专题14 等差数列与等比数列 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题14 等差数列与等比数列 一、【考点导读】 1.掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2.理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3.对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有： （1）公式法:等差数列的求和公式、等比数列的求和公式； （2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）； （3）倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2 （4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法； （5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和. 二、【真题精练】 题型一、等差数列 1．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（    ） A．15 B．50 C．100 D．1250 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（    ） A．0或4 B．4 C．0或2 D．2 3．（24-25高三下·内蒙古·一模）在等差数列中，若，则（    ） A．140 B．200 C．260 D．300 4．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）等差数列的前项和为，若，则 ． 题型二、等比数列 5．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）等比数列的第四项等于（    ） A．0 B．12 C．24 D． 7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）由正数构成的等比数列中 ，，则（     ） A．5 B． C． D． 题型三、数列的通项公式及数列求和 8．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 9．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列满足，. (1)求等差数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 10．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 11．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列中，， (1)求数列的通项公式 (2)调整数列前三项的顺序，使它们成为等比数列的前三项，且公比小于，求数列的前n次和 12．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列的前3项和，且． (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，求的前项和． 13．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知等比数列中，公比，前3项和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列是等差数列，若首项为，，求数列的前20项和. 14．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知等比数列中，公比，前4项的和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列是等差数列，若，，求数列的前项的和的值. 15．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，且成等比数列，求数列的前n项和. 三、【考点演练】 一、单选题 1．数列满足，且对任意的都有，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，则（     ） A．10 B． C．3 D． 3．等差数列的前项和为，若，（ ） A． B． C．1 D． 二、填空题 4．等差数列的通项公式，则的前5项和为 ． 5．已知是等差数列的前项和，若，则 6．等差数列的前项和为，若，则（   ） A．4050 B．4048 C．8100 D．2025 三、解答题 7．已知等差数列中， (1)求； (2)求. 8．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 9．设是等比数列，其前项的和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最小值． 10．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题14 等差数列与等比数列 一、【考点导读】 1.掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2.理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3.对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有： （1）公式法:等差数列的求和公式、等比数列的求和公式； （2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）； （3）倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2 （4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法； （5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和. 二、【真题精练】 题型一、等差数列 1．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（    ） A．15 B．50 C．100 D．1250 【答案】B 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列的公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（    ） A．0或4 B．4 C．0或2 D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 3．（24-25高三下·内蒙古·一模）在等差数列中，若，则（    ） A．140 B．200 C．260 D．300 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质与求和公式即可得解. 【详解】因为是等差数列，， 所以，即， 则. 故选：C. 4．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】因为数列为等差数列， ，则， . 故答案为：. 题型二、等比数列 5．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式以及前项和公式求解即可. 【详解】设等数列的公式为，显然， 因为，， 所以，所以， 又， 则. 故选：A. 6．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）等比数列的第四项等于（    ） A．0 B．12 C．24 D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的关系式求出的值，进而确定公比q，利用通项公式即可求解第四项. 【详解】根据等比中项的性质有：，整理得 解得或. 由于，，整个数列不满足等比数列要求，故舍去. ∴等比数列公比，∴. 故选：D. 7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）由正数构成的等比数列中 ，，则（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算法则计算即可. 【详解】在等比数列中，， 则， 则 ， 故选：C. 题型三、数列的通项公式及数列求和 8．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【详解】（1）数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. （2）数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 9．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列满足，. (1)求等差数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . （2）设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 10．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. （2）因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 11．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列中，， (1)求数列的通项公式 (2)调整数列前三项的顺序，使它们成为等比数列的前三项，且公比小于，求数列的前n次和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出等差数列的公差，进而得到通项公式. （2）由等比数列的性质确定等比数列的首项与公比，进而得到答案. 【详解】（1）因为等差数列中，. 所以. 所以. （2）因为. 所以. 因为， 所以，等比数列的前三项中，同号，与异号，即. 若，不满足. 所以，，即数列首项为1，公比为. 所以. 12．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列的前3项和，且． (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件列出方程组求出，由等差数列的通项公式求出结果； （2）由条件求出等比数列的首项和公比，由等比数列的求和公式求出． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 整理得，解得． 所以． （2）由（1）知，，即． 设等比数列的公比为，则，得． 所以等比数列的前项和． 13．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知等比数列中，公比，前3项和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列是等差数列，若首项为，，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合等差数列的通项公式与求和公式即可得解. 【详解】（1）因为是等比数列，公比，前3项和， 所以，则， 所以. （2）由（1）得， 又是等差数列，，， 所以，得，故，得， 所以数列的前20项和为. 14．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知等比数列中，公比，前4项的和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列是等差数列，若，，求数列的前项的和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列求和公式基本量的计算结合等比数列通项公式即可解得. （2）根据等差数列项之间的关系和等差数列求和公式即可解得. 【详解】（1）由题，等比数列中，前4项的和，且公比， 则，解得， 则等比数列的通项公式为. （2）由题，数列是等差数列，，解得， 设等差数列公差为，则， ，则. 15．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，且成等比数列，求数列的前n项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意列出等式，求解出首项与公差，进而得到通项公式. （2）由条件得到等比数列的首项与公比，再利用等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）由题可知即. 解得或. 所以等差数列的通项或. （2）当时，. 所以不成等比数列，故不满足题意. 当时，. 此时成等比数列，符号题意. 即. 所以. 三、【考点演练】 一、单选题 1．数列满足，且对任意的都有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得，由累加法求得，则，再由裂项相消法求和即可. 【详解】因为，令可得， 则时，，，， 式子累加可得， 则，当时也符合， 则，所以， 则. 故选：A. 2．已知数列满足，且，则（     ） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为数列满足，， 所以数列为等差数列，公差为， 因为，则，解得， 故选：. 3．等差数列的前项和为，若，（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式即可求解. 【详解】因为 ，所以， 所以. 故选：D. 二、填空题 4．等差数列的通项公式，则的前5项和为 ． 【答案】40 【分析】先根据通项公式求出数列的和的值，再利用等差数列前项和公式计算前项和. 【详解】已知等差数列的通项公式为， 可得：，， ∴数列的前项和， 故答案为：40. 5．已知是等差数列的前项和，若，则 【答案】20 【分析】根据等差数列的性质以及前项和的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 故， 将和代入可得：，解得：. 故答案为：20. 6．等差数列的前项和为，若，则（   ） A．4050 B．4048 C．8100 D．2025 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质以及前n项和公式进行求解即可. 【详解】等差数列的前项和为， 故选：A 三、解答题 7．已知等差数列中， (1)求； (2)求. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式列出方程组即可得解. （）根据首项和公差得出等差数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则， 解得， 所以. （2）因为，则. 8．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据通项公式与前n项和之间的关系以及等比数列的定义求解即可. （2）根据（1）的结果求出的通项公式，再根据分组求和法以及错位相减法求解即可. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，又，则， ∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为. （2）由（1）可得：， ∴， 设，则. ∴， ∴，又， ∴. 9．设是等比数列，其前项的和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的概念及前项的和定义即可求解； （2）利用等比数列前项的和公式及通项公式列不等式即可求解. 【详解】（1）设的公比为q，因为， 所以，所以，又， 所以，. （2）因为， 所以， 由，得， 即，因为，解得， 所以n的最小值为6. 10．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，结合之间的关系，结合等比数列的概念，易判断数列是等比数列，继而求解； （2）根据题意，结合等比数列的前n项和公式，利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 所以当时，，解得， 当时，， 即， 又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，， 又也符合上式， 所以数列的通项公式为，． （2）由（1）题可知， 又，所以， 所以，① ，② 由①－②得 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $