于C，若，，则与平行，相交或异面，故C错误； 对于D，若，，则与平行或异面，故D错误. 故选：A. 2.设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】线面垂直证明线线平行、面面平行证明线线平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；根据面面平行与线面垂直的性质可判断D. 【详解】若，则或与互为异面直线，故A错误； 若，由面面平行的性质定理，可得，故B正确； 若，由线面垂直的性质，可得，故C正确； 若，则， 又因为是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则，D选项正确； 故选：A 3.已知两个不同的平面和，两条不同的直线和，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】由线线、线面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，则和可能平行、相交或异面，故A错误； 若，则，故B错误； 若，且和相交，则，故C错误； 对于D，因为，过直线作一平面与平面相交，其交线必与平行, 同理，因为，过直线作一平面与平面相交，其交线也必与平行，可得交线平行交线， 由线面平行的判定定理可得，，由线面平行的性质定理可得， 由平行公理4可得，正确 故选：D 4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】B 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中， 若，，则或，所以A不正确； 对于B中，若，，由垂直同一平面的两直线平行，可得，所以B正确； 对于C中，由，设，若且，此时，所以C不正确； 对于D中，若，仅当与相交时，才能得到，否则也有可能相交，所以D错误. 故选：B. 1.知识清单： （1）直线与平面垂直的定义、符号表示，点到平面的距离； （2）直线与平面垂直的判定定理（核心：平面内两条相交直线）； （3）直线与平面所成角的定义、取值范围及求解步骤。 2.方法归纳： （1）转化思想：线面垂直⇔线线垂直，空间角⇒平面角； （2）数形结合：借助正方体、四棱锥等几何模型，直观分析线面关系。 3.常见误区： （1）混淆“无数条直线”与“任意一条直线”，误将“两条平行直线”作为判定线面垂直的条件； （2）求解线面角时，未正确构造射影，导致角的识别错误； （3）证明过程中，忽略定理条件的完整性（如未强调“两条直线相交”）。 1. 本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法? (1) 定义法: 强调“任意一条直线”. (2) 判定定理法: 强调“两条相交直线”. 2. 得出直线与平面垂直的判定定理的过程中, 体现了 什么数学思想方法? 转化、化归、类比, 先猜想后论证. 3. 如何求直线和平面所成的角? 通过作辅助线, 转化为直线与直线所成的角.师生互动: 学生发言, 互相补充, 教师点评完善, 归纳 出判断直线与平面垂直的方法. 设计意图: 回顾和总结本节课的主要内容, 优化重组 认知结构, 并鼓励学生多总结, 多反思. 教材152页 练习.2,3题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。练习（第152页） 1．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 1．解析：不一定，如圆锥的母线与底面所成角都相等，但圆锥的任意两条母线是相交直线，不是平行直线． 2．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面． 2．证明：平面，平面，． 又底面为正方形，．又，平面． 3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ 3．解析：底面四边形的两对角线垂直时，．证明如下： 如图，连接，，因为在直四棱柱中，平面，平面， ，若，又，平面， 平面，． 而在直四棱柱中，显然，． 4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，． （1）若，则点是的 心． （2）若，，则点是边的 心． （3）若，，，垂足都为，则点是的 心． 4．答案：（1）外 （2）中 （3）垂 解析：（1）连接、、， ，且为公共边， ，，为的外心． （2）当时，由（1）可知为的外心，而直角三角形的外心即为斜边的中点， 为边的中点． （3）连接，并延长分别交、于、两点． ，，，平面，． ．，又，平面，，同理，， ∴点为三条高的交点，即点为的垂心． 1. 注重直观教学：充分利用生活实例、几何模型、动态演示视频等资源，帮助学生建立空间概念，突破抽象思维难点； 2. 强化探究过程：在判定定理的教学中，让学生亲自动手进行三角形纸片翻折实验，感受“线线垂直”到“线面垂直”的转化，加深对定理条件的理解； 3. 规范解题训练：在例题与练习中，强调推理过程的严谨性，引导学生规范使用符号语言，明确每一步推理的依据（定义、定理）； 4. 关注个体差异：对空间想象能力较弱的学生，可指导其借助手中的笔（直线）、课本（平面）模拟线面关系，帮助其理解抽象概念；对能力较强的学生，可增加复杂几何体中的线面垂直综合证明题，提升其逻辑推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $