（篇三）第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用【十大考点】-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）苏教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共37页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元圆柱和圆锥•圆柱的体积和容积篇其一•基础应用【十大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用 知专题内容 本专题以圆柱的体积和容积为主，其中包括圆柱体积公式的推导过程，圆柱体 积的计算及实际应用，比在圆柱中的三种应用方式，圆柱的倍数关系等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★☆★★ 白讲解建议 本专题作为圆柱体积的基础内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、计算、 应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 十大考点 第二篇章 考点导航篇 冥【考点一】圆柱体积计算公式的推导.… .3 只【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算.7 只【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算9 原【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高12 冥【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积…。 .13 原【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题★★★… .21 果【考点七】圆柱的体积其六：流水的体积问题（动态流水的体积计算）★★★ ...24 冥【考点八】圆柱的体积其七：“木桶效应”问题（残缺圆柱的体积问题）★★★…27 只【考点九】圆柱体积的扩倍与缩倍问题… .32 只【考点十】圆柱体积的比例问题… .36 第2页共37页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】圆柱体积计算公式的推导 职方法点拨 1.圆柱的体积和容积。 (1)一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物 体的体积，叫做这个圆柱的容积。 (2)圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容 器的内部量。 2.圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将 其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方 体的表面积比圆柱多2个面积大小为r的长方形，这个长方体的底面积和高 与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式，我们可以推导得出圆柱 体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为VSh=πh。 3.将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变。 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积 比圆柱表面积增加了长方体左右面的面积，即2h;底面周长比圆柱底面周长 增加了2红。 目考察形式 填空、选择、判断、计算 過动态评价 ★★ 吕【典型例题】 第3页共37页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 用心思考，探索发现。 (①)寻找方法：课堂上小明和本组同学一起进行了图上的操作活动，这是为了探究( (②)建立联系：拼成的长方体与原来的圆柱存在怎样的关系呢？（填大于、小于或者等于） 等分16份 等分32份 ①拼成的长方体的表面积( )原来的圆柱表面积。 ②拼成的长方体的体积( )原来的圆柱的体积。 ③拼成的长方体底面积( )原来的圆柱底面积。 ④拼成的长方体的高( )原来的圆柱的高。 (3)归纳结论：通过以上操作，你得出的结论是( )。 【答案】(1)圆柱的体积计算方法 (2) 大于 等于 等于 等于 (3)圆柱的体积=底面积×高 【分析】(1)运用割补法把圆柱转化成学过的长方体来探究圆柱的体积计算公式。 (2)把圆柱的底面分成16个(32个)相同的扇形，按照等分线并沿着圆柱的高把圆柱切开， 然后拼成近似的长方体。这两个图形形状不同，表面不同，但体积的大小相等；底面积相等： 高相等。 (3)长方体的体积=底面积×高，根据长方体的体积计算公式可推导圆柱的体积计算公式。 【详解】(1)课堂上小明和本组同学一起进行了图上的操作活动，这是为了探究圆柱的体积 计算方法。 (2)①拼成的长方体的表面积大于原来的圆柱表面积。 ②拼成的长方体的体积等于原来的圆柱的体积。 ③拼成的长方体底面积等于原来的圆柱底面积。 ④拼成的长方体的高等于原来的圆柱的高。 (3)归纳结论：通过以上操作，你得出的结论是圆柱的体积=底面积×高。 职【对应练习1】 第4页共37页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如图所示，把底面周长是25.12cm,高是5cm的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体。表 面积增加了( )cm2,这个近似长方体的体积是( )cm3。 【答案】 40 251.2 【分析】根据圆的周长公式：周长三π×半径×2，半径=周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底 面半径：将圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体；表面积增加了左右2个长方形，长方 形的长=圆柱的高，长方形的宽=圆柱底面半径，根据长方形面积=长×宽，求出一个长方形 面积，再乘2，就是增加的表面积。 长方体的长=圆柱底面周长÷2，长方体的宽=圆柱底面半径，长方体的高=圆柱的高，根据长 方体体积=长×宽×高，计算出体积； 【详解】25.12÷3.14÷2 =8÷2 =4(c1m) 5×4×2 =20×2 =40(cm2) 3.14×4×2÷2×4×5=251.2(cm3) 如图所示，把底面周长是25.12cm,高是5cm的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体。表 面积增加了40cm2,这个近似长方体的体积251.2cm3。 0【对应练习2】 如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个 近似的长方体。已知长方体前面的面积是157平方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘 米。 第5页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】785 【分析】据题意可知，长方体前面的面积就是圆柱侧面积的一半，根据圆柱的侧面公式S侧=2πh, 则长方体前面的面积就是πh,又知半径为5厘米，可用157÷π÷r求出高，再根据V=πh,代 入数据计算即可得解。 【详解】157÷3.14÷5 =50÷5 =10(厘米) 3.14×52×10 =3.14×25×10 =78.5×10 =785(立方厘米) 圆柱的体积是785立方厘米。 肥【对应练习3】 把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，表面积 比原来增加了40平方厘米，圆柱的表面积是( ),体积是( )。 【答案】 150.72平方厘米/150.72cm2 125.6立方厘米/125.6cm 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体后体积不变， 拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高， 宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了40平方厘米，据此可以求出圆柱的高。 圆柱的表面积=侧面积十底面积×2，侧面积=底面周长×高即S侧=πdh,底面积即Sk=π， 圆柱的体积公式：V=h,把数据代入公式解答。 【详解】4÷2=2（厘米） 40÷2÷2=10(厘米) 第6页共37页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.14×4×10+3.14×22×2 =12.56×10+3.14×4×2 =125.6+25.12 =150.72(平方厘米) 3.14×22×10 =3.14×4×10 =12.56×10 =125.6(立方厘米) 圆柱的表面积是150.72平方厘米，体积是125.6立方厘米。 原【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算 买方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1.已知圆柱的底面积和高，求体积：VSh。 2.已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)h。 4.已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷÷2)h。 目考察形式 填空、选择、计算 蜀动态评价 ★★ 侣【典型例题】 -个圆柱的底面半径是2cm,高是3cm,它的侧面积是( )cm2,体积是( )cm3。 【答案】 37.68 37.68 【分析】根据圆柱的侧面积公式S知=2πh,圆柱的体积公式V=πh,代入数据计算即可求解。 【详解】圆柱的侧面积： 2×3.14×2×3 =12.56×3 =37.68(cm2) 圆柱的体积： 3.14×22×3 =3.14×4×3 第7页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =37.68(cm3) 圆柱的侧面积是37.68cm2,体积是37.68cm3。 肥【对应练习1】 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是8厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积 是( )立方厘米。 【答案】 100.48 100.48 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的侧面积公式S侧=2，圆柱的体积公式V πh,代入数据计算即可求解。 【详解】圆柱的侧面积： 2×3.14×2×8 =12.56×8 =100.48(平方厘米) 圆柱的体积： 3.14×22×8 =3.14×4×8 =100.48(立方厘米) 这个圆柱的侧面积是100.48平方厘米，体积是100.48立方厘米。 0【对应练习2】 一个圆柱的底面半径是2dm,高是6dm,它的表面积是( )dm2,体积是( )dn3。 【答案】 100.48 75.36 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的表面积公式S表=S侧十2S,其中S侧=2π， S=π2，圆柱的体积公式V=πh,代入数据计算，即可求出这个圆柱的表面积和体积。 【详解】圆柱的表面积： 2×3.14×2×6+3.14×22×2 =12.56×6+3.14×4×2 =75.36+25.12 =100.48(dn2) 圆柱的体积： 3.14×22×6 第8页共37页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3.14×4×6 =12.56×6 =75.36(dm3) 这个圆柱的表面积是100.48dm2,体积是75.36dm3。 0【对应练习3】 一个圆柱体的底面直径4分米，高0.5分米，它的表面积是( )平方分米：它的体积是 )立方分米。 【答案】 31.4 6.28 【分析】圆柱的表面积=侧面积+底面积×2=πdh十2π2，圆柱的体积=底面积×高=πh,据 此解答。 【详解】表面积：3.14×4×0.5+3.14×(4÷2)2×2 =6.28+3.14×8 =6.28+25.12 =31.4(平方分米) 体积：3.14×(4÷2)2×0.5 =3.14×4×0.5 =3.14×2 =6.28(立方分米) 则它的表面积是31.4平方分米，体积是628立方分米。 具【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算 耍方法点拨 体积和容积单位进率。 1m3=1000dm3:1dm3=1000cm3:1L=1000mL;1L=1dm3:1mL=1cm3。 目考察形式 填空、计算、应用 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题】 一个杯子的内直径为8cm,高为10cm,一袋牛奶有498mL,这个杯子能装下这袋牛奶吗？ 先算杯子的底面积，列式为( ),再算出杯子的容积，列式为( ),结果为 )。这个杯子( )装下这袋奶。 第9页共37页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【答案】 3.14×(8÷2)2=50.24(cm2) 50.24×10=502.4(cm3) 502.4mL 能 【分析】根据圆的面积=，求出杯子的底面积：根据圆柱体积=底面积×高，求出杯子的容 积；比较牛奶体积和杯子容积，杯子容积>牛奶体积，就可以装下。 【详解】3.14×(8÷2)2 =3.14×42 =3.14×16 =50.24(cm2) 50.24×10=502.4(cm3)=502.4(mL) 502.4>498mL 先算杯子的底面积，列式为3.14×(8÷2)2=50.24(c2),再算出杯子的容积，列式为50.24×10 =502.4(cm3),结果为502.4mL。这个杯子能装下这袋奶。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。 肥【对应练习1】 如图，这个圆柱形水桶可以装( )mL水。 60cm 100cm 【答案】282600 【分析】根据圆柱的容积公式：V=πh,据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×（60÷2)2×100 =3.14×302×100 =3.14×900×100 =2826×100 =282600(cm3) 282600cm3=282600mL 则这个圆柱形水桶可以装282600nL水。 【点晴】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 第10页共37页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共17页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元圆柱和圆锥•圆柱的体积和容积篇其一•基础应用【十大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用 知专题内容 本专题以圆柱的体积和容积为主，其中包括圆柱体积公式的推导过程，圆柱体 积的计算及实际应用，比在圆柱中的三种应用方式，圆柱的倍数关系等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★☆★★ 白讲解建议 本专题作为圆柱体积的基础内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、计算、 应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 十大考点 第二篇章 考点导航篇 冥【考点一】圆柱体积计算公式的推导.… .3 只【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算.5 只【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算5 原【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高6 冥【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积…。 .7 原【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题★★★… .10 果【考点七】圆柱的体积其六：流水的体积问题（动态流水的体积计算）★★★， ...11 冥【考点八】圆柱的体积其七：“木桶效应”问题（残缺圆柱的体积问题）★★★….3 只【考点九】圆柱体积的扩倍与缩倍问题… ...15 只【考点十】圆柱体积的比例问题… ..16 第2页共17页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】圆柱体积计算公式的推导 职方法点拨 1.圆柱的体积和容积。 (1)一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物 体的体积，叫做这个圆柱的容积。 (2)圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容 器的内部量。 2.圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将 其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方 体的表面积比圆柱多2个面积大小为r的长方形，这个长方体的底面积和高 与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式，我们可以推导得出圆柱 体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为VSh=πh。 3.将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变。 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积 比圆柱表面积增加了长方体左右面的面积，即2h;底面周长比圆柱底面周长 增加了2红。 目考察形式 填空、选择、判断、计算 過动态评价 ★★ 吕【典型例题】 第3页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 用心思考，探索发现。 (①)寻找方法：课堂上小明和本组同学一起进行了图上的操作活动，这是为了探究( (②)建立联系：拼成的长方体与原来的圆柱存在怎样的关系呢？（填大于、小于或者等于） 等分16份 等分32份 ①拼成的长方体的表面积( )原来的圆柱表面积。 ②拼成的长方体的体积( )原来的圆柱的体积。 ③拼成的长方体底面积( )原来的圆柱底面积。 ④拼成的长方体的高( )原来的圆柱的高。 (③)归纳结论：通过以上操作，你得出的结论是( 0【对应练习1】 如图所示，把底面周长是25.12cm,高是5cm的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体。表 面积增加了( )cm2,这个近似长方体的体积是( )cm3。 肥【对应练习2】 如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个 近似的长方体。已知长方体前面的面积是157平方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘 米。 肥【对应练习3】 把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，表面积 比原来增加了40平方厘米，圆柱的表面积是( ),体积是( 第4页共17页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 只【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算 冥方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1.已知圆柱的底面积和高，求体积：VSh。 2.已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πh。 3.已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)h。 4.已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C:元2)h。 目考察形式 填空、选择、计算 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题】 一个圆柱的底面半径是2cm,高是3cm,它的侧面积是( )cm2,体积是( )cm3。 0【对应练习1】 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是8厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积 是( )立方厘米。 肥【对应练习2】 一个圆柱的底面半径是2dm,高是6dm,它的表面积是( )dm2,体积是( )dm3。 肥【对应练习3】 一个圆柱体的底面直径4分米，高0.5分米，它的表面积是( )平方分米：它的体积是 )立方分米。 原【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算 冥方法点拨 体积和容积单位进率。 1m3=1000dm3:1dm3=1000cm3:1L=1000mL;1L=1dm3:1mL=1cm3。 目考察形式 填空、计算、应用 過动态评价 ★★ 吕【典型例题】 第5页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一个杯子的内直径为8cm,高为10cm,一袋牛奶有498mL,这个杯子能装下这袋牛奶吗？ 先算杯子的底面积，列式为( ),再算出杯子的容积，列式为( ),结果为 ( )。这个杯子( )装下这袋奶 0【对应练习1】 如图，这个圆柱形水桶可以装( )mL水。 60cm 100cm 肥【对应练习2】 王师傅用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是20cm,高是25cm。至少需要铁皮 )cm2,水桶的容积是( )L。 0【对应练习3】 有关资料显示，每人每天正常饮水量约为lL,乐乐的圆柱形水杯底面直径是6cm,深9cm, 她每天大约需要喝( )杯水。 貝【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高 方法点拨 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为VS,可将体积公式变形 反求底面积或高，即： ①S底=V#h ②h=V柱÷S底 目考察形式 填空、计算 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题】 一个圆柱的体积是32立方厘米，高是4厘米，底面积是( )平方厘米。 肥【对应练习1】 一个圆柱的体积是25.12立方米，它的高为2米，那么它的底面半径是( )米。 第6页共17页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 一个圆柱的体积是90cm3,底面积是15cm',它的高是( )cm。 0【对应练习3】 一个深2米的圆柱形水池可以装25.12吨水（每立方米水的质量是1吨)。这个水池的占地面 积是( ),底面半径是( )。 只【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1.已知圆柱的底面积和高，求体积：VSh。 2.已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=h。 3.已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)h。 4.已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷π÷2)h。 目考察形式 计算 西动态评价 ★★★ 吕【典型例题1】看立体图形求体积 计算下面各圆柱的体积。（单位：厘米） 5 即【对应练习1】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：米） 10 第7页共17页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 求圆柱的表面积和体积。（单位：厘米） 6.5 长3 肥【对应练习3】 求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 1) (2)C=12.56 10 吕【典型例题2】看展开图求体积 1.制作一个无盖圆柱体水桶，并在水桶的侧面画上喜欢的图案或题上最喜欢的格言。有以下 几种型号的铁皮可供搭配选择，你选择的材料是( )号和( )号。 3分米 12.56分米 9.42分米 1分米 4分米 ①号 ②号 ③号 ④号 (1)制作这样的水桶需要多少铁皮？ (2)这个水桶可以装水多少升？ 第8页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽 略不计) 18.84分米 10分米 (1)圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ (2)圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 即【对应练习1】 请你从以下型号的材料中选出两个制作一个无盖的圆柱形小水桶，并计算出这个水桶的容积。 (接口处忽略不计) 25.12cm 18.84cm 8cm 4cm ① ④ 0【对应练习2】 如用图阴影部分做一个圆柱体，这个圆柱体的容积是多少毫升？（π=3.14） 24.84cm 第9页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 社团手工课是学生最喜欢的课程之一，小明想用如图所示的一张长为16.56分米的长方形纸片 做成一个无盖圆柱体，阴影部分的纸片刚好能做一个无盖圆柱体，请你帮小明算一算做成的无 盖圆柱体的容积大约是多少？ 16.56 泉【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题 职方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1.已知圆柱的底面积和高，求体积：VSh。 2.已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πh。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)h。 4.已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷÷2)h。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★ 侣【典型例题】 李叔叔的酒窖里有一个底面内直径和高都是6分米的圆柱形酒桶，如果每升高粱酒重0.83千 克，这个酒桶可装高粱酒多少千克？（得数保留整数） 肥【对应练习1】 一个圆柱形粮囤，从里面量得底面直径是1米，高是2米。如果每立方米玉米约重750千克， 这个粮囤能装多少千克玉米？ 第10页共17页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用【十大考点】 专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用 专题内容 本专题以圆柱的体积和容积为主，其中包括圆柱体积公式的推导过程，圆柱体积的计算及实际应用，比在圆柱中的三种应用方式，圆柱的倍数关系等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为圆柱体积的基础内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十大考点 【考点一】圆柱体积计算公式的推导 3 【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算 5 【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算 5 【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高 6 【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积 7 【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题 10 【考点七】圆柱的体积其六：流水的体积问题（动态流水的体积计算） 11 【考点八】圆柱的体积其七：“木桶效应”问题（残缺圆柱的体积问题） 13 【考点九】圆柱体积的扩倍与缩倍问题 15 【考点十】圆柱体积的比例问题 16 【考点一】圆柱体积计算公式的推导 方法点拨 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式，我们可以推导得出圆柱体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意“三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变。 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积比圆柱表面积增加了长方体左右面的面积，即2rh；底面周长比圆柱底面周长增加了2r。 考察形式 填空、选择、判断、计算 动态评价 【典型例题】 用心思考，探索发现。 (1)寻找方法：课堂上小明和本组同学一起进行了图上的操作活动，这是为了探究( )。 (2)建立联系：拼成的长方体与原来的圆柱存在怎样的关系呢？（填大于、小于或者等于） ①拼成的长方体的表面积( )原来的圆柱表面积。 ②拼成的长方体的体积( )原来的圆柱的体积。 ③拼成的长方体底面积( )原来的圆柱底面积。 ④拼成的长方体的高( )原来的圆柱的高。 (3)归纳结论：通过以上操作，你得出的结论是( )。 【对应练习1】 如图所示，把底面周长是，高是的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体。表面积增加了( )，这个近似长方体的体积是( )cm3。 【对应练习2】 如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。已知长方体前面的面积是157平方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米。　 【对应练习3】 把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了40平方厘米，圆柱的表面积是( )，体积是( )。 【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1. 已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 2. 已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πr2h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)2h。 4. 已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π（C÷π÷2）²h。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆柱的底面半径是2cm，高是3cm，它的侧面积是( )cm2，体积是( )cm3 。 【对应练习1】 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是8厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【对应练习2】 一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【对应练习3】 一个圆柱体的底面直径4分米，高0.5分米，它的表面积是( )平方分米；它的体积是( )立方分米。 【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算 方法点拨 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 一个杯子的内直径为8cm，高为10cm，一袋牛奶有498mL，这个杯子能装下这袋牛奶吗？ 先算杯子的底面积，列式为( )，再算出杯子的容积，列式为( )，结果为( )。这个杯子( )装下这袋奶。 【对应练习1】 如图，这个圆柱形水桶可以装( )mL水。 【对应练习2】 王师傅用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是20cm，高是25cm。至少需要铁皮( )cm2，水桶的容积是( )L。 【对应练习3】 有关资料显示，每人每天正常饮水量约为1L，乐乐的圆柱形水杯底面直径是6cm，深9cm，她每天大约需要喝( )杯水。 【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高 方法点拨 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆柱的体积是32立方厘米，高是4厘米，底面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 一个圆柱的体积是25.12立方米，它的高为2米，那么它的底面半径是( )米。 【对应练习2】 一个圆柱的体积是90cm3，底面积是15cm2，它的高是( )cm。 【对应练习3】 一个深2米的圆柱形水池可以装25.12吨水（每立方米水的质量是1吨）。这个水池的占地面积是( )，底面半径是( ) 。 【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1. 已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 2. 已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πr2h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)2h。 4. 已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π（C÷π÷2）²h。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题1】看立体图形求体积 计算下面各圆柱的体积。（单位：厘米） 【对应练习1】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：米） 【对应练习2】 求圆柱的表面积和体积。（单位：厘米）    【对应练习3】 求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） （1）     （2） 【典型例题2】看展开图求体积 1．制作一个无盖圆柱体水桶，并在水桶的侧面画上喜欢的图案或题上最喜欢的格言。有以下几种型号的铁皮可供搭配选择，你选择的材料是( )号和( )号。 （1）制作这样的水桶需要多少铁皮？ （2）这个水桶可以装水多少升？ 2．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 【对应练习1】 请你从以下型号的材料中选出两个制作一个无盖的圆柱形小水桶，并计算出这个水桶的容积。（接口处忽略不计） 【对应练习2】 如用图阴影部分做一个圆柱体，这个圆柱体的容积是多少毫升？（π＝3.14） 【对应练习3】 社团手工课是学生最喜欢的课程之一，小明想用如图所示的一张长为16.56分米的长方形纸片做成一个无盖圆柱体，阴影部分的纸片刚好能做一个无盖圆柱体，请你帮小明算一算做成的无盖圆柱体的容积大约是多少？ 【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1. 已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 2. 已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πr2h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)2h。 4. 已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π（C÷π÷2）²h。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 李叔叔的酒窖里有一个底面内直径和高都是6分米的圆柱形酒桶，如果每升高粱酒重0.83千克，这个酒桶可装高粱酒多少千克？（得数保留整数） 【对应练习1】 一个圆柱形粮囤，从里面量得底面直径是1米，高是2米。如果每立方米玉米约重750千克，这个粮囤能装多少千克玉米？ 【对应练习2】 某林厂生产200根杨木圆木，已知每根圆木的直径是30厘米，长2.5米。 （1）这批圆木的体积是多少立方米？（π取3.14，得数保留一位小数） （2）已知每立方米杨木重430千克，这批杨木大约多少吨？（得数保留一位小数） 【对应练习3】 一堆玉米堆成圆锥形，底面半径是5米，高是1.8米。 （1）这些玉米的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米玉米重750千克，这些玉米有多少吨？ 【考点七】圆柱的体积其六：流水的体积问题（动态流水的体积计算） 方法点拨 解题关键是把动态的水流体积想象为静态的圆柱体积，而这一圆柱的高度随时间而变化可根据圆柱的体积公式计算出水流的体积，从而解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如果水流速度为每分钟45米，1根出水管多长时间能将如图泳池中的水放完？ 【对应练习1】 学校饮水机的水龙头内半径是0.6厘米，打开水龙头后水的流速是20厘米∕秒。李老师拿一个容积为300毫升的保温杯去装水，10秒能装满水吗？ 【对应练习2】 在校园节水爱水活动中，小东做了一个关于没拧紧的水龙头滴水情况的实验，他的方法是在家里把水龙头处于未拧紧的状态，用底面直径为8厘米的圆柱形玻璃杯放在水龙头下面接水。观察10分钟时发现玻璃杯内水面的高度为4厘米。照这样计算，请问1小时滴水多少毫升？1天时间滴水多少升？（计算结果保留整数） 【对应练习3】 理发店的墙壁上悬挂着一个半圆柱体储水桶如图所示。已知水桶的高是5分米，底面半圆的直径4分米。 （1）这个储水桶与墙面的接触面积有多少平方分米？ （2）这个储水桶最多储水多少升？ （3）储水桶下出水管的内直径是2厘米，装满水后打开水龙头时，水速为20厘米/秒，这桶水能持续使用多少秒？ 【考点八】圆柱的体积其七：“木桶效应”问题（残缺圆柱的体积问题） 方法点拨 木桶效应是指木桶的每块木板如果长短不齐，这个木桶的最大容量就取决于最短的木板，因此，在计算木桶的体积时，我们要把最短木板的长度作为圆柱的高。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一只木桶能够装多少水，取决于最短的那块木板，这被人们称之为“木桶原理”。下面是一个圆柱形木桶的相关信息，这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ ①木桶占地面积为1384.74平方厘米。    ②内直径为40厘米。 ③最短的木板高度为40厘米。        ④最长的木板高度为60厘米。 （1）计算时，需要的信息有( )。（把所选择的序号填在括号内） （2）根据所选信息，计算一下这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ 【对应练习1】 一个圆柱形木桶，底面直径为4分米，桶口距底面最小高度为5分米，最大高度为7分米。 （1）这个木桶如下图放置时，最多能装多少水？ （2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？ 【对应练习2】 一个圆柱形木桶底面的内直径为8分米，组成木桶的木板长短不一，高度分别有6分米、8分米、10分米。这个木桶水平摆放最多能装水多少升？ 【对应练习3】 木桶效应是指木桶的每块木板如果长短不齐，这个木桶的最大容量就取决于最短的木板。下图是一个由12块不同长度等宽木板制作而成的圆柱形木桶，从里面量得底面半径为5分米，从外面量得底面半径为6分米，除了标注了长度的木板，其余木板的高均为5分米。（π取3） （1）这个木桶最多能装多少升水？ （2）在木桶外侧面涂刷一层防漏油漆，需要涂油漆的面积是多少平方分米？ （3）如果要使木桶容量增加20%，需要把最短的木板增加多少分米？ 【考点九】圆柱体积的扩倍与缩倍问题 方法点拨 圆柱的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】扩倍问题 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【对应练习1】 一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【对应练习2】 圆柱体的底面半径和高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【对应练习3】 圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的( )。 A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍 【典型例题2】缩倍问题 圆柱的高不变，底面半径缩小为原来的，圆柱的体积( )。 A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 【对应练习1】 一个圆柱的底面半径缩小为原来的，高不变，则体积缩小为原来的( )。 A． B． C． 【对应练习2】 圆柱的底面积缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，它的体积就( )。 A．缩小为原来的 B．扩大8倍 C．缩小为原来的 【对应练习3】 圆柱的底面半径缩小为原来的，高扩大到原来的2倍，它的体积( )。 A．缩小为原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小为原来的 【考点十】圆柱体积的比例问题 方法点拨 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是( )。 【典型例题2】问题二 已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。 【典型例题3】问题三 两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少? 【对应练习1】 两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少? 【对应练习2】 两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少？ 【对应练习3】 如果两个圆柱的底面半径比是，高的比是，那么它们的侧面积比是( )，底面积比是( )，体积比是( )。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用【十大考点】 专题名称 第二单元圆柱和圆锥·圆柱的体积和容积篇其一·基础应用 专题内容 本专题以圆柱的体积和容积为主，其中包括圆柱体积公式的推导过程，圆柱体积的计算及实际应用，比在圆柱中的三种应用方式，圆柱的倍数关系等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为圆柱体积的基础内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十大考点 【考点一】圆柱体积计算公式的推导 3 【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算 7 【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算 9 【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高 12 【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积 13 【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题 21 【考点七】圆柱的体积其六：流水的体积问题（动态流水的体积计算） 24 【考点八】圆柱的体积其七：“木桶效应”问题（残缺圆柱的体积问题） 27 【考点九】圆柱体积的扩倍与缩倍问题 32 【考点十】圆柱体积的比例问题 36 【考点一】圆柱体积计算公式的推导 方法点拨 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式，我们可以推导得出圆柱体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意“三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变。 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积比圆柱表面积增加了长方体左右面的面积，即2rh；底面周长比圆柱底面周长增加了2r。 考察形式 填空、选择、判断、计算 动态评价 【典型例题】 用心思考，探索发现。 (1)寻找方法：课堂上小明和本组同学一起进行了图上的操作活动，这是为了探究( )。 (2)建立联系：拼成的长方体与原来的圆柱存在怎样的关系呢？（填大于、小于或者等于） ①拼成的长方体的表面积( )原来的圆柱表面积。 ②拼成的长方体的体积( )原来的圆柱的体积。 ③拼成的长方体底面积( )原来的圆柱底面积。 ④拼成的长方体的高( )原来的圆柱的高。 (3)归纳结论：通过以上操作，你得出的结论是( )。 【答案】(1)圆柱的体积计算方法 (2) 大于 等于 等于 等于 (3)圆柱的体积＝底面积×高 【分析】（1）运用割补法把圆柱转化成学过的长方体来探究圆柱的体积计算公式。 （2）把圆柱的底面分成16个（32个）相同的扇形，按照等分线并沿着圆柱的高把圆柱切开，然后拼成近似的长方体。这两个图形形状不同，表面不同，但体积的大小相等；底面积相等；高相等。 （3）长方体的体积＝底面积×高，根据长方体的体积计算公式可推导圆柱的体积计算公式。 【详解】（1）课堂上小明和本组同学一起进行了图上的操作活动，这是为了探究圆柱的体积计算方法。 （2）①拼成的长方体的表面积大于原来的圆柱表面积。 ②拼成的长方体的体积等于原来的圆柱的体积。 ③拼成的长方体底面积等于原来的圆柱底面积。 ④拼成的长方体的高等于原来的圆柱的高。 （3）归纳结论：通过以上操作，你得出的结论是圆柱的体积＝底面积×高。 【对应练习1】 如图所示，把底面周长是，高是的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体。表面积增加了( )，这个近似长方体的体积是( )cm3。 【答案】 40 251.2 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径；将圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体；表面积增加了左右2个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面半径，根据长方形面积＝长×宽，求出一个长方形面积，再乘2，就是增加的表面积。 长方体的长＝圆柱底面周长÷2，长方体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据长方体体积＝长×宽×高，计算出体积； 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 5×4×2 ＝20×2 ＝40（cm2） 3.14×4×2÷2×4×5＝251.2（cm3） 如图所示，把底面周长是25.12cm，高是5cm的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体。表面积增加了40cm2，这个近似长方体的体积251.2cm3。 【对应练习2】 如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。已知长方体前面的面积是157平方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米。　 【答案】785 【分析】据题意可知，长方体前面的面积就是圆柱侧面积的一半，根据圆柱的侧面公式，则长方体前面的面积就是，又知半径为5厘米，可用求出高，再根据，代入数据计算即可得解。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 圆柱的体积是785立方厘米。 【对应练习3】 把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了40平方厘米，圆柱的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 150.72平方厘米/150.72cm2 125.6立方厘米/125.6cm3 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体后体积不变，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了40平方厘米，据此可以求出圆柱的高。 圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，侧面积＝底面周长×高即S侧＝πdh，底面积即S底＝πr2，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】4÷2＝2（厘米） 40÷2÷2＝10（厘米） 3.14×4×10＋3.14×22×2 ＝12.56×10＋3.14×4×2 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（平方厘米） 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 圆柱的表面积是150.72平方厘米，体积是125.6立方厘米。 【考点二】圆柱的体积其一：圆柱体积的基本计算 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1. 已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 2. 已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πr2h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)2h。 4. 已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π（C÷π÷2）²h。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆柱的底面半径是2cm，高是3cm，它的侧面积是( )cm2，体积是( )cm3 。 【答案】 37.68 37.68 【分析】根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【详解】圆柱的侧面积： 2×3.14×2×3 ＝12.56×3 ＝37.68（cm2） 圆柱的体积： 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（cm3） 圆柱的侧面积是37.68cm2，体积是37.68cm3。 【对应练习1】 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是8厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 100.48 100.48 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【详解】圆柱的侧面积： 2×3.14×2×8 ＝12.56×8 ＝100.48（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方厘米） 这个圆柱的侧面积是100.48平方厘米，体积是100.48立方厘米。 【对应练习2】 一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 100.48 75.36 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个圆柱的表面积和体积。 【详解】圆柱的表面积： 2×3.14×2×6＋3.14×22×2 ＝12.56×6＋3.14×4×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（dm2） 圆柱的体积： 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（dm3） 这个圆柱的表面积是100.48dm2，体积是75.36dm3。 【对应练习3】 一个圆柱体的底面直径4分米，高0.5分米，它的表面积是( )平方分米；它的体积是( )立方分米。 【答案】 31.4 6.28 【分析】圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2＝πdh＋2πr2，圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。 【详解】表面积：3.14×4×0.5＋3.14×（4÷2）2×2 ＝6.28＋3.14×8 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方分米） 体积：3.14×（4÷2）2×0.5 ＝3.14×4×0.5 ＝3.14×2 ＝6.28（立方分米） 则它的表面积是31.4平方分米，体积是6.28立方分米。 【考点三】圆柱的体积其二：圆柱容积的计算 方法点拨 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 一个杯子的内直径为8cm，高为10cm，一袋牛奶有498mL，这个杯子能装下这袋牛奶吗？ 先算杯子的底面积，列式为( )，再算出杯子的容积，列式为( )，结果为( )。这个杯子( )装下这袋奶。 【答案】 3.14×（8÷2）2＝50.24（cm2） 50.24×10＝502.4（cm3） 502.4mL 能 【分析】根据圆的面积＝πr2，求出杯子的底面积；根据圆柱体积＝底面积×高，求出杯子的容积；比较牛奶体积和杯子容积，杯子容积＞牛奶体积，就可以装下。 【详解】3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 50.24×10＝502.4（cm3）＝502.4（mL） 502.4＞498mL 先算杯子的底面积，列式为3.14×（8÷2）2＝50.24（cm2），再算出杯子的容积，列式为50.24×10＝502.4（cm3），结果为502.4mL。这个杯子能装下这袋奶。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。 【对应练习1】 如图，这个圆柱形水桶可以装( )mL水。 【答案】282600 【分析】根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×（60÷2）2×100 ＝3.14×302×100 ＝3.14×900×100 ＝2826×100 ＝282600（cm3） 282600cm3＝282600mL 则这个圆柱形水桶可以装282600mL水。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 王师傅用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是20cm，高是25cm。至少需要铁皮( )cm2，水桶的容积是( )L。 【答案】 1884 7.85 【分析】铁皮面积＝底面积＋侧面积，底面积＝圆周率×半径的平方，侧面积＝底面周长×高；根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出容积，根据1L＝1000cm3，统一单位即可。 【详解】3.14×（20÷2）2＋3.14×20×25 ＝3.14×102＋1570 ＝3.14×100＋1570 ＝314＋1570 ＝1884（cm2） 3.14×（20÷2）2×25 ＝3.14×102×25 ＝3.14×100×25 ＝7850（cm3） ＝7.85（L） 至少需要铁皮1884cm2，水桶的容积是7.85L。 【对应练习3】 有关资料显示，每人每天正常饮水量约为1L，乐乐的圆柱形水杯底面直径是6cm，深9cm，她每天大约需要喝( )杯水。 【答案】4 【分析】由题意可知，圆柱的底面直径为6cm，高为9cm，利用“”求出圆柱形水杯的容积，每天喝水的杯数＝每人每天正常的饮水量÷圆柱形水杯的容积，据此解答。 【详解】（6÷2）2×9×3.14 ＝9×9×3.14 ＝81×3.14 ＝254.34（cm3） 1L＝1000mL＝1000cm3 1000÷254.34≈4（杯） 所以，她每天大约需要喝4杯水。 【点睛】掌握圆柱的体积计算公式并准确求出水杯的容积是解答题目的关键。 【考点四】圆柱的体积其三：反求底面积或高 方法点拨 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆柱的体积是32立方厘米，高是4厘米，底面积是( )平方厘米。 【答案】8 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝圆柱的体积÷高，据此代入数据解答。 【详解】（平方厘米） 底面积是8平方厘米。 【对应练习1】 一个圆柱的体积是25.12立方米，它的高为2米，那么它的底面半径是( )米。 【答案】2 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，用25.12÷2即可求出底面积，再根据圆柱的底面积公式：S＝πr2，用底面积除以3.14即可求出半径的平方，进而求出半径。 【详解】25.12÷2÷3.14＝4（平方米） 4＝2×2 一个圆柱的体积是25.12立方米，它的高为2米，那么它的底面半径是2米。 【对应练习2】 一个圆柱的体积是90cm3，底面积是15cm2，它的高是( )cm。 【答案】6 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，代入数据计算即可求解。 【详解】90÷15＝6（cm） 圆柱的高是6cm。 【对应练习3】 一个深2米的圆柱形水池可以装25.12吨水（每立方米水的质量是1吨）。这个水池的占地面积是( )，底面半径是( ) 。 【答案】 12.56平方米/12.56m2 2米/2m 【分析】根据题意可知，用25.12÷1即可求出水的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，用水的体积÷2即可求出水池的占地面积，再根据圆柱的底面积公式：S＝πr2，推出底面半径即可。 【详解】25.12÷1＝25.12（立方米） 25.12÷2＝12.56（平方米） 12.56÷3.14＝4 4＝2×2 这个水池的占地面积是12.56平方米；底面半径是2米。 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【考点五】圆柱的体积其四：根据立体图或展开图求体积 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1. 已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 2. 已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πr2h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)2h。 4. 已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π（C÷π÷2）²h。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题1】看立体图形求体积 计算下面各圆柱的体积。（单位：厘米） 【答案】157立方厘米；150.72厘米；401.92立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式： V＝ πr2h，代入数据进行解答即可。 【详解】3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 3.14×（4÷2）2×12 ＝3.14×4×12 ＝12.56×12 ＝150.72（立方厘米） 3.14×（8÷2）2×8 ＝3.14×16×8 ＝50.24×8 ＝401.92（立方厘米） 第一个圆柱的体积是157立方厘米，第二个圆柱的体积是150.72厘米，第三个圆柱的体积是401.92立方厘米。 【对应练习1】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：米） 【答案】351.68平方米；502.4立方米 【分析】圆柱的表面积＝上下两个圆形底面的面积＋圆柱的侧面积，圆柱的底面积＝πr2，圆柱的侧面积＝2πrh；圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。 【详解】半径： 8÷2＝4（米） 表面积： 2×3.14×42＋2×3.14×4×10 ＝6.28×16＋25.12×10 ＝100.48＋251.2 ＝351.68（平方米） 体积： 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方米） 表面积是351.68平方米，体积是502.4立方米。 【对应练习2】 求圆柱的表面积和体积。（单位：厘米）    【答案】表面积是178.98平方厘米；体积是183.69立方厘米 【分析】根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrh，圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】2×3.14×32＋2×3.14×3×6.5 ＝2×3.14×9＋2×3.14×3×6.5 ＝56.52＋122.46 ＝178.98（平方厘米） 3.14×32×6.5 ＝3.14×9×6.5 ＝183.69（立方厘米） 圆柱的表面积是178.98平方厘米；体积是183.69立方厘米。 【对应练习3】 求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） （1）     （2） 【答案】（1）表面积94.2平方厘米；体积56.52立方厘米 （2）表面积150.72平方厘米；体积125.6立方厘米 【分析】两个立体图形都是圆柱体，分别代入圆柱的表面积、体积公式求解即可。 圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积，其中侧面积＝Ch＝，一个底面的面积＝；圆柱的体积＝底面积×高＝； 当底面半径未知时，可以用C÷2π求底面半径 【详解】（1）表面积：2×3.14×3×2＋3.14×32×2 ＝6.28×3×2＋3.14×9×2 ＝18.84×2＋28.26×2 ＝37.68＋56.52 ＝94.2（平方厘米） 体积：3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方厘米） 表面积是94.2平方厘米，体积是56.52立方厘米。 （2）半径：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 表面积：12.56×10＋3.14×22×2 ＝125.6＋3.14×4×2 ＝125.6＋12.56×2 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（平方厘米） 体积：3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 表面积是150.72平方厘米，体积是125.6立方厘米。 【典型例题2】看展开图求体积 1．制作一个无盖圆柱体水桶，并在水桶的侧面画上喜欢的图案或题上最喜欢的格言。有以下几种型号的铁皮可供搭配选择，你选择的材料是( )号和( )号。 （1）制作这样的水桶需要多少铁皮？ （2）这个水桶可以装水多少升？ 【答案】②；④ （1）50.24平方分米 （2）37.68升 【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式C＝πd，即可求出圆柱的底面周长，然后与两个长方形的长进行比较即可确定选择哪两个材料。 已知圆柱形水桶无盖，也就是只有侧面和一个底面；那么无盖水桶需要铁皮的面积＝侧面积＋底面积，根据S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算求解。 （2）根据圆柱的容积（体积）公式V＝πr2h，以及进率：1立方分米＝1升，即可求出这个圆柱形水桶可以装水的升数。 【详解】（1）圆柱的底面直径为4分米时，圆柱的底面周长是： 3.14×4＝12.56（分米） 我选择的材料是②号和④号。（答案不唯一） 12.56×3＋3.14×（4÷2）2 ＝37.68＋3.14×4 ＝37.68＋12.56 ＝50.24（平方分米） 答：制作这样的水桶需要50.24平方分米铁皮。 （2）3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方分米） 37.68立方分米＝37.68升 答：这个水桶可以装水37.68升。 2．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）131.88平方分米 （2）113.04立方分米 【分析】（1）从图中可知，剪下的长方形做圆柱形油桶的侧面，剪下的两个圆分别做油桶的两个底面。那么长方形铁皮的长就是圆柱形油桶的底面周长，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出油桶的底面直径；长方形铁皮的宽减去油桶的底面直径，即是圆柱形油桶的高； 然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形油桶的表面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱形油桶的体积。 【详解】（1）圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（分米） 圆柱的高：10－6＝4（分米） 圆柱的表面积： 18.84×4＋3.14×（6÷2）2×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（平方分米） 答：圆柱形油桶的表面积是131.88平方分米。 （2）3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（立方分米） 答：圆柱形油桶的体积是113.04立方分米。 【点睛】本题考查圆柱表面积、体积公式的灵活运用，结合图形，找出长方形的长、宽与圆柱的底面周长和高的关系是解题的关键。 【对应练习1】 请你从以下型号的材料中选出两个制作一个无盖的圆柱形小水桶，并计算出这个水桶的容积。（接口处忽略不计） 【答案】选择②和③；251.2毫升 【分析】根据圆柱的展开图可知，圆柱的底面周长应等于圆柱的侧面展开的长方形的长，据此选择材料，再根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此计算即可。 【详解】3.14×8＝25.12（厘米） 3.14×4＝12.56（厘米） 选择②和③ （厘米） ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） ＝251.2（毫升） 答：这个水桶的容积是251.2毫升。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 如用图阴影部分做一个圆柱体，这个圆柱体的容积是多少毫升？（π＝3.14） 【答案】339.12毫升 【分析】观察题意可知，圆柱的底面周长＋底面直径＝24.84厘米，根据底面周长公式：C＝πd，可知πd＋d＝24.84厘米，用24.84÷（3.14＋1）即可求出底面直径；又已知圆柱的高相当于2个底面直径，据此求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可，最后将单位换算成毫升。 【详解】24.84÷（3.14＋1） ＝24.84÷4.14 ＝6（厘米） 6÷2＝3（厘米） 6×2＝12（厘米） 3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（立方厘米） 339.12立方厘米＝339.12毫升 答：这个圆柱体的容积是339.12毫升。 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式，注意判断底面直径和底面周长以及高的关系。 【对应练习3】 社团手工课是学生最喜欢的课程之一，小明想用如图所示的一张长为16.56分米的长方形纸片做成一个无盖圆柱体，阴影部分的纸片刚好能做一个无盖圆柱体，请你帮小明算一算做成的无盖圆柱体的容积大约是多少？ 【答案】50.24立方分米 【分析】看图可知，圆柱的高＝底面直径，圆柱底面周长＋底面直径＝16.56分米，据此求出圆柱底面直径，即圆柱的高，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出容积。 【详解】πd＋d＝16.56（分米） d＝h＝16.56÷（3.14＋1） ＝16.56÷4.14 ＝4（分米） 圆柱的体积v＝3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 答：做成的无盖圆柱体的容积大约是50.24立方分米。 【点睛】关键是确定圆柱底面直径和高，掌握并灵活运用圆柱体积公式。 【考点六】圆柱的体积其五：圆柱的体积与生活实际问题 方法点拨 计算圆柱体积的基本方法。 1. 已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 2. 已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πr2h。 3. 已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)2h。 4. 已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π（C÷π÷2）²h。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 李叔叔的酒窖里有一个底面内直径和高都是6分米的圆柱形酒桶，如果每升高粱酒重0.83千克，这个酒桶可装高粱酒多少千克？（得数保留整数） 【答案】140千克 【分析】已知圆柱形酒桶的底面内直径和高都是6分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出酒桶的容积； 再用每升高粱酒的重量乘酒桶的容积，即是这个酒桶可装高粱酒的总重量，得数应采用“去尾法”取值。 【详解】3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方分米） 169.56立方分米＝169.56升 0.83×169.56≈140（千克） 答：这个酒桶可装高粱酒140千克。 【对应练习1】 一个圆柱形粮囤，从里面量得底面直径是1米，高是2米。如果每立方米玉米约重750千克，这个粮囤能装多少千克玉米？ 【答案】 【分析】根据圆柱体积公式：，求出圆柱形粮囤的容积，粮囤容积×每立方米玉米质量＝这个粮囤能装的玉米质量，据此列式。 【详解】 （千克） 答：这个粮囤能装1177.5千克玉米。 【对应练习2】 某林厂生产200根杨木圆木，已知每根圆木的直径是30厘米，长2.5米。 （1）这批圆木的体积是多少立方米？（π取3.14，得数保留一位小数） （2）已知每立方米杨木重430千克，这批杨木大约多少吨？（得数保留一位小数） 【答案】（1）35.3立方米 （2）15.2吨 【分析】（1）应用圆柱的体积公式计算出每根圆木的体积，再乘200就是这批圆木的体积。 （2）用这批杨木的体积乘每立方米杨木的重量就是这批杨木的总重，再换算成吨，据此解答。 【详解】（1）30厘米＝0.3米 0.3÷2＝0.15米 3.14×0.152×2.5×200 ＝3.14×0.152×2.5×200 ＝3.14×0.0225×2.5×200 ＝0.07065×2.5×200 ＝35.325 ≈35.3（立方米） 答：这批圆木的体积是35.3立方米。 （2）35.3×430＝15179（千克） 15179千克＝15.179吨≈15.2吨 答：这批杨木大约15.2吨。 【对应练习3】 一堆玉米堆成圆锥形，底面半径是5米，高是1.8米。 （1）这些玉米的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米玉米重750千克，这些玉米有多少吨？ 【答案】（1）47.1立方米；（2）35.325吨 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，已知底面半径是5米，高是1.8米，把数据代入公式解答。 （2）用玉米的体积乘每立方米玉米的质量即可，最后把结果换算成吨即可。 【详解】（1）3.14×52×1.8× ＝3.14×25×1.8× ＝78.5×1.8× ＝141.3× ＝47.1（立方米） 答：这些玉米的体积是47.1立方米。 （2）47.1×750＝35325（千克） 35325千克＝35.325吨 答：这些玉米有35.325吨。 【考点七】圆柱的体积其六：流水的体积问题（动态流水的体积计算） 方法点拨 解题关键是把动态的水流体积想象为静态的圆柱体积，而这一圆柱的高度随时间而变化可根据圆柱的体积公式计算出水流的体积，从而解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如果水流速度为每分钟45米，1根出水管多长时间能将如图泳池中的水放完？ 【答案】400分钟 【分析】已知泳池长25米、宽8米、水深1.8米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 已知水管出水口面积为2平方分米即0.02米，水流速度为每分钟45米，根据公式V＝Sh，用出口面积乘水流速度，求出水管每分钟放水的体积； 最后用泳池里水的体积除以水管每分钟放水的体积，求出放完泳池中的水需用的时间。 【详解】25×8×1.8 ＝200×1.8 ＝360（立方米） 2平方分米＝0.02平方米 0.02×45＝0.9（立方米） 360÷0.9＝400（分钟） 答：1根出水管400分钟能将泳池中的水放完。 【对应练习1】 学校饮水机的水龙头内半径是0.6厘米，打开水龙头后水的流速是20厘米∕秒。李老师拿一个容积为300毫升的保温杯去装水，10秒能装满水吗？ 【答案】不能 【分析】打开水龙头流出的水呈现圆柱体形态，水的流速是20厘米∕秒，乘10秒即可求出10秒流出水的高度（近似看作圆柱的高），根据圆柱的水的体积等于底面积乘高，计算10秒流出的水的容积，再与300毫升比较即可解答。 【详解】3.14×0.62×（20×10） ＝3.14×0.36×200 ＝1.1304×200 ＝226.08（立方厘米） ＝226.08（毫升） 因为226.08毫升＜300毫升，所以装不满。 答：10秒不能装满水。 【对应练习2】 在校园节水爱水活动中，小东做了一个关于没拧紧的水龙头滴水情况的实验，他的方法是在家里把水龙头处于未拧紧的状态，用底面直径为8厘米的圆柱形玻璃杯放在水龙头下面接水。观察10分钟时发现玻璃杯内水面的高度为4厘米。照这样计算，请问1小时滴水多少毫升？1天时间滴水多少升？（计算结果保留整数） 【答案】1206毫升；29升 【分析】先根据“圆柱的体积＝×半径的平方×高”求出10分钟滴出水的体积，再用除法求出1分钟滴出水的体积，1小时＝60分钟，60分钟里有60÷10＝6个10分钟，10分钟滴出水的体积乘6求出1小时滴水多少立方厘米，再根据1立方厘米＝1毫升，把立方厘米化成毫升，1天＝24小时，最后用1小时滴水多少立方厘米乘24求1天滴出水的体积，再把立方厘米化成立方分米，再把立方分米化成升即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） ××4 ＝×16×4 ＝×64 ＝64（立方厘米） 1小时＝60分钟，60÷10＝6 64×6＝384（立方厘米） 384×3.14≈1206（立方厘米） 1206立方厘米＝1206毫升 1天＝24小时 384×24＝9216（立方厘米） 9216立方厘米＝9216毫升 9216÷1000＝9.216＝9.216×3.14≈29（升） 答：1小时滴水1206毫升，1天时间滴水29升。 【对应练习3】 理发店的墙壁上悬挂着一个半圆柱体储水桶如图所示。已知水桶的高是5分米，底面半圆的直径4分米。 （1）这个储水桶与墙面的接触面积有多少平方分米？ （2）这个储水桶最多储水多少升？ （3）储水桶下出水管的内直径是2厘米，装满水后打开水龙头时，水速为20厘米/秒，这桶水能持续使用多少秒？ 【答案】（1）20平方分米 （2）31.4升 （3）500秒 【分析】（1）求水桶与墙面的接触面积就是求圆柱切面的长方形面积，长方形的宽等于直径，长方形的长等于圆柱的高； （2）这个储水桶的容积等于整个圆柱容积的一半，圆柱的容积＝底面积×高，用圆柱的容积乘二分之一就是这个水桶的容积； （3）先将水桶的单位换算成毫升，求出每秒流出水的体积，水桶的容积÷每秒流出水的体积＝流水持续的时间。 【详解】（1）5×4＝20（平方分米） 答：这个储水桶与墙面的接触面积有20平方分米 （2）3.14×（4÷2）2×5÷2 ＝3.14×20÷2 ＝31.4（立方分米） ＝31.4（升） 答：这个储水桶最多储水31.4升。 （3）31.4升＝31400毫升 3.14×（2÷2）2×20 ＝3.14×20 ＝62.8（立方厘米） ＝62.8（毫升） 31400÷62.8＝500（秒） 答：这桶水能持续使用500秒。 【点睛】再求这个圆柱的接触面积是要知道是求这个长方形的面积，理解长方形的宽与直径是相等的，长与圆柱的高是相等的；求水桶容积的时候重点是知道水桶的容积是圆柱容积的一半。 【考点八】圆柱的体积其七：“木桶效应”问题（残缺圆柱的体积问题） 方法点拨 木桶效应是指木桶的每块木板如果长短不齐，这个木桶的最大容量就取决于最短的木板，因此，在计算木桶的体积时，我们要把最短木板的长度作为圆柱的高。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一只木桶能够装多少水，取决于最短的那块木板，这被人们称之为“木桶原理”。下面是一个圆柱形木桶的相关信息，这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ ①木桶占地面积为1384.74平方厘米。    ②内直径为40厘米。 ③最短的木板高度为40厘米。        ④最长的木板高度为60厘米。 （1）计算时，需要的信息有( )。（把所选择的序号填在括号内） （2）根据所选信息，计算一下这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ 【答案】（1）②③ （2）50.24升 【分析】（1）根据“一只木桶能够装多少水，取决于最短的那块木板”以及圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，需要知道圆柱形木桶的内直径和最短的木板高度，据此选择需要的信息。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这只木桶的容积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】（1）计算时，需要的信息有（②③）。 （2）3.14×（40÷2）2×40 ＝3.14×202×40 ＝3.14×400×40 ＝50240（立方厘米）     50240立方厘米＝50.24升 答：这只木桶竖直摆放时最多能盛50.24升水。 【对应练习1】 一个圆柱形木桶，底面直径为4分米，桶口距底面最小高度为5分米，最大高度为7分米。 （1）这个木桶如下图放置时，最多能装多少水？ （2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？ 【答案】（1）62.8升 （2）75.36平方分米 【分析】（1）π×底面半径的平方×桶口距底面最小高度＝最多能装水的体积； （2）圆柱的底面积＋高是5分米的侧面积＝水跟桶的接触面积。据此代入数据计算即可。 【详解】（1）底面半径：4÷2＝2（分米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 62.8立方分米＝62.8升 答：最多能装62.8升的水。 （2）3.14×22＋3.14×4×5 ＝3.14×4＋12.56×5 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 答：装满水后，水跟桶的接触面积是75.36平方分米。 【对应练习2】 一个圆柱形木桶底面的内直径为8分米，组成木桶的木板长短不一，高度分别有6分米、8分米、10分米。这个木桶水平摆放最多能装水多少升？ 【答案】301.44升 【分析】根据题意，水的高度由最短的木板决定，水最高是6分米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出水的体积，再把单位换算成升。 【详解】3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方分米） 301.44立方分米＝301.44升 答：这个木桶水平摆放最多能装水301.44升。 【对应练习3】 木桶效应是指木桶的每块木板如果长短不齐，这个木桶的最大容量就取决于最短的木板。下图是一个由12块不同长度等宽木板制作而成的圆柱形木桶，从里面量得底面半径为5分米，从外面量得底面半径为6分米，除了标注了长度的木板，其余木板的高均为5分米。（π取3） （1）这个木桶最多能装多少升水？ （2）在木桶外侧面涂刷一层防漏油漆，需要涂油漆的面积是多少平方分米？ （3）如果要使木桶容量增加20%，需要把最短的木板增加多少分米？ 【答案】（1）187.5升 （2）180平方分米 （3）0.5分米 【分析】（1）求这个木桶最多能装水的容积，就是求底面半径是5分米，高是2.5分米的圆柱的容积，根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 （2）木板的长度一个是7分米，一个是5.5分米，一个2.5分米，其余都是5分米；把两个长的木板减去5，剩下的长度是7－5＝2分米和5.5－5＝0.5分米；2＋0.5＝2.5分米；最短的木板是2.5分米，2.5＋2.5＝5分米，所以需要涂油漆的面积就是一个底面半径是6分米，高是5分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 （3）把原来木桶装水的容积看作单位“1”，增加后的容积是原来容积的（1＋20%），用原来木桶的容积×（1＋20%），求出增加后木桶的容积；再根据圆柱的容积＝底面积×高，高＝圆柱的容积÷底面积，求出增加后木桶的高，再减去原来最短的木板的长度，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（1）3×52×2.5 ＝3×25×2.5 ＝75×2.5 ＝187.5（立方分米） 187.5立方分米＝187.5升 答：这个木桶最多能装187.5升水。 （2）7－5＝2（分米） 5.5－5＝0.5（分米） 2＋0.5＝2.5（分米） 2.5＋2.5＝5（分米） 需要涂油漆的面积就是一个底面半径是6分米，高是5分米的圆柱侧面积。 3×6×2×5 ＝18×2×5 ＝36×5 ＝180（平方分米） 答：需要涂油漆的面积是180平方分米。 （3）187.5×（1＋20%） ＝187.5×1.2 ＝225（升） 225升＝225立方分米 225÷（3×52） ＝225÷（3×25） ＝225÷75 ＝3（分米） 3－2.5＝0.5（分米） 答：需要把最短的木板增加0.5分米。 【考点九】圆柱体积的扩倍与缩倍问题 方法点拨 圆柱的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】扩倍问题 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【答案】 3 9 【分析】根据圆柱体积=，其中r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入数据可计算出答案。 【详解】圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大3倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大倍。 【对应练习1】 一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大( )倍。 【答案】 2 16 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，当底面半径不变，底面积就不变，圆柱的体积与圆柱的高有关系，高怎么变化，体积就怎么样变化； 当圆柱的高不变，体积大小与圆柱的底面积有关系，因为底面积与半径的平方有关，所以体积的变化就等于半径的平方。 【详解】高扩大2倍，底面半径不变，圆柱的体积就扩大2倍；圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，圆柱的体积扩大倍，也就是16倍。 【点睛】考查圆柱的体积与高的变化关系，以及圆柱的体积与底面半径的关系。 【对应练习2】 圆柱体的底面半径和高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h，根据“圆柱的体积计算公式： ”，分别求出变化前后的体积，即可求出体积扩大的倍数。 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h， 扩大前体积为： 扩大后体积为： 所以，把一个圆柱的底面半径和高都扩大2倍，圆柱的体积就扩大8倍。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查的是圆柱的体积计算方法，还可以用举例子的方法解题，熟练应用公式是解决问题的关键。 【对应练习3】 圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的( )。 A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍 【答案】C 【分析】根据圆的面积可知，如果一个圆的半径扩大到原来的若干倍，则这个圆的面积就扩大到原来的该倍数的平方倍。即圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，圆柱体的底面积就扩大到原来的32倍；圆柱的体积，圆柱体的底面积扩大到原来的32倍，高扩大原来的2倍，根据积的变化规律可知，圆柱的体积扩大到原来的（32×2）倍。 【详解】32×2 ＝9×2 ＝18 所以体积扩大到原来的18倍。 故答案为：C 【点睛】此题考查了圆的面积、圆柱的体积计算公式及积的变化规律。 【典型例题2】缩倍问题 圆柱的高不变，底面半径缩小为原来的，圆柱的体积( )。 A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 【答案】B 【分析】设圆柱的半径为1，高为1，由此利用圆柱的体积公式分别求出扩大前后的体积进行比较即可选择。 【详解】设圆柱的半径为1，高为1， 则圆柱的体积为：π×12×1＝π； 若半径缩小为原来的，则圆柱的体积为：； ，所以它的体积是缩小为原来的， 故答案为：B 【点睛】此题考查了圆柱的体积公式的灵活应用，熟记公式是解题的关键。 【对应练习1】 一个圆柱的底面半径缩小为原来的，高不变，则体积缩小为原来的( )。 A． B． C． 【答案】B 【详解】略 【对应练习2】 圆柱的底面积缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，它的体积就( )。 A．缩小为原来的 B．扩大8倍 C．缩小为原来的 【答案】C 【分析】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。圆柱的体积＝底面积×高，底面积缩小为原来的，而高又扩大为原来的2倍，两个因数都变，将两数相乘，所得的乘积大于1即为扩大，小于1即为缩小；据此得解。 【详解】根据题干分析可得： ×2＝ 圆柱的体积缩小为原来的。 故选：C 【点睛】此题考查了圆柱的体积公式与积的变化规律的综合应用。 【对应练习3】 圆柱的底面半径缩小为原来的，高扩大到原来的2倍，它的体积( )。 A．缩小为原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小为原来的 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝，若圆柱的底面半径缩小为原来的，则半径为，高扩大到原来的2倍，则高为2h，再代入体积公式中，求出圆柱的体积，与之前的体积比较即可得解。 【详解】原来圆柱的体积为： 变化后，圆柱的体积为： ＝ ＝ 所以它的体积缩小到原来的。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱的体积公式求解。 【考点十】圆柱体积的比例问题 方法点拨 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是( )。 解析：1∶2 【典型例题2】问题二 已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。 解析：2∶3。 【典型例题3】问题三 两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少? 解析：1∶6。 【对应练习1】 两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少? 解析：1∶4。 【对应练习2】 两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少？ 解析：16∶9。 【对应练习3】 如果两个圆柱的底面半径比是，高的比是，那么它们的侧面积比是( )，底面积比是( )，体积比是( )。 【答案】 4∶3 4∶9 8∶9 【分析】根据底面半径比和高的比，可以假设第一个圆柱底面半径是2、高是2，第二个圆柱底面半径是3、高是1，由此列式计算出它们的侧面积、底面积和体积，再做比即可。 【详解】令第一个圆柱底面半径是2、高是2，第二个圆柱底面半径是3、高是1，此时满足两个圆柱的底面半径比是，高的比是。 侧面积比：（2×3.14×2×2）∶（2×3.14×3×1）＝4∶3 底面积比：（3.14×22）∶（3.14×32）＝4∶9 体积比：（3.14×22×2）∶（3.14×32×1）＝8∶9 【点睛】本题考查了圆柱表面积、体积和比，解题关键是熟记相关公式，掌握比的化简方法。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $