专题15 平面向量 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题15 平面向量 一、【考点导读】 1.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义； 2.理解平面向量数量积的含义及几何意义； 3.掌握平面向量数量积的性质及运算律； 4.掌握平面向量数量积的坐标表达式； 5.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题； 6.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算； 7.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 二、【真题精练】 题型一、平面向量的线性运算 1．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知向量，若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 2．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，，且与垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知向量，设．若，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知向量，，则向量的坐标（     ） A． B． C． D． 题型二、平面向量的数量积及应用 6．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，，则（    ） A．3 B． C．0 D．不能确定 7．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知向量，，则（    ） A． B． C．1 D． 8．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在边长为的正三角形中，向量（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知是两个向量，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知，，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（    ） A．4 B． C． D． 12．（23-24高三下·内蒙古·一模）已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）设，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 15．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、【考点演练】 一、单选题 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，且，则（   ） A． B．4 C．80 D． 3．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．下列各式化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 7．设是单位向量，，，，则四边形是（   ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 8．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A．0 B．2 C． D． 9．在平行四边形中，已知三个顶点，，，则（   ） A．12 B．22 C．44 D．24 二、填空题 10．已知向量，则 . 11．如图，设O为四边形的对角线与的交点，若，，，则 ．       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题15 平面向量 一、【考点导读】 1.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义； 2.理解平面向量数量积的含义及几何意义； 3.掌握平面向量数量积的性质及运算律； 4.掌握平面向量数量积的坐标表达式； 5.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题； 6.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算； 7.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 二、【真题精练】 题型一、平面向量的线性运算 1．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知向量，若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 2．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，，且与垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解的值即可. 【详解】因为， ∴， ∵与垂直， ∴， ∴. 故选：A. 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解 【详解】选项A，，∴两向量不平行，故错误. 选项B，，∴两向量的模不相等，故错误. 选项C，，∴，即垂直，故正确. 选项D，，故错误. 故选：D. 4．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知向量，设．若，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，． 因为，则，解得. 故选：C. 5．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知向量，，则向量的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示直接计算即可. 【详解】因为向量，， 向量. 故选：. 题型二、平面向量的数量积及应用 6．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，，则（    ） A．3 B． C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 7．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知向量，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则. 故选：C. 8．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在边长为的正三角形中，向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】，其中， ，所以. 故选：C. 9．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知是两个向量，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的垂直表示，结合向量内积的定义与运算法则即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：C. 10．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知，，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内积定义用夹角表示出内积，根据内积运算律化简式子并代模长与内积解出夹角余弦值，结合夹角范围即可求出夹角. 【详解】设与的夹角为，， 则， 由可得， ，解得， 且，则. 故选：C. 11．（24-25高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 12．（23-24高三下·内蒙古·一模）已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知先求向量的坐标，再由两向量的内积公式即可求解. 【详解】设，由已知得， 得，解得，所以 设的夹角为，则. 故选：C． 13．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算计算出坐标，再根据向量平行和垂直的条件判断即可. 【详解】∵向量， 对于A，，故不垂直，故排除A； 对于B，∵，∴故不平行，故排除B； 对于C，∵，，∴与不平行，故排除C； 对于D，∵，， ∵，∴，故D正确. 故选：D． 14．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）设，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 【答案】B 【分析】由，，求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案. 【详解】，， A:，，故不正确，所以A错误， B:，所以B正确， C:，，所以C错误， D: ，，可得不成立，所以D错误. 故选:B. 15．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的内积、向量的模、向量垂直与平行的坐标表示，即可判断求解. 【详解】因为向量， 所以，故选项A错误； 所以，故，故选项B错误； 所以，所以，所以，故选项C正确； 因为，故不平行，故选项D错误. 故选：C. 三、【考点演练】 一、单选题 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2．设，向量，且，则（   ） A． B．4 C．80 D． 【答案】D 【分析】先由向量垂直与平行的条件求解x与y的值，再由向量的线性运算求解的坐标，再由模长公式计算即可. 【详解】∵向量，且， ，解得， ， ． 故选：D. 3．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 则，， 因为， 所以，解得． 故选：B. 4．已知平面向量，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量内积的坐标表示运算即可. 【详解】已知平面向量，， 则，， 故选：B. 5．下列各式化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算法则可逐一判断结果. 【详解】对A选项，若不共线，按向量的加法的平行四边形法则，的结果是以A为起点的对角线向量，并非，故错误； 对B选项，原式，故正确； 对C选项，原式，故错误； 对D选项，原式，故错误. 故选：B. 6．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算求解即可； 【详解】，，则； 故选：B 7．设是单位向量，，，，则四边形是（   ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据向量的定义以及向量的模求解即可. 【详解】因为，，所以， 即，， 所以四边形是平行四边形， 又，即， 所以四边形是菱形． 故选：B. 8．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【详解】，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直，则， 即，解得. 故选：A. 9．在平行四边形中，已知三个顶点，，，则（   ） A．12 B．22 C．44 D．24 【答案】D 【分析】根据题意，结合相等向量的坐标表示，先求出D点的坐标，继而求出的坐标，即可求得内积. 【详解】因为平行四边形中，三个顶点，，， 设，则，， 又，所以，解得，即， 所以，， 所以. 故选：D. 二、填空题 10．已知向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 11．如图，设O为四边形的对角线与的交点，若，，，则 ．       【答案】 【分析】根据向量的线性运算，在与中利用向量加法和减法法则即可作答. 【详解】依题意，在中，； 在中，. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $