（篇一）第三单元圆柱与圆锥·圆柱篇【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）人教版

画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第1页共23页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥•圆柱篇【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.如果一个圆柱侧面展开是个正方形，那么这个圆柱底面半径和高的比为( 【答案】1：2π 【分析】圆柱的侧面展开是一个正方形，说明圆柱的底面周长等于圆柱的高， 圆柱的底面周长=2πr,所以圆柱的高就是2πr,圆柱的半径用？表示， 圆柱的底面半径与高的比是？：2πr,然后根据比的基本性质化简比就可以。 【详解】r:2π1 =(r÷r):(2πr÷r) =1:2π 所以这个圆柱底面半径和高的比为1：2元 【点睛】这个题的重点是知道圆柱的底面周长等于圆柱的高，就会出现圆柱的侧面是一个正方 形。 2.如图， 一块长方形铁皮剪下的图中的涂色部分正好可以围成一个圆柱，这个圆柱的底面周 长是( )cm,高是( )cm。 4cm 【答案】 12.56 8 【分析】通过观察发现：涂色长方形的宽等于圆的直径d的2倍，即2d,圆的周长等于πd, 2d≠πd,所以涂色长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。已知圆柱的底面直径是4c, 根据圆的周长C=π，可求出这个圆柱的底面周长；再用圆柱的底面直径乘2求出涂色长方形 第2页共23页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的宽，即围成的圆柱的高。 【详解】3.14×4=12.56(cm) 4×2=8(cn) 所以，这个圆柱的底面周长是12.56cm,高是8cm。 【点睛】解决此题关键是明确涂色长方形的长是圆柱的底面周长，涂色长方形的宽是圆柱的高。 3.把一根长是3米，底面直径是4分米的圆柱形木料锯成4个小圆柱后，表面积增加了 )平方分米。 【答案】75.36 【分析】根据题意，把一根圆柱形木材锯成4个小圆柱，需锯4一-1=3次，每锯一次增加2 个圆柱的底面；锯3次，一共增加了3×2=6个圆柱的底面： 根据圆的面积公式S=π2，求出圆柱的底面积，再乘6，即是增加的表面积。 【详解】(4一1)×2 =3×2 =6(个) 3.14×(4÷2)2×6 =3.14×22×6 =3.14×4×6 =75.36(平方分米) 表面积增加了75.36平方分米。 4.一个圆柱，底面周长是18.84厘米，高是2厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米， 体积是( )立方厘米。 【答案】 37.68 56.52 【分析】圆柱的侧面积计算公式为$圆柱的侧面积=C”,把题目中的数据代入公式计算；利用 “红=C图形÷π÷2”求出圆柱的底面半径，再根据“圆鞋=πr”求出这个圆柱的体积，据此解答。 【详解】18.84×2=37.68（平方厘米） 18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3(厘米) 3.14×32×2 第3页共23页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3.14×9×2 =28.26×2 =56.52(立方厘米) 所以，这个圆柱的侧面积是37.68平方厘米，体积是56.52立方厘米。 5.在探究圆柱的体积计算公式时，是将一个圆柱转化成长方体得出的。如果将长方体翻转一 下摆放（如图），翻转后长方体的底面积等于圆柱( ),长方体的高等于圆柱的( ), 所以圆柱的体积也可以用( )来计算。如果圆柱的侧面积是260平方厘米，底面半径是 20厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 【答案】 侧面积的一半 底面半径 侧面积的一半×底面半径 2600 【分析】根据题意得：长方体翻转后，底面积是圆柱侧面积的一半，此时高是圆柱半径，长方 体体积=底面积×高，可转换为圆柱的体积就是侧面积的一半×底面半径来计算。据此可代入 数据计算得出答案。 【详解】翻转后长方体的底面积等于圆柱（侧面积的一半），长方体的高等于圆柱的（底面半 径)，所以圆柱的体积也可用（侧面积的一半×底面半径）来计算。如果圆柱侧面积260平方 厘米，底面半径是20厘米，则体积为： 260÷2×20 =130×20 =2600(立方厘米) 那么它的体积是2600立方厘米。 二、解答题。 6.一种压路机前轮的直径是1米，轮宽1.5米，工作时平均每分钟滚动12周。 (1)这台压路机1分钟能前进多少米？ (2)1分钟前轮压过的路面是多少平方米？ 【答案】(1)37.68米 (2)56.52平方米 【分析】(1)根据圆柱底面周长=圆周率×直径，先求出前轮滚动1周的距离，再乘每分钟滚 第4页共23页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 动周数即可。 (2)压路机使用前轮的侧面压路，根据圆柱侧面积=底面周长×高，求出侧面积，再乘每分钟 滚动周数即可： 【详解】(1)3.14×1×12=37.68（米） 答：这台压路机1分钟能前进37.68米。 (2)3.14×1×1.5×12 =4.71×12 =56.52(平方米) 答：1分钟前轮压过的路面是56.52平方米。 7.一块长方形铁皮（如图），以它为侧面做一个高4分米的圆柱形水桶，再另配一个合适的 底面。做这样一个无盖水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） 4dm 12.56dm 【答案】62.8平方分米 【分析】根据题意，用一个长12.56分米、宽为4分米的长方形铁皮做一个高为4分米的圆柱 形水桶的侧面，那么长方形长是圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C=2π，可知r=Cπ÷2， 由此求出圆柱的底面半径： 因为圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和一个底面：那么做这样一个无盖水桶所需铁皮的 面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积，根据S侧=2，S=π，代入数据计算。 【详解】12.56÷3.14÷2 =4÷2 =2(分米) 2×3.14×2×4+3.14×22 =2×3.14×2×4+3.14×4 =50.24+12.56 =62.8(平方分米) 答：至少需要62.8平方分米的铁皮。 8.某生态园准备新建一个底面直径为20米，深2米的圆柱形观赏鱼池，在鱼池的底部和内壁 周围贴上面积是4平方分米的瓷砖，共需要多少块？ 第5页共23页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】10990块 【分析】先求出圆柱的底面积S=π2和侧面积S侧=2h,两者相加得到需要贴瓷砖的总面积， 把瓷砖面积单位由平方分米换算为平方米，使单位统一，再用总面积除以每块瓷砖的面积，即 可得出瓷砖的块数 【详解】20÷2=10（米） 3.14×102 =3.14×100 =314(平方米) 3.14×20×2 =62.8×2 =125.6(平方米) 314+125.6=439.6(平方米) 4平方分米=0.04平方米 439.6÷0.04=10990(块) 答：共需要10990块。 9.把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱 形铁块，它的高是多少厘米？ 【答案】 16厘米 【分析】已知长方体铁块长8厘米，宽5厘米，高4厘米，先根据“长方体体积=长×宽×高” 算出一个长方体铁块的体积，再乘2得到两个长方体铁块的总体积，这个体积也就是铸造成的 圆柱形铁块的体积：已知圆柱的底面积是20平方厘米，然后根据“圆柱体积=底面积×高”，用 圆柱体积除以底面积，就能求出圆柱的高。 【详解】8×5×4×2 =40×4×2 =160×2 =320(立方厘米) 320÷20=16(厘米) 答：它的高是16厘米。 第6页共23页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10.创新思维。 如图，是测生活中常用的卷筒卫生纸，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：两层280段，每段 138毫米×100毫米（长×宽），若整卷卫生纸的内外半径分别为25毫米和64毫米。（结果精 确到0.01毫米，π取3) 空心硬纸筒 半径 半径64mm 25mm▣ 段 0mm 138mm 100mm (1)请你计算整卷卫生纸的体积。 (2)如果将整卷卫生纸一段段撕开，堆成一个长方体，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (3)每段卫生纸有两层，每层的厚度是多少？ 【答案】(1)1041300立方毫米 (2)138毫米；100毫米；75.46毫米 (3)0.13毫米 【分析】根据题意可知：纸卷的底面是圆环，内半径是25毫米，外半径是64毫米，根据圆环 的面积：S=元(R2-12),代入数据即可算出底面积。纸卷高100毫米，纸卷的体积=底面积 ×高，代入数据计算即可。 (2)根据题意可知：纸卷的体积=长方体的体积。长方体的长138毫米、宽100毫米，根据 长方体的体积=长×宽×高，则高=体积÷长÷宽，据此代入数据计算即可。结果用四舍五入法 保留两位小数。 (3)已知纸卷有280段，每段两层，则一共有280×2=560层，用长方体的高÷总层数=每层 的厚度，代入数据计算即可。结果用四舍五入法保留两位小数。 【详解】3×(642-252)×100 =3×(4096-625)×100 =3×3471×100 =1041300(立方毫米) 答：整卷卫生纸的体积是1041300立方毫米。 (2)1041300÷138÷100≈75.46（毫米） 答：这个长方体的长138毫米、宽100毫米、高75.46毫米。 第7页共23页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)75.46÷(280×2) =75.46÷560 0.13(毫米) 答：每层的厚度是0.13毫米。 第8页共23页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】圆柱的切拼问题（一） 一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68平方厘米，那么这个圆柱的底面积是多少？ 解析 底面半径为：37.68÷(3×3.14×2)=2（厘米） 底面积为：3.14×22=12.56（平方厘米） 答：这个圆柱的底面积是12.56平方厘米。 即《对应练习】 1.一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积。 解析： 50.24÷4=12.56(厘米) 12.56÷3.14÷2=2(厘米) 22×3.14=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱体的底面积是12.56平方厘米。 2.一根长3米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平 方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少？ 解析： 12.56÷2-6.28(分米) 6.28÷3.14÷2=1(分米) 3米=30分米 12×3.14×2+6.28×30=194.68(平方分米) 所以，原来这根木头的表面积是194.68平方分米。 3.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径的正方形售报 窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？ 第9页共23页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【奥数培优2】圆柱的切拼问题（二） 一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ 解析： (1)3.14×82×2=401.92(平方厘米) 答：表面积增加401.92平方厘米。 (2)8×2×10×2=320(平方厘米) 答：表面积增加320平方厘米。 肥【对应练习】 1.一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ 解析： (1)元×62×2=72π=226.08（平方厘米） (2)6×2×5.2×2=124.8(平方厘米) 所以，(1)表面积增加226.08平方厘米：(2)表面积增加124.8平方厘米。 2.有4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是2分米，高是1分米，现在将它们底连着底焊 接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米？ 解析 π×(2÷2)×2×(4-1)广6m=18.84(平方分米) 所以，表面积会减少18.84平方分米。 3.一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将它截成四个圆柱体小木块， 第10页共23页画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第1页共13页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥•圆柱篇【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.如果一个圆柱侧面展开是个正方形，那么这个圆柱底面半径和高的比为( )。 2.如图，一块长方形铁皮剪下的图中的涂色部分正好可以围成一个圆柱，这个圆柱的底面周 长是( )cm,高是( )cm。 4cm 3.把一根长是3米，底面直径是4分米的圆柱形木料锯成4个小圆柱后，表面积增加了 )平方分米。 4.一个圆柱，底面周长是18.84厘米，高是2厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米， 体积是( )立方厘米。 5.在探究圆柱的体积计算公式时，是将一个圆柱转化成长方体得出的。如果将长方体翻转一 下摆放（如图），翻转后长方体的底面积等于圆柱( ),长方体的高等于圆柱的( ), 所以圆柱的体积也可以用( )来计算。如果圆柱的侧面积是260平方厘米，底面半径是 20厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 第2页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题。 6.一种压路机前轮的直径是1米，轮宽1.5米，工作时平均每分钟滚动12周。 (1)这台压路机1分钟能前进多少米？ (2)1分钟前轮压过的路面是多少平方米？ 7.一块长方形铁皮（如图)，以它为侧面做一个高4分米的圆柱形水桶，再另配一个合适的 底面。做这样一个无盖水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） 4dm 12.56dm 8.某生态园准备新建一个底面直径为20米，深2米的圆柱形观赏鱼池，在鱼池的底部和内壁 周围贴上面积是4平方分米的瓷砖，共需要多少块？ 9.把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱 形铁块，它的高是多少厘米？ 10.创新思维。 如图，是测生活中常用的卷筒卫生纸，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：两层280段，每段 138毫米×100毫米（长×宽），若整卷卫生纸的内外半径分别为25毫米和64毫米。（结果精 确到0.01毫米，π取3) 第3页共13页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 空心硬纸筒 半径 半径64mm 25mm4 一段 100mm 138mm 100mm (1)请你计算整卷卫生纸的体积。 (2)如果将整卷卫生纸一段段撕开，堆成一个长方体，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (3)每段卫生纸有两层，每层的厚度是多少？ 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】圆柱的切拼问题（一） 一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68平方厘米，那么这个圆柱的底面积是多少？ 肥【对应练习】 1.一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积。 2.一根长3米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平 方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少？ 第4页共13页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径的正方形售报 窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？ 吕【奥数培优2】圆柱的切拼问题（二） 个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米。 ()现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ 即【对应练习】 1.一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米？ 2.有4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是2分米，高是1分米，现在将它们底连着底焊 接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米？ 3.一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将它截成四个圆柱体小木块， 那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米？ 第5页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【奥数培优3】圆柱的切拼问题（三） 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加9.42平方厘米：如果沿着底面直 径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 即【对应练习】 1.一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加628平方厘米：如果沿着 直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 2.一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加160平方厘米：如果截 成三个小圆柱体，它的表面积增加16.2平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 3.把一根高为10分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了16平方分米，这 根圆柱原来的体积是多少立方分米？（不考虑斜切） 吕【奥数培优4】圆柱的切拼问题（四） 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇 形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积增加了多少平方厘米？ 第6页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.将一个底面半径为3厘米，体积是141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形 后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米？ 2.将一个高为6厘米，体积是301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后， 再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米？ 3.一个圆柱体的体积是150.72立方厘米，底面半径是4厘米，将它沿底面直径平均分成若干 个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表面积。 吕【奥数培优5】圆柱的切拼问题（五） 如图1所示，这个圆柱体侧面积的一半是12.56平方厘米，底面半径为5厘米，那么，它的体 积是多少平方厘米？ 图1 即【对应练习】 1.圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是3米，它的体积是多少？ 第7页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.一个圆柱的底面半径为3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它 等底等高的长方体，表面积增加了42平方厘米，圆柱的体积是多少？ 3.一个圆柱体的体积是157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个 和它等底等高的长方体，表面积增加了20平方厘米，求：这个圆柱体的底面半径是多少？表面 积是多少？ 吕【奥数培优6】整体代换法求表面积（一） 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为628立方厘米的圆柱，纸盒的容积有 多大？ 肥【对应练习】 1.把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的 表面积。 2.将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原来 正方体的体积有多大？ 第8页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是60平方厘米，问：原来圆柱的侧面积是多少 平方厘米？ 吕【奥数培优7】整体代换法求表面积（二） 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为32.97平方厘 米，底面直径与高的比是1：3，原来长方体的表面积是多少？ 即【对应练习】 1.一个圆柱体的侧面积是62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是多少平方米？ 2.如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是10平方厘米，求 这个圆柱体的表面积。 2πr 3.已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的棱长，这个正 方体的底面积是25平方分米，求这个圆柱的表面积。 第9页共13页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 吕【奥数培优8】求组合或不规则圆柱体的表面积（一） 如图所示，两个圆柱体的高都是8厘米，底面半径分别是10厘米和4厘米，现在将它们组成 了一个几何体，求这个物体的表面积。 即【对应练习】 1.一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽 顶的半径、高与帽檐的宽都为20厘米，请你算一算，一共需要黑布多少平方厘米？ 20 2.有一个圆柱形的零件，高是10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔， 圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多 少平方厘米？ 3.如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为40厘米的正方体，上部分是一个半圆柱 体，求这个立体图形的表面积。 第10页共13页 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥·圆柱篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．如果一个圆柱侧面展开是个正方形，那么这个圆柱底面半径和高的比为( )。 2．如图，一块长方形铁皮剪下的图中的涂色部分正好可以围成一个圆柱，这个圆柱的底面周长是( )cm，高是( )cm。    3．把一根长是3米，底面直径是4分米的圆柱形木料锯成4个小圆柱后，表面积增加了( )平方分米。 4．一个圆柱，底面周长是18.84厘米，高是2厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 5．在探究圆柱的体积计算公式时，是将一个圆柱转化成长方体得出的。如果将长方体翻转一下摆放（如图），翻转后长方体的底面积等于圆柱( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以圆柱的体积也可以用( )来计算。如果圆柱的侧面积是260平方厘米，底面半径是20厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 二、解答题。 6．一种压路机前轮的直径是1米，轮宽1.5米，工作时平均每分钟滚动12周。 （1）这台压路机1分钟能前进多少米？ （2）1分钟前轮压过的路面是多少平方米？ 7．一块长方形铁皮（如图），以它为侧面做一个高4分米的圆柱形水桶，再另配一个合适的底面。做这样一个无盖水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） 8．某生态园准备新建一个底面直径为20米，深2米的圆柱形观赏鱼池，在鱼池的底部和内壁周围贴上面积是4平方分米的瓷砖，共需要多少块？ 9．把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱形铁块，它的高是多少厘米？ 10．创新思维。 如图，是测生活中常用的卷筒卫生纸，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：两层280段，每段138毫米×100毫米（长×宽），若整卷卫生纸的内外半径分别为25毫米和64毫米。（结果精确到0.01毫米，π取3） （1）请你计算整卷卫生纸的体积。 （2）如果将整卷卫生纸一段段撕开，堆成一个长方体，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （3）每段卫生纸有两层，每层的厚度是多少？ 【奥数培优1】圆柱的切拼问题（一） 一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68平方厘米，那么这个圆柱的底面积是多少? 【对应练习】 1. 一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积。 2. 一根长3米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少? 3. 圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几? 【奥数培优2】圆柱的切拼问题（二） 一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 【对应练习】 1. 一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 2. 有4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是2分米，高是1分米，现在将它们底连着底焊接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米? 3. 一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将它截成四个圆柱体小木块，那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米? 【奥数培优3】圆柱的切拼问题（三） 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加9.42平方厘米；如果沿着底面直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 【对应练习】 1. 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 2. 一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加160平方厘米；如果截成三个小圆柱体，它的表面积增加16.2平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 3. 把一根高为10分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了16平方分米，这根圆柱原来的体积是多少立方分米?(不考虑斜切) 【奥数培优4】圆柱的切拼问题（四） 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积增加了多少平方厘米? 【对应练习】 1. 将一个底面半径为3厘米，体积是141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 2. 将一个高为6厘米，体积是301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 3. 一个圆柱体的体积是150.72立方厘米，底面半径是4厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表面积。 【奥数培优5】圆柱的切拼问题（五） 如图1所示，这个圆柱体侧面积的一半是12.56平方厘米，底面半径为5厘米，那么，它的体积是多少平方厘米? 【对应练习】 1. 圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是3米，它的体积是多少? 2. 一个圆柱的底面半径为3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了42平方厘米，圆柱的体积是多少? 3. 一个圆柱体的体积是157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了20平方厘米，求：这个圆柱体的底面半径是多少?表面积是多少? 【奥数培优6】整体代换法求表面积（一） 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为6.28立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大? 【对应练习】 1. 把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。 2. 将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原来正方体的体积有多大? 3. 沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是60平方厘米，问：原来圆柱的侧面积是多少平方厘米? 【奥数培优7】整体代换法求表面积（二） 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，原来长方体的表面积是多少? 【对应练习】 1. 一个圆柱体的侧面积是62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是多少平方米? 2. 如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是10平方厘米，求这个圆柱体的表面积。 3. 已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的棱长，这个正方体的底面积是25平方分米，求这个圆柱的表面积。 【奥数培优8】求组合或不规则圆柱体的表面积（一） 如图所示，两个圆柱体的高都是8厘米，底面半径分别是10厘米和4厘米，现在将它们组成了一个几何体，求这个物体的表面积。 【对应练习】 1. 一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20厘米，请你算一算，一共需要黑布多少平方厘米? 2. 有一个圆柱形的零件，高是10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米? 3. 如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为40厘米的正方体，上部分是一个半圆柱体，求这个立体图形的表面积。 【奥数培优9】组合或不规则圆柱体的表面积（二） 如图所示，柱体的高为24厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求柱体的表面积。 【对应练习】 1. 如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是多少平方米? 2. 如图所示，一个圆柱的底面半径为5厘米，高为6厘米，从它的底面挖去一个边长为2厘米的方形的孔贯穿圆柱，现在这个物体的表面积是多少? 3. 如图所示，这是一个底面半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少? 【奥数培优10】排水法求不规则物体的体积（一） 如图所示，在一个圆柱形水桶内放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块，如果把钢块浸没在水中，那么桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起，使其露出水面的部分长8厘米，那么桶里的水面就会下降4厘米，求圆柱形钢块的体积。 【对应练习】 1. 有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段底面半径是5厘米的圆柱体钢材浸没在水中，当钢材从水中取出后，桶里的水下降2厘米，这段钢材长多少厘米? 2. 如图所示，有一个高8厘米，容积是50毫升的圆柱形容器A，里面装满了水，现在把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿出来后，A中的水高度为6厘米，求圆柱B的体积。 3. 一个圆柱形容器，底面半径为4厘米，水面高度为6厘米，把一个长方体的钢材放入水中，此时露出水面的钢材高2厘米，是全长的，长方体的体积是多少?(结果保留π) 【奥数培优11】排水法求不规则物体的体积（二） 在一个底面积是15平方厘米的水平放置的玻璃杯中装入高3厘米的水，现在把一个底面半径是1厘米、高是5厘米的圆柱形铁块竖直放入玻璃杯的水中，问水面升高了多少厘米?(π取3) 【对应练习】 1. 有一只长方体的玻璃缸，长8分米、宽5分米、高4分米，里面的水深是3.5分米.如果放入一个底面直径为3分米，高为3分米的圆柱体铁块，那么缸里的水会不会溢出来? 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.现在将一个底面半径为2厘米、高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，那么这时容器内的水深是多少厘米? 3. 在一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要将一块长和宽都是8厘米、高是15厘米的铁块放入瓶中。 (1)如果把铁块横放在水中，水面上升多少厘米? (2)如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米?(π取3，结果保留一位小数) 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥·圆柱篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．如果一个圆柱侧面展开是个正方形，那么这个圆柱底面半径和高的比为( )。 【答案】1∶ 【分析】圆柱的侧面展开是一个正方形，说明圆柱的底面周长等于圆柱的高， 圆柱的底面周长＝，所以圆柱的高就是，圆柱的半径用表示， 圆柱的底面半径与高的比是∶，然后根据比的基本性质化简比就可以。 【详解】∶ ＝（）∶（） ＝1∶ 所以这个圆柱底面半径和高的比为1∶ 【点睛】这个题的重点是知道圆柱的底面周长等于圆柱的高，就会出现圆柱的侧面是一个正方形。 2．如图，一块长方形铁皮剪下的图中的涂色部分正好可以围成一个圆柱，这个圆柱的底面周长是( )cm，高是( )cm。    【答案】 12.56 8 【分析】通过观察发现：涂色长方形的宽等于圆的直径的2倍，即，圆的周长等于，≠，所以涂色长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。已知圆柱的底面直径是4cm，根据圆的周长，可求出这个圆柱的底面周长；再用圆柱的底面直径乘2求出涂色长方形的宽，即围成的圆柱的高。 【详解】3.14×4＝12.56（cm） 4×2＝8（cm） 所以，这个圆柱的底面周长是12.56cm，高是8cm。 【点睛】解决此题关键是明确涂色长方形的长是圆柱的底面周长，涂色长方形的宽是圆柱的高。 3．把一根长是3米，底面直径是4分米的圆柱形木料锯成4个小圆柱后，表面积增加了( )平方分米。 【答案】75.36 【分析】根据题意，把一根圆柱形木材锯成4个小圆柱，需锯4－1＝3次，每锯一次增加2个圆柱的底面；锯3次，一共增加了3×2＝6个圆柱的底面； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积，再乘6，即是增加的表面积。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（平方分米） 表面积增加了75.36平方分米。 4．一个圆柱，底面周长是18.84厘米，高是2厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 37.68 56.52 【分析】圆柱的侧面积计算公式为“”，把题目中的数据代入公式计算；利用“”求出圆柱的底面半径，再根据“”求出这个圆柱的体积，据此解答。 【详解】18.84×2＝37.68（平方厘米） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方厘米） 所以，这个圆柱的侧面积是37.68平方厘米，体积是56.52立方厘米。 5．在探究圆柱的体积计算公式时，是将一个圆柱转化成长方体得出的。如果将长方体翻转一下摆放（如图），翻转后长方体的底面积等于圆柱( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以圆柱的体积也可以用( )来计算。如果圆柱的侧面积是260平方厘米，底面半径是20厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 【答案】 侧面积的一半 底面半径 侧面积的一半×底面半径 2600 【分析】根据题意得：长方体翻转后，底面积是圆柱侧面积的一半，此时高是圆柱半径，长方体体积＝底面积×高，可转换为圆柱的体积就是侧面积的一半×底面半径来计算。据此可代入数据计算得出答案。 【详解】翻转后长方体的底面积等于圆柱（侧面积的一半），长方体的高等于圆柱的（底面半径），所以圆柱的体积也可用（侧面积的一半×底面半径）来计算。如果圆柱侧面积260平方厘米，底面半径是20厘米，则体积为： （立方厘米） 那么它的体积是2600立方厘米。 二、解答题。 6．一种压路机前轮的直径是1米，轮宽1.5米，工作时平均每分钟滚动12周。 （1）这台压路机1分钟能前进多少米？ （2）1分钟前轮压过的路面是多少平方米？ 【答案】（1）37.68米 （2）56.52平方米 【分析】（1）根据圆柱底面周长＝圆周率×直径，先求出前轮滚动1周的距离，再乘每分钟滚动周数即可。 （2）压路机使用前轮的侧面压路，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出侧面积，再乘每分钟滚动周数即可； 【详解】（1）（米） 答：这台压路机1分钟能前进37.68米。 （2） （平方米） 答：1分钟前轮压过的路面是56.52平方米。 7．一块长方形铁皮（如图），以它为侧面做一个高4分米的圆柱形水桶，再另配一个合适的底面。做这样一个无盖水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） 【答案】62.8平方分米 【分析】根据题意，用一个长12.56分米、宽为4分米的长方形铁皮做一个高为4分米的圆柱形水桶的侧面，那么长方形长是圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 因为圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和一个底面；那么做这样一个无盖水桶所需铁皮的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 2×3.14×2×4＋3.14×22 ＝2×3.14×2×4＋3.14×4 ＝50.24＋12.56 ＝62.8（平方分米） 答：至少需要62.8平方分米的铁皮。 8．某生态园准备新建一个底面直径为20米，深2米的圆柱形观赏鱼池，在鱼池的底部和内壁周围贴上面积是4平方分米的瓷砖，共需要多少块？ 【答案】10990块 【分析】先求出圆柱的底面积和侧面积，两者相加得到需要贴瓷砖的总面积，把瓷砖面积单位由平方分米换算为平方米，使单位统一，再用总面积除以每块瓷砖的面积，即可得出瓷砖的块数。 【详解】20÷2＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 3.14×20×2 ＝62.8×2 ＝125.6（平方米） 314＋125.6＝439.6（平方米） 4平方分米＝0.04平方米 439.6÷0.04＝10990（块） 答：共需要10990块。 9．把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱形铁块，它的高是多少厘米？ 【答案】 16厘米 【分析】已知长方体铁块长8厘米，宽5厘米，高4厘米，先根据“长方体体积＝长 ×宽×高”算出一个长方体铁块的体积，再乘2得到两个长方体铁块的总体积，这个体积也就是铸造成的圆柱形铁块的体积；已知圆柱的底面积是20平方厘米，然后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用圆柱体积除以底面积，就能求出圆柱的高。 【详解】8×5×4×2 ＝40×4×2 ＝160×2 ＝320（立方厘米） 320÷20＝16（厘米） 答：它的高是16厘米。 10．创新思维。 如图，是测生活中常用的卷筒卫生纸，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：两层280段，每段138毫米×100毫米（长×宽），若整卷卫生纸的内外半径分别为25毫米和64毫米。（结果精确到0.01毫米，π取3） （1）请你计算整卷卫生纸的体积。 （2）如果将整卷卫生纸一段段撕开，堆成一个长方体，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （3）每段卫生纸有两层，每层的厚度是多少？ 【答案】（1）1041300立方毫米 （2）138毫米；100毫米；75.46毫米 （3）0.13毫米 【分析】根据题意可知：纸卷的底面是圆环，内半径是25毫米，外半径是64毫米，根据圆环的面积：S＝π（R2－r2），代入数据即可算出底面积。纸卷高100毫米，纸卷的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。 （2）根据题意可知：纸卷的体积＝长方体的体积。长方体的长138毫米、宽100毫米，根据长方体的体积＝长×宽×高，则高＝体积÷长÷宽，据此代入数据计算即可。结果用四舍五入法保留两位小数。 （3）已知纸卷有280段，每段两层，则一共有280×2＝560层，用长方体的高÷总层数＝每层的厚度，代入数据计算即可。结果用四舍五入法保留两位小数。 【详解】3×（642－252）×100 ＝3×（4096－625）×100 ＝3×3471×100 ＝1041300（立方毫米） 答：整卷卫生纸的体积是1041300立方毫米。 （2）1041300÷138÷100≈75.46（毫米） 答：这个长方体的长138毫米、宽100毫米、高75.46毫米。 （3）75.46÷（280×2） ＝75.46÷560 ≈0.13（毫米） 答：每层的厚度是0.13毫米。 【奥数培优1】圆柱的切拼问题（一） 一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68平方厘米，那么这个圆柱的底面积是多少? 解析： 底面半径为：37.68÷(3×3.14×2)=2(厘米) 底面积为：3.14×2²=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱的底面积是12.56平方厘米。 【对应练习】 1. 一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积。 解析： 50.24÷4=12.56(厘米) 12.56÷3.14÷2=2(厘米) 2²×3.14=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱体的底面积是12.56平方厘米。 2. 一根长3米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少? 解析： 12.56÷2=6.28(分米) 6.28÷3.14÷2=1(分米) 3米=30分米 1²×3.14×2+6.28×30=194.68(平方分米) 所以，原来这根木头的表面积是194.68平方分米。 3. 圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几? 解析： 【奥数培优2】圆柱的切拼问题（二） 一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 解析： （1）3.14×8²×2=401.92(平方厘米) 答：表面积增加401.92平方厘米。 （2）8×2×10×2=320(平方厘米) 答：表面积增加320平方厘米。 【对应练习】 1. 一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 解析： (1)π×6²×2=72π=226.08(平方厘米) (2)6×2×5.2×2=124.8(平方厘米) 所以，(1)表面积增加226.08平方厘米；(2)表面积增加124.8平方厘米。 2. 有4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是2分米，高是1分米，现在将它们底连着底焊接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米? 解析： π×(2÷2)²×2×(4-1)=6π=18.84(平方分米) 所以，表面积会减少18.84平方分米。 3. 一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将它截成四个圆柱体小木块，那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米? 解析： 25.12÷3.14÷2=4(厘米) 3.14×4²×8+25.12×6=552.64(平方厘米) 答：这四个圆柱体小木块的表面积之和为552.64平方厘米。 【奥数培优3】圆柱的切拼问题（三） 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加9.42平方厘米；如果沿着底面直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 解析： 我们知道，圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱体截成两个小圆柱体后，增加的9.42平方厘米就是两个底面的面积和；沿着直径截成两个半圆柱体，增加了两个“直径×高”的面，增加100平方厘米，因此，直径×高×2=100，而圆柱体的侧面积=直径×π×高，所以，侧面积=100÷2×π。 100÷2×π+9.42 =157+9.42 =166.42(平方厘米) 答：原来圆柱体的表面积是166.42平方厘米。 【对应练习】 1. 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 解析： 75÷2×π+6.28=124.03(平方厘米) 答：原来圆柱体的表面积是124.03平方厘米。 2. 一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加160平方厘米；如果截成三个小圆柱体，它的表面积增加16.2平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 解析： 160÷2×π+16.2÷2=259.3(平方厘米) 所以，原来圆柱体的表面积是259.3平方厘米。 3. 把一根高为10分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了16平方分米，这根圆柱原来的体积是多少立方分米?(不考虑斜切) 解析：要考虑两种情况： (1)平行于圆柱的上、下底面，把它锯成两个完全相同的小圆柱，从图1上可以看出表面积比原来增加两个底面积，由此可知，圆柱的底面积是16÷2=8(平方分米),圆柱的体积是8×10=80(立方分米)。 (2)沿着底圆直径把圆柱锯成两部分，从图2上可以看出，表面积比原来增加两个完全相同的长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面直径，由此可知，底面直径为16÷2÷10=0.8(分米)，圆柱底面积为3.14×(0.8÷2)² =0.5024(平方分米) 所以，圆柱的体积为0.5024×10=5.024(立方分米)。 【奥数培优4】圆柱的切拼问题（四） 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积增加了多少平方厘米? 解析： 圆柱的高：50.24÷(3.14×2²)=4(厘米) 表面积增加：4×2×2=16(平方厘米) 答：表面积增加了16平方厘米。 【对应练习】 1. 将一个底面半径为3厘米，体积是141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 解析： 圆柱的高：141.3÷(3.14×3²)=5(厘米) 增加的面积：3×5×2=30(平方厘米) 答：表面积会增加30平方厘米。 2. 将一个高为6厘米，体积是301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 解析： 301.44÷6=50.24(平方厘米) 50.24÷3.14=16=4² 4×6×2=48(平方厘米) 所以，表面积增加48平方厘米。 3. 一个圆柱体的体积是150.72立方厘米，底面半径是4厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表面积。 解析： 3.14×4²=50.24(平方厘米) 150.72÷50.24=3(厘米) 50.24×2+3.14×4×2×3+4×3×2=199.84(平方厘米) 答：长方体的表面积是199.84平方厘米。 【奥数培优5】圆柱的切拼问题（五） 如图1所示，这个圆柱体侧面积的一半是12.56平方厘米，底面半径为5厘米，那么，它的体积是多少平方厘米? 解析： 我们知道，将一个圆柱体沿底面直径平均分成若干等份后，可以拼成一个体积相等的长方体，如图2所示.而长方体的体积=底面积×高，如果将长方体竖起来，如图3所示，那么 长方体的体积V=hr×πr=圆柱的高×半径×底面周长的一半；同样道理，将图2的前面朝下，如图4所示，有长方体的体积V=πrh×r=圆柱侧面积的一半×半径，所以，12.56×5=62.8(立方厘米)。 答：圆柱的体积为62.8立方厘米。 【对应练习】 1. 圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是3米，它的体积是多少? 解析： 100÷2×3=150(立方米) 所以，它的体积是150立方米。 2. 一个圆柱的底面半径为3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了42平方厘米，圆柱的体积是多少? 解析： 方法一：根据圆柱的体积推导过程，可知增加的面积实际上就是拼成的长方体的左、右两个侧面积之和，圆柱的体积可以用右侧面乘圆柱底面周长的一半来计算：42÷2×(3×3.14)=197.82(立方厘米) 方法二：3²π×(42÷2÷3)=63π=197.82(立方厘米) 3. 一个圆柱体的体积是157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了20平方厘米，求：这个圆柱体的底面半径是多少?表面积是多少? 解析： 半径为157÷(20÷2)÷3.14=5(厘米) 高为20÷2÷5=2(厘米) π×5²×2+π×5×2×2=70π=219.8(平方厘米) 所以，这个圆柱体的底面半径是5厘米，表面积是219.8平方厘米。 【奥数培优6】整体代换法求表面积（一） 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为6.28立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大? 解析： 我们不妨设圆柱的底面半径为r，则正方体的棱长为2r，圆柱的体积是πr²×2r=2πr³=6.28，即r³=1，所以，(2r)³=8r³=8×1=8(立方厘米)。 答：纸盒的容积是8立方厘米。 【对应练习】 1. 把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。 解析： 设正方体的棱长为a，a×3.14×a=314，得a²=100，6a²=6×100=600(平方厘米)答：正方体表面积为600平方厘米。 2. 将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原来正方体的体积有多大? 解析： 削成圆柱体的直径和高就是正方体的棱长，设正方体的棱长为a，则 3.14×(a÷2)²×a=1256 3.14×a³÷4=1256 a³=1600(立方厘米) 答：正方体的体积是1600立方厘米。 3. 沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是60平方厘米，问：原来圆柱的侧面积是多少平方厘米? 解析： 要求圆柱的侧面积，一般都要先知道圆柱的底面周长和高，但题中没有告诉我们，根据剖面的面积分析：剖面的面积=圆柱的底面直径×高；而侧面的面积=圆柱的底面周长×高，由此可见：侧面的面积就是剖面面积的π倍，即圆柱的侧面积=60×π=188.4(平方厘米) 【奥数培优7】整体代换法求表面积（二） 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，原来长方体的表面积是多少? 解析： 我们不妨设底面直径为d，高为3d，那么，圆柱×3.14×2+d×3.14×3d，即体的表面积为×3.14×2+d×3.14×3d=32.97 1.57d²+9.42d²=32.97 10.99d²=32.97 d²=3 所以，长方体的表面积为 d²×2+d×3d×4=14d²=14×3=42(平方厘米) 答：长方体的表面积为42平方厘米。 【对应练习】 1. 一个圆柱体的侧面积是62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是多少平方米? 解析： 设底面半径为r米，那么高为r米 根据题意，r×2×π×r=62.8，可得r²=10 62.8+2πr²=62.8+2×3.14×10=125.6(平方米) 所以，它的表面积是125.6平方米。 2. 如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是10平方厘米，求这个圆柱体的表面积。 解析： 设底面半径为r，则πr²=10，侧面展开图的边长为2πr，所以，圆柱体的表面积为10×2+2πr·2πr=20+4π·(πr²)=20+4×10×3.14=145.6(平方厘米) 答：圆柱体的表面积为145.6平方厘米。 3. 已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的棱长，这个正方体的底面积是25平方分米，求这个圆柱的表面积。 解析： 设圆柱的底面半径为r，则高为2r，那么正方体的底面积为(2r)²=4r²=25，即r2=所以，圆柱的表面积为2πr×2r+2×π×r²=4πr²+2πr²=25=6πr²=117.75(平方分米) 答：这个圆柱的表面积为117.75平方分米。 【奥数培优8】求组合或不规则圆柱体的表面积（一） 如图所示，两个圆柱体的高都是8厘米，底面半径分别是10厘米和4厘米，现在将它们组成了一个几何体，求这个物体的表面积。 解析： 小圆柱的底面A与大圆柱的环形底面B相加等于大圆柱的底面积，所以，这个物体的表面积是两个圆柱体的侧面积与大圆柱的两个底面积的和。 3.14×10²×2+(3.14×10×2×8+3.14×4×2×8) =3.14×2×10²+3.14×2×8×(10+4) =628+703.36 =1331.36(平方厘米) 答：这个物体的表面积是1331.36平方厘米。 【对应练习】 1. 一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20厘米，请你算一算，一共需要黑布多少平方厘米? 解析： 3.14×(20+20)²+3.14×20×2×20=7536(平方厘米) 答：一共需要黑布7536平方厘米。 2. 有一个圆柱形的零件，高是10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米? 解析： π×6×10+π×(6÷2)²×2+π×4×5=98π=307.72(平方厘米) 所以，一共需涂307.72平方厘米。 3. 如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为40厘米的正方体，上部分是一个半圆柱体，求这个立体图形的表面积。 解析： 40×40×5=8000(平方厘米) 3.14×(40÷2)²=1256(平方厘米) 3.14×40÷2×40=2512(平方厘米) 8000+1256+2512=11768(平方厘米) 答：此立体图形的表面积为11768平方厘米。 【奥数培优9】组合或不规则圆柱体的表面积（二） 如图所示，柱体的高为24厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求柱体的表面积。 解析： 柱体的表面积包括两个底面积、侧面积和两个长方形的面积.因为底面扇形的圆心角为270°，所以，底面积、侧面积分别是圆柱体底面积和侧面积的。 柱体的两个底面积与侧面积的和： (3.14×10²×2+2×3.14×10×24)× =(628+1507.2)× =1601.4(平方厘米) 两个长方形的面积和：10×24×2=480(平方厘米) 1601.4+480=2081.4(平方厘米) 答：柱体的表面积是2081.4平方厘米。 【对应练习】 1. 如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是多少平方米? 解析： 上、下两个面面积为1.5²×π×2=4.5π(平方米) 侧面积为2π×0.5×1+2π×1×1+2π×1.5×1=6π(平方米) 表面积为4.5π+6π=10.5π =32.97(平方米) 2. 如图所示，一个圆柱的底面半径为5厘米，高为6厘米，从它的底面挖去一个边长为2厘米的方形的孔贯穿圆柱，现在这个物体的表面积是多少? 解析： 物体的上下两个底面面积和：3.14×5²×2-2²×2=149(平方厘米) 物体的侧面积：3.14×5×2×6=188.4(平方厘米) 四个长方形的面积和：2×6×4=48(平方厘米) 149+188.4+48=385.4(平方厘米) 答：现在这个物体的表面积为385.4平方厘米。 3. 如图所示，这是一个底面半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少? 解析： 大圆柱的表面积为4²×3.14×2+4×2×3.14×4=200.96(平方厘米) 三个小圆柱的侧面积和为3×2×3.14×2+2×2×3.14×1+1×2×3.14×0.5=53.38(平方厘米) 200.96+53.38=254.34(平方厘米) 答：最后得到的立体图形表面积是254.34平方厘米。 【奥数培优10】排水法求不规则物体的体积（一） 如图所示，在一个圆柱形水桶内放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块，如果把钢块浸没在水中，那么桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起，使其露出水面的部分长8厘米，那么桶里的水面就会下降4厘米，求圆柱形钢块的体积。 解析： 根据题意，可以先求出露出水面的圆柱形钢块的体积是3.14×5²×8=628(立方厘米)，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等，所以，可以求出圆柱形水桶的底面积是628÷4=157(平方厘米) 当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等.因为上升的水的体积是157×9=1413(立方厘米)，所以，圆柱形钢块的体积是1413立方厘米。 【对应练习】 1. 有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段底面半径是5厘米的圆柱体钢材浸没在水中，当钢材从水中取出后，桶里的水下降2厘米，这段钢材长多少厘米? 解析： 3.14×20²×2÷(3.14×5²)=32(厘米) 答：这段钢材长32厘米。 2. 如图所示，有一个高8厘米，容积是50毫升的圆柱形容器A，里面装满了水，现在把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿出来后，A中的水高度为6厘米，求圆柱B的体积。 解析： A中溢出水的体积等于B的体积的一半，要知道溢出水的体积就必须知道这部分水所形成圆柱体的底面积和高，现在已知高为8-6=2(厘米)，底面积可以由A容器的容积除以高而求得，50÷8×(8－6)×2=25(立方厘米) 答：圆柱B的体积为25立方厘米。 3. 一个圆柱形容器，底面半径为4厘米，水面高度为6厘米，把一个长方体的钢材放入水中，此时露出水面的钢材高2厘米，是全长的，长方体的体积是多少?(结果保留π) 解析： 根据“露出水面的钢材高2厘米，是全长的”，可以求出长方体的高度是2÷=9(厘米)，长方体钢材在水中的部分是9－2=7(厘米)，说明水面上升了7－6=1(厘米)，上升的水的体积是4²×1×π=16π(立方厘米)，这部分体积就是浸入水中的部分长方体钢材的体积，所以整个长方体的体积是16π÷=π(立方厘米)。 【奥数培优11】排水法求不规则物体的体积（二） 在一个底面积是15平方厘米的水平放置的玻璃杯中装入高3厘米的水，现在把一个底面半径是1厘米、高是5厘米的圆柱形铁块竖直放入玻璃杯的水中，问水面升高了多少厘米?(π取3) 解析： 首先我们要考虑圆柱形铁块放入玻璃杯中，是全部浸入还是部分浸入，假设圆柱形铁块全部浸入水中，它所排开水的体积是3×1²×5=15(立方厘米)，要使水面升高5－3=2(厘米)，铁块必须排开15×2=30(立方厘米)的水，从这两个数据中看出，圆柱形铁块不可能全部浸入水中。 铁块不全部浸入水中，这样玻璃杯内水所覆盖的底面积是15－3×1²=12(平方厘米)，而水的体积没有变，还是15×3=45(立方厘米)，铁块放入水中后，水面高为45÷12=(厘米)，比原来高了－3=(厘米)。 【对应练习】 1. 有一只长方体的玻璃缸，长8分米、宽5分米、高4分米，里面的水深是3.5分米.如果放入一个底面直径为3分米，高为3分米的圆柱体铁块，那么缸里的水会不会溢出来? 解析：会溢出。 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.现在将一个底面半径为2厘米、高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，那么这时容器内的水深是多少厘米? 解析：17.72厘米。 3. 在一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要将一块长和宽都是8厘米、高是15厘米的铁块放入瓶中。 (1)如果把铁块横放在水中，水面上升多少厘米? (2)如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米?(π取3，结果保留一位小数) 解析：（1）3.2厘米；（2）2.2厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $