专题18 圆的方程 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题18 圆 一、【考点导读】 1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 3.能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题. 二、【真题精练】 题型一、圆的方程 1．（24-25高三下·内蒙古·一模）经过点，，圆心在轴上的圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可设圆的方程为，再将点坐标代入求解出的值，即可得圆的方程. 【详解】因为圆心在轴上，所以设圆心为，半径为， 则圆的方程为， 又因为圆经过点，， 所以，解得：， 所以圆的方程为， 故答案为：. 2．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 【答案】 【分析】根据圆的一般式方程转化为标准方程即可求解. 【详解】因为. 所以. 因为圆心为. 所以即. 所以. 所以半径为. 故答案为：. 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆的半径是 ，则该圆的圆心坐标是 . 【答案】或 【分析】根据圆的一般方程半径公式求,再求圆心坐标. 【详解】∵圆的半径是, ∴，，， ∴, 解得：, ∴圆心坐标为:或. 故答案为:(3,0)或(−3,0). 4．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）点，点Q为圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心与半径，再利用点到圆上的点的距离的最值求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以其圆心为，半径为， 所以点到圆心的距离为， 所以. 故答案为：. 5．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心坐标，然后利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】将圆的方程化为标准式：，∴圆心坐标为. 故圆心到直线的距离. 故选：A. 6．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）圆的圆心到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆化为标准方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可解得. 【详解】将圆化成标准方程形式得， ∴圆心为，∴圆心到直线的距离是. 故选：B. 题型二、直线与圆的位置关系 7．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点且与圆C相切的直线l的方程； (3)已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【详解】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. （3）由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 8．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）圆心在x轴上的圆与抛物线的准线相切且圆被y轴截得弦长为6； (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得弦长为10，求点到直线l的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由弦心距，抛物线的准线方程，圆的半径三者之间的关系求解圆的标准方程即可. （2）先根据直线与圆的关系求解直线，再由点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，半径为r， 因为抛物线方程为， 所以，， 则准线方程为， 所以半径， 又圆被y轴所截弦长为6，由弦心距，弦长，半径三者之间的关系可得： ， 所以，解得， 则圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l过点，可设l的方程为， 因为l被圆所截弦长为10，而直径为， 故l过圆心， 所以，， 所以l的方程为， 即， 所以点到直线l的距离为. 9．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆C的圆心为，且截y轴所得的弦长为. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点，且交圆C与两点，求弦长最短时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理，结合圆心到y轴的距离求得圆的半径，从而得解； （2）分析得最短时有，从而利用两直线垂直的性质求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）依题意，设圆与y轴交于两点，则， 因为圆C的圆心为，所以圆心到y轴的距离为， 所以由垂径定理得圆半径的平方为， 所以圆的方程为. （2）依题意，设，    当弦长最短时，， 又，所以，则， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 10．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若经过点的直线交圆于两点，且直线与直线垂直，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心的坐标为，圆的半径为，由求解即可； （2）由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，列方程求解即可； （3）求直线的方程，联立直线与圆的方程，解方程组得的坐标， 根据中点坐标公式得的中点坐标. 【详解】（1）由已知，设圆心的坐标为，圆的半径为． 由题可知， 得，即． 则． 即圆的标准方程为． （2）由直线与圆相切，得圆心到直线的距离． 由（1）知，圆心为，半径． 则，解得或． 即直线的方程为或． （3）由已知，得． 由直线与直线垂直，得，则． 由点斜式，得直线的方程为，即． 联立直线与圆的方程，得， 解得，即． 根据中点坐标公式，得的中点坐标为． 即弦的中点坐标为． 11．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知圆与直线相切于点. (1)求的值； (2)过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】（1）圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. （2）因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 12．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆的圆心，再根据圆的定义求解即可. （2）根据点到直线的距离公式以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）设圆心为. 因为圆与轴相切，所以半径为. 因为点在圆上，所以 展开得 所以圆心为，半径. 进而圆的标准方程：. （2）由（1）得圆心为，直线为：， 则圆心到直线的距离为. 因为弦长，半径，所以：， 解得，所以，化简得. 解得或. 13．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知圆C过点和，且圆心在y轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D在圆C上，且经过点D的圆C的切线与直线平行，求点D的坐标； (3)若直线与圆交于E，F，求弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可设圆的方程为，再将两个点的坐标代入到方程中可求出的值，即可得圆的标准方程； （2）由题意可知切线的斜率，设点，切线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径求出的关系，再将点D的坐标代入到圆的方程得到另一个的关系，进而分析计算出具体的值，点D的坐标即可得解； （3）根据圆的弦长公式代入求解即可. 【详解】（1）因为圆的圆心在y轴上，设圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为， 又因为圆C过点和， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为. （2）设点，因为过点D的圆C的切线与直线平行， 所以切线的斜率，设切线方程为， 即， 圆心到切线的距离， 所以， 又因为在圆上，所以， 当，即时， ， 解得：，， 即； 当，即时， ， 解得：，， 即， 综上，点D的坐标为或. （3）因为直线与圆交于E，F， 圆心到直线的距离，半径， 所以弦长. 14．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知圆C经过点两点，且圆心在直线上， (1)求圆C的标准方程; (2)求过点且与圆相切的直线l方程; (3)已知点Q在圆C上运动，直线m经过点且交圆C于点两点，当最小时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆的标准方程为，再将点代入列方程中求解即可. （2）首先判断点与圆的位置关系，再设切线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求解即可. （3）首先判断点与圆的位置关系，根据两条直线垂直的条件求出直线的方程，再由弦长公式求出的值，再由以为底，为高时面积最大，并由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 圆心为， 由圆C经过点两点，且圆心在直线可得， ，即 解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，圆的方程为， 且圆心为，半径， 由点到圆心的距离为， 所以点在圆上，当斜率不存在时， 到圆心的距离为，不符合题意， 设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离为， 即，则， 解得，所以切线方程为. （3）点，圆心为， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆内， 又直线m经过点且交圆C于点两点， 当最小时，即与垂直时， 则，所以，即， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则当的面积为最大时，， 此时. 15．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为 (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求直线的方程及的长． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设出圆心坐标及圆的方程，利用点到直线距离公式结合弦长公式求出参数即可求圆的方程； （2）利用圆心在第一象限得到圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离为半径求出切线方程，然后利用点到圆心的距离，，半径构成直角三角形求出即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，可设圆心，圆的半径为， 可设圆的方程为， 由弦长公式可知，则，，即圆心到直线距离为， 即，则， 故圆心为，， 则圆的方程为或； （2）如图所示， 因为圆的圆心在第一象限，则圆的方程为， 因为点， 圆心到点距离为， 则点在圆外，从点出发可做两条切线， 若切线斜率不存在则过点的直线为， 而圆心到此直线的距离为，此直线与圆相交， 故过切点的两条切线斜率必存在， 可设切线方程为，即， 则圆心到直线距离，即， ，解得或， 则切线方程为或， 因为切线垂直于过切点的半径，所以点到圆心的距离，，半径构成直角三角形， 而点到圆心的距离为公共斜边，且半径相等， 则两个直线三角形为全等三角形，则值固定， 点到圆心的距离为，， 则.    三、【考点演练】 一、单选题 1．若直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出圆的圆心坐标，再将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 由题意可得，解得. 故选：C. 2．已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出. 【详解】因为 ，所以抛物线准线为， 又圆的圆心坐标为 ，半径为2， 由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以. 故选：C. 3．已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为，则（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程求出解析式，求出直线与坐标轴交点的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】由圆，得圆心，半径， 又因为为切点，所以，所以直线的斜率为， 所以，即， 当时，，令， 当时，，令， 则， 故选：. 4．圆心为点，半径的平方为5的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径确定标准方程，从而确定一般方程. 【详解】已知圆心为，半径， 故圆的标准方程为， 可得圆的一般方程为， 即. 故选：C. 5．圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程确定圆心和半径即可. 【详解】已知圆， 其中， 则圆心为，即， 半径. 故选：A. 6．求圆的圆心到的距离（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】把圆的方程化为标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为. 故选：C. 7．已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般式中系数构成的判别式，即可求解. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得，化为区间表示为. 故选：D. 8．圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交且不过圆心 【答案】A 【分析】先算出圆心到直线的距离，然后比较点到直线的距离与半径的大小，进而判断出直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，所以直线与圆相离. 故选：A. 二、填空题 9．若直线与圆相切，则 . 【答案】 【分析】根据直线与圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】∵圆的圆心为，半径， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 故答案为：. 10．已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将圆的一般方程转化为标准方程，即可列式求解. 【详解】因为， 所以方程可化为， 因为方程表示圆， 所以，解得. 即的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 11．已知圆，圆外有一点.求： (1)过点且圆相切的直线方程； (2)两个切点所连成的弦（切点弦）的长度. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设所求直线方程为，由圆心C到直线的距离等于半径，列式可求出切线方程；当切线的斜率不存在时，方程也符合题意； （2）分别将切线方程与圆的方程联立，求出切点即可得解. 【详解】（1）由圆的方程，可得， 故由圆的圆心为，半径. 设过点且圆相切的直线方程的斜率为， 则切线方程为，即. 圆心到切线的距离， 解得，即切线方程为； 当过点且圆相切的直线方程的斜率不存在时，直线方程也符合题意. 综上所述，或为所求； （2）设切线与圆的切点为，联立方程，得 ，解得，即； 设切线与圆的切点为，联立方程，得 ，解得，即； 所以两个切点所连成的弦（切点弦）的长度：. 12．已知圆过三点，，． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于、两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点坐标计算得到圆的方程； （2）由知直线过定点，再计算得到在圆内，当时，最短，从而计算最小值. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可得 ， 解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为． （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由知直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题18 圆 一、【考点导读】 1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 3.能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题. 二、【真题精练】 题型一、圆的方程 1．（24-25高三下·内蒙古·一模）经过点，，圆心在轴上的圆的方程为 . 2．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆的半径是 ，则该圆的圆心坐标是 . 4．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）点，点Q为圆上的动点，则的最小值为 . 5．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）圆的圆心到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 题型二、直线与圆的位置关系 7．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点且与圆C相切的直线l的方程； (3)已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 8．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）圆心在x轴上的圆与抛物线的准线相切且圆被y轴截得弦长为6； (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得弦长为10，求点到直线l的距离. 9．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆C的圆心为，且截y轴所得的弦长为. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点，且交圆C与两点，求弦长最短时直线l的方程. 10．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若经过点的直线交圆于两点，且直线与直线垂直，求弦的中点坐标． 11．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知圆与直线相切于点. (1)求的值； (2)过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 12．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，且，求的值． 13．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知圆C过点和，且圆心在y轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D在圆C上，且经过点D的圆C的切线与直线平行，求点D的坐标； (3)若直线与圆交于E，F，求弦长. 14．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知圆C经过点两点，且圆心在直线上， (1)求圆C的标准方程; (2)求过点且与圆相切的直线l方程; (3)已知点Q在圆C上运动，直线m经过点且交圆C于点两点，当最小时，求的面积的最大值. 15．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为 (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求直线的方程及的长． 三、【考点演练】 一、单选题 1．若直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为，则（     ） A． B．4 C． D． 4．圆心为点，半径的平方为5的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．求圆的圆心到的距离（ ） A． B．2 C． D． 7．已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交且不过圆心 二、填空题 9．若直线与圆相切，则 . 10．已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围是 . 三、解答题 11．已知圆，圆外有一点.求： (1)过点且圆相切的直线方程； (2)两个切点所连成的弦（切点弦）的长度. 12．已知圆过三点，，． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于、两点，且，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $