专题20 双曲线 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题20 双曲线 一、【考点导读】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能根据条件求双曲线的标准方程； 3. 用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题； 4. 能解集直线与双曲线的相关问题. 二、【真题精练】 题型一、双曲线的标准方程 1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知双曲线的一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）以y=x为渐近线，一个焦点为的双曲线的方程（    ） A． B．=1 C． D． 4．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，为双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且P到，的距离之差为4，则双曲线的标准方程为 ． 5．（24-25高三下·内蒙古·一模）双曲线的渐近线方程为，且经过点，则双曲线方程为 . 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知方程表示双曲线，那么m取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）方程所表示的曲线为（    ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线 题型二、双曲线的简单几何性质及其应用 9．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D．2 10．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知F1为双曲线左焦点，P，Q为双曲线右支上的点，且直线PQ过双曲线的右焦点F2，PQ的长等于双曲线实轴的2倍，则三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 11．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知、是双曲线的左、右焦点，在左支上过的弦的长为6，那么的周长是（   ） A．16 B．19 C．22 D．28 12．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为 . 13．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）抛物线的焦点与双曲线的渐近线的距离是 . 14．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知为双曲线上一点，和为双曲线的焦点，若，则的面积为 ． 15．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是 . 三、【考点演练】 一、单选题 1．已知双曲线（）的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（    ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 3．已知双曲线的方程，则双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（     ） A． B．1 C． D．2 5．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4，则双曲线的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知双曲线的方程为，则渐近线方程为 . 8．双曲线的右顶点坐标为 ． 9．双曲线的离心率 . 三、解答题 10．已知点在双曲线上，且双曲线的渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 11．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为. (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，直线与双曲线交于，两点，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题20 双曲线 一、【考点导读】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能根据条件求双曲线的标准方程； 3. 用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题； 4. 能解集直线与双曲线的相关问题. 二、【真题精练】 题型一、双曲线的标准方程 1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由椭圆的方程确定，再由椭圆中的关系求出确定焦点，和离心率，再由双曲线的离心率求出的值，再由双曲线中的值求出即可写出方程. 【详解】由椭圆可得， 所以，焦点坐标为，离心率 因为双曲线与椭圆共焦点， 所以，由它们的离心率之和为， 可得双曲线的离心率为， 即，解得，则 且焦点在轴上，所以双曲线方程为， 故选：D. 2．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知双曲线的一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出点P，将双曲线焦点与点P代入双曲线方程求解即可. 【详解】双曲线的一个焦点为，可知双曲线方程为， 且，则①， 因为点在双曲线上，且线段的中点坐标为， 则有，，即， 则，则，②， 联立①②，，， 解得，， 则双曲线标准方程为； 故选：B. 3．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）以y=x为渐近线，一个焦点为的双曲线的方程（    ） A． B．=1 C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标判断焦点位置，设出双曲线方程，再根据渐近线方程和焦点列出方程组，求解即可得出双曲线方程. 【详解】根据双曲线焦点为，得焦点在轴上，且， 设双曲线方程为（）， 则渐近线方程为， 且， 由题可得 ，解得， 所以双曲线方程为， 故选：D 4．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，为双曲线的两个焦点，P是双曲线上的点，且P到，的距离之差为4，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义直接求解. 【详解】∵双曲线焦点在y轴上， ， 又因为点P到两焦点的距离之差为4， 所以， 所以 ∴所求双曲线的标准方程为. 故答案为： 5．（24-25高三下·内蒙古·一模）双曲线的渐近线方程为，且经过点，则双曲线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入到双曲线的方程，计算可得的值，将其方程变形为标准方程的形式，即可得答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线的标准方程为， 又因为双曲线经过点， 所以，解得：， 则双曲线的方程为：， 其标准方程为：， 故答案为：. 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示双曲线方程的性质列式即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得，即. 故选：B. 7．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知方程表示双曲线，那么m取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据双曲线的条件，得出不等式，即可得出结论. 【详解】因为方程表示双曲线. 所以，即, 解得. 故选：B. 8．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）方程所表示的曲线为（    ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域确定与的符号，再由双曲线的定义即可解答. 【详解】已知方程， 因为，所以，， 即， 所以原方程可变形为， 即该曲线为焦点在轴上的双曲线， 故选：B. 题型二、双曲线的简单几何性质及其应用 9．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据直线平行得到斜率，进而由双曲线中的关系求解离心率即可； 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线平行； 所以，即， 因为，即， 所以离心率； 故选：C 10．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知F1为双曲线左焦点，P，Q为双曲线右支上的点，且直线PQ过双曲线的右焦点F2，PQ的长等于双曲线实轴的2倍，则三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据题意画出双曲线图像，然后根据双曲线的定义到两定点的距离之差为定值2a，解决求出周长即可. 【详解】由双曲线的方程可得，则, 双曲线图像如图： ∵，① ，② 而， ①+②得， ∴周长为. 故选：D. 11．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知、是双曲线的左、右焦点，在左支上过的弦的长为6，那么的周长是（   ） A．16 B．19 C．22 D．28 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出的值，进而求出的周长. 【详解】    因为双曲线方程为，所以， 因为在双曲线的左支上，所以, 两式相加得, 即, 所以， 所以的周长为. 故选：D. 12．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程求出焦距，设，由椭圆的定义及勾股定理列方程求出，即可求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】椭圆焦点，点为双曲线与椭圆的交点， 设，则， ，又， 所以， 因为，所以， 则， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，且点为双曲线与椭圆的交点， 所以，即， 所以双曲线的离心率为.    故答案为：. 13．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）抛物线的焦点与双曲线的渐近线的距离是 . 【答案】/ 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，从而利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为的焦点为， 双曲线的渐近线为， 则所求距离为. 故答案为：. 14．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知为双曲线上一点，和为双曲线的焦点，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意可得双曲线的标准方程，可得、、的值，根据余弦定理求出的值，由，求得的面积. 【详解】双曲线即为，可得，，， 由双曲线的定义可得，， 在中，由余弦定理可得 ，可得， 即，则的面积为. 故答案为：. 15．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用，即可求得结论． 【详解】由题意，， ∴双曲线的离心率， 故答案为：. 三、【考点演练】 一、单选题 1．已知双曲线（）的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程及几何性质分析求解即可. 【详解】因为双曲线（）的实轴长为4， 所以，又因为离心率为， 所以，所以，     所以， 则双曲线的标准方程为. 故选：A. 2．动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（    ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 【答案】C 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，即可判断求解. 【详解】由题意，因为点，， 所以， 当时，，此时点的轨迹是双曲线的一支； 当时，， 点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线． 故选：C. 3．已知双曲线的方程，则双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程得到，结合焦点在轴上，即可求解. 【详解】因为双曲线的方程，则焦点在轴上， 所以，即， 故双曲线的焦点坐标. 故选：A. 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆与双曲线共焦点，求a. 【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同， 所以，解得(经检验，都符合题意). 故选：C. 5．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4，则双曲线的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的方程可得出双曲线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和曲线上的一点即可列方程组，求出双曲线方程即可. 【详解】由已知可求得椭圆的焦点坐标为，与所求双曲线交点坐标为， 所以所求双曲线焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 可得，解得， 所以，双曲线的方程为，虚轴长. 故选：B. 6．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值法验证即可得到答案. 【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D； 当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意， 故选：A. 二、填空题 7．已知双曲线的方程为，则渐近线方程为 . 【答案】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，再根据双曲线的标准方程求渐近线方程. 【详解】双曲线的方程化为标准式为， 即双曲线焦点在轴上，， 即渐近线的方程为， 故答案为： 8．双曲线的右顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程可知，焦点在x轴上，，据此可得结果. 【详解】由双曲线知，焦点在x轴上，， 所以右顶点为. 故答案为： 9．双曲线的离心率 . 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程运用离心率公式即可解得 【详解】由双曲线方程， 可得， 则， 故离心率. 故答案为：. 三、解答题 10．已知点在双曲线上，且双曲线的渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】(1)（或）； (2)或 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程，联立求解出与的值，从而得到双曲线方程. （2）先写出直线方程，然后与双曲线方程联立，分直线与双曲线渐近线平行（此时方程为一次方程）和判别式等于（此时直线与双曲线相切）两种情况讨论，求出的值. 【详解】（1）由条件可知，，且， 解得：，， 所以双曲线方程为（或）. （2）设直线的方程为， 联立，整理得， 当时，，得； 当时，时，与双曲线的渐近线方程平行， 故与双曲线只有一个交点，满足条件， 综上可知，或. 11．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为. (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，直线与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程可列出关于,的方程,再根据虚轴长度进而求出双曲线的方程. （2）将直线方程代入双曲线方程,可求出关于交点横坐标的关系式,利用根与系数的关系并结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意得,, 解得, 所以双曲线的方程为. （2）将直线代入双曲线的方程, 得, 设点,, 由根与系数的关系得,,, 所以, 直线与轴交于点, 所以的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $