专题19 椭圆 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题19 椭圆 一、【考点导读】 1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质; 2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题； 3.能解决直线与椭圆有关的综合性问题. 二、【真题精练】 题型一、椭圆及其简单几何性质 1．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程以及中点坐标公式求解即可. 【详解】椭圆中，所以，即. 则焦点，， 设，因为线段的中点在轴上， 即，解得，代入， 得到， 又为的中点，所以为的中位线， 即与轴垂直，且点坐标为， 所以. 故选：A. 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知的顶点B，C在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上．若的周长为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义求得，再利用离心率的定义即可得解. 【详解】    如图所示：的周长为，所以， 又因为顶点是椭圆的一个焦点，所以， 所以. 故选：A. 3．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）椭圆的一个焦点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆方程转化为标准形式，再利用方程中的关系求解即可. 【详解】因为椭圆方程变形为.且一个焦点为. 所以焦点在轴. 所以. 所以即. 所以. 故选：C. 4．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）设，椭圆的长轴是短轴的2倍，则（    ） A．2 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，再分类讨论其焦点位置，结合长短轴的长度关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为椭圆可化为，又， 当该椭圆焦点在时，其长轴长为，短轴长为， 所以，解得； 当该椭圆焦点在时，其长轴长为，短轴长为， 所以，解得； 综上，或. 故选：D. 5．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）椭圆上一点关于坐标原点对称的点为为椭圆的右焦点．若，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程、椭圆的定义、概念等知识进行计算即可． 【详解】椭圆中，，∴， 由题意得为椭圆上关于坐标原点对称的两点， 如图，设为椭圆的左焦点，连接， ∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 设， 由椭圆的定义可得， ∴， ∴，即， ∴， 所以的面积为． 故选：C． 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知椭圆的标准方程是，它的两焦点分别是，且，弦过点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点的位置特征和椭圆的定义和性质列出等式即可解得. 【详解】由题，椭圆方程为， 则椭圆焦点位于轴上，且， 解得， 由椭圆的定义可知的周长为. 故选：B 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，性质，离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成正三角形，则. 故该椭圆的离心率为：. 故选：A. 8．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）直线经过椭圆的左焦点和上顶点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出B点、F点的坐标，再利用离心率公式，即可求解. 【详解】由题意知直线经过椭圆的左焦点和上顶点， 所以当时，，即点坐标为，所以， 当时，，即点坐标为，所以， 所以， 则椭圆的离心率. 故选：B. 9．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）椭圆上的一点与两焦点，构成的的周长为（     ） A．14 B．10 C．8 D．16 【答案】A 【分析】由椭圆的定义及椭圆的标准方程可知，所求周长为. 【详解】由椭圆，可知，， 由椭圆的定义可知，， 所以点M与两个焦点，构成的的周长为： . 故选：A. 10．（23-24高三·内蒙古·一模）椭圆的离心率为，则 ． 【答案】或/或 【分析】讨论焦点的位置，由椭圆离心率的定义求参数. 【详解】当焦点在轴上时，，解得. 当焦点在轴上时，，解得. 故答案为：或. 11．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【分析】由题意得点和是椭圆的顶点，可得，由椭圆的离心率公式可得答案. 【详解】由题意得点和是椭圆的顶点，则，， ∴，得椭圆的离心率. 故答案为：. 题型二、直线与椭圆的位置关系 12．（22-23高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 13．（21-22高三·内蒙古赤峰·一模）已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 【答案】(1)， (2)证明见解析，定点 【分析】（1）由椭圆准线方程列出式子解得，进而得到椭圆方程和离心率； （2）分情况设出直线方程，联立椭圆方程，根据向量的垂直坐标表示结合韦达定理求出直线，即可得出直线过定点. 【详解】（1）已知椭圆的长轴长为4，即，所以． 其右准线方程，其中，解得，， 即离心率，椭圆的标准方程为． （2）已知，设， 当直线斜率存在时，设直线的方程为． 联立直线与椭圆方程，得：， 展开并整理得． 由韦达定理可得． 因为，以为直径的圆恒过点， 所以，则． 将代入上式得：， 整理得， 把代入上式： ， ， ， 即，因式分解得， 因为异于点，所以，解得． 所以直线的方程为，恒过定点． 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由可得，又， 联立求解发现无解，这种情况不成立． 综上，直线过定点． 14．（23-24高三下·内蒙古赤峰·三模）已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，是坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求出即可. （2）画出草图，联立方程求出两点的坐标，进而求出的面积. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以解得 所以椭圆的标准方程为． （2）由得，解得或， 当时，；当时，． 不妨设，则． 15．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为6，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：若椭圆上两个不同的点和满足，则直线的斜率为. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义与几何性质求得，进而得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得关于的表达式，进而代入已知条件化简即可得证. 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为6，焦距为4， 设椭圆为，则，即， 所以， 则椭圆的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，不妨设直线为， 联立，消去，得， 由题意可知，即， 则， 所以 ， 因为，所以， 则，即， 则，解得. 三、【考点演练】 1．点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用二次函数的基本性质可求得点到圆心的最大距离，结合圆的几何性质可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点，则且， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 故选：. 2．若椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】根据椭圆的定义知，. 因为，所以. 故选：B. 3．已知点在椭圆上，则（   ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断点、、是否在椭圆上 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性分析即可. 【详解】已知点在椭圆上， 因为椭圆的中心在原点， 根据椭圆的对称性，可得点关于x轴的对称点， 关于y轴的对称点和关于原点的对称点，均在椭圆上. 故选：C. 4．已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点的定义即可求解. 【详解】∵椭圆的方程为， ∴椭圆的标准方程为， ∴椭圆的焦点坐标为，即，. 故选：A． 5．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的标准方程求出，进而写出离心率即可. 【详解】因为椭圆， 则，所以， 则， 所以离心率. 故选：A. 6．已知椭圆的两个焦点为，点是椭圆上任意一点（非长轴端点），则的周长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义直接求周长. 【详解】由题意得的周长为, ,所以, 所以的周长为. 故选:D. 7．已知椭圆的焦点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程及，即可求解短轴长. 【详解】因为椭圆的焦点为，焦点在轴 所以，，则， 所以短轴长为. 故选：. 8．已知M是椭圆上的一点，则点M到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．14 D．10 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆. 所以,即. 所以椭圆上的点M到两焦点的距离之和是. 故选：A. 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义可求得的值，结合余弦定理，可求得的值，结合三角形面积公式，即可求解. 【详解】由已知得，所以， 由椭圆定义得， 由余弦定理得， 所以， 即， 所以，即， 则的面积为. 故答案为：. 10．已知椭圆的长轴长为18，离心率为，则椭圆标准方程为 . 【答案】或 【分析】利用长轴长和离心率求出，再根据椭圆焦点在轴或轴分别写出椭圆方程. 【详解】因为椭圆的长轴长为18，离心率为， 所以，解得，则； 当椭圆的焦点在轴上时，则所求椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，则所求椭圆的标准方程为． 故答案为：或. 11．已知椭圆的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点． (1)求C的方程； (2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式求解即可. （2）设出直线的方程，结合已知条件联立椭圆方程求出的坐标，再利用点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以，得， 所以C的方程为． （2）设，. 因为，所以根据对称性可设，由题意知． 由已知可得，直线的方程为， 所以，． 因为，所以．将代入C的方程，解得或． 由直线的方程得或8， 所以点P，Q的坐标分别为，；，． 所以，直线的方程为，点到直线的距离为， 故的面积为； ，直线的方程为， 点A到直线的距离为，故的面积为． 综上，的面积为． 12．已知椭圆右顶点到右焦点的距离为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据右顶点到右焦点的距离可列出，然后根据短轴长求解的值，再根据可求解出，从而得到椭圆的方程. (2)利用椭圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）根据题意可得： ， 又因为，解得：， 所以椭圆的方程为：. （2）因为，所以， 所以左焦点的坐标为，直线的斜率为， 所以直线的方程为. 设， 则，消去得：， 则， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题19 椭圆 一、【考点导读】 1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质; 2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题； 3.能解决直线与椭圆有关的综合性问题. 二、【真题精练】 题型一、椭圆及其简单几何性质 1．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知的顶点B，C在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上．若的周长为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）椭圆的一个焦点，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）设，椭圆的长轴是短轴的2倍，则（    ） A．2 B． C．或 D．或 5．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）椭圆上一点关于坐标原点对称的点为为椭圆的右焦点．若，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D． 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知椭圆的标准方程是，它的两焦点分别是，且，弦过点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）直线经过椭圆的左焦点和上顶点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）椭圆上的一点与两焦点，构成的的周长为（     ） A．14 B．10 C．8 D．16 10．（23-24高三·内蒙古·一模）椭圆的离心率为，则 ． 11．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率是 . 题型二、直线与椭圆的位置关系 12．（22-23高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 13．（21-22高三·内蒙古赤峰·一模）已知椭圆的长轴长为4，且右准线方程为． (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)设为椭圆的上顶点，、为椭圆上异于点的任意两点，以线段为直径的圆恒过点．证明：直径过定点，并求定点坐标． 14．（23-24高三下·内蒙古赤峰·三模）已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，是坐标原点，求的面积． 15．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为6，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：若椭圆上两个不同的点和满足，则直线的斜率为. 三、【考点演练】 1．点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（ ） A． B． C． D． 2．若椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知点在椭圆上，则（   ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断点、、是否在椭圆上 4．已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的两个焦点为，点是椭圆上任意一点（非长轴端点），则的周长为（    ） A． B． C．6 D． 7．已知椭圆的焦点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 8．已知M是椭圆上的一点，则点M到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．14 D．10 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为 ． 10．已知椭圆的长轴长为18，离心率为，则椭圆标准方程为 . 11．已知椭圆的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点． (1)求C的方程； (2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且，，求的面积． 12．已知椭圆右顶点到右焦点的距离为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求弦的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $