专题11 三角函数的图像与性质- 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题11 三角函数的图像与性质 一、【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在上的性质； 2.能画出的图像并研究其性质； 3.了解三角函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会求一些简单函数的周期； 3.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究； 4.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题； 5.求三角函数值域与最值的常用方法： （1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解； （2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解； （3）换元法. 二、【真题精练】 题型一、三角函数的周期 1．（22-23高三·内蒙古通辽·一模）函数的最小正周期为 ． 2．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的周期为 ． 3．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 题型二、三角函数图像的变换 4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，所得图像经过，则 . 5．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度所得的图像经过点，则的值为 ． 6．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移4个单位，得到的图像所对应的函数解析式是 . 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数 图像向左平移单位长度得到图像，则= . 8．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为 . 题型三、三角函数的单调性及其应用 9．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）函数，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四、三角函数的值域 11．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若2，则实数a的取值范围是 . 12．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）函数取得最大值时，x的取值集合为 . 13．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若函数，且，则的最大值为 . 题型五、三角函数的图像 14．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为 . 15．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数（）的图象如图所示，则 ． 三、【考点演练】 一、单选题 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 3．对于函数，下列命题正确的是（      ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 4．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是图象的一个对称中心 C． D．是图象的一条对称轴 5．已知函数，则函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 6．函数（，，）的图像如图所示，则函数的表达式是（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 7．函数的最大值为 ． 8．已知函数是偶函数，若，则 ． 9．若函数，的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为 . 10．将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线对应的函数解析式为 . 三、解答题 11．已知函数的图像如图所示. (1)求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； (3)求这个函数的单调增区间和对称中心. 12．已知函数的图象如图所示.      (1)求这个函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题11 三角函数的图像与性质 一、【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在上的性质； 2.能画出的图像并研究其性质； 3.了解三角函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会求一些简单函数的周期； 3.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究； 4.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题； 5.求三角函数值域与最值的常用方法： （1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解； （2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解； （3）换元法. 二、【真题精练】 题型一、三角函数的周期 1．（22-23高三·内蒙古通辽·一模）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式，将函数化为正弦型函数，根据周期公式可求解. 【详解】因为， 所以函数最小正周期为. 故答案为： 2．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的周期为 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的周期公式求解. 【详解】函数的周期为. 故答案为：. 3．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）函数的最小正周期为（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入余弦型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由可知，函数最小正周期为. 故选：. 题型二、三角函数图像的变换 4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，所得图像经过，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦型函数平移变换规律得到平移后的解析式，再代入，即可解得. 【详解】由题，将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度， 可得到平移后的函数解析式为， 将代入平移后的函数解析式，解得. 故答案为： 5．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度所得的图像经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合余弦型函数图像的变换规律，先求出平移以后的函数解析式，将已知点代入，即可求解. 【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位长度得到 , 又函数的图像经过点， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移4个单位，得到的图像所对应的函数解析式是 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图象平移即可求解. 【详解】因为函数的图像向左平移4个单位得到，即. 故答案为：. 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数 图像向左平移单位长度得到图像，则= 【答案】 【分析】利用函数的图象变换规律，诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】将函数 图像向左平移单位长度得到. 则. 故答案为：. 8．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 题型三、三角函数的单调性及其应用 9．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数与正切函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知在为增函数， 因为，所以，即， 已知在为增函数， 因为，所以，即， 所以， 故选：A. 10．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性，结合终边相同角判断即可； 【详解】选项A，正弦函数在区间内单调递减， 所以，故错误； 选项B，余弦函数在区间内单调递增， 所以，故错误； 选项C，余弦函数在区间内单调递增； 所以，故正确； 选项D，因为， ; 因为余弦函数在区间内单调递增，所以， 即，故错误； 故选：C. 题型四、三角函数的值域 11．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若2，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】由题意，. 因为. 所以. 所以. 所以. 即实数的取值范围是. 故答案为： 12．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）函数取得最大值时，x的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的最值对应的值求解即可. 【详解】函数取得最大值时,取得最小值. 取得最小值时，. 故函数取得最大值时，x的取值集合为. 故答案为：. 13．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若函数，且，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 【详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 题型五、三角函数的图像 14．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 15．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数（）的图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图像求解解析式，进而得到函数值. 【详解】因为.所以.解得. 又. 所以. 所以. 所以. 故答案为：. 三、【考点演练】 一、单选题 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：. 2．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的值． 【详解】把函数的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是，且它是偶函数， 所以，，， 又因为，所以. 故选：B. 3．对于函数，下列命题正确的是（      ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】D 【分析】根据诱导公式将函数化简结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数，，故错误； 因为，定义域为，， 则，所以函数为奇函数，故错误，正确， 故选：. 4．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是图象的一个对称中心 C． D．是图象的一条对称轴 【答案】C 【分析】根据三角函数图象变换规律及对称性求得和，即可判断A；根据三角函数的性质，代入验证可判断BD，求出可判断C. 【详解】由题意，向右平移个单位长度，得， 的图象关于轴对称，， ，又，，故A正确； 即， ，则是图象的一个对称中心，故B正确； ，故C错误， ，故是图象的一条对称轴，故D正确， 故选：C． 5．已知函数，则函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出函数图像，结合增区间的定义即可得解. 【详解】    作出函数的图像， 由图像可知，函数的增区间， 故选：. 6．函数（，，）的图像如图所示，则函数的表达式是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦型函数的图像与性质，即可求解. 【详解】由图知，函数的最大值为，最小值为， ，， 又函数的周期， ，解得； 所以函数的表达式为， 当时，函数有最大值， ，即， 所以，即， 又，取得， 函数的表达式是. 故选：A. 二、填空题 7．函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先利用三角函数换元法得到二次函数，求最值即可. 【详解】令，则可得， 函数化为， 当时，. 故答案为：. 8．已知函数是偶函数，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的奇偶性以及诱导公式求解即可． 【详解】因为函数是偶函数， ， 又，． 故答案为：. 9．若函数，的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案. 【详解】当时，， 由，解得， 由三角函数的对称性可知，两个交点的横坐标关于对称， 所以两个交点横坐标的和为. 故答案为：. 10．将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线对应的函数解析式为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的变换规律即可解答. 【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍， 得，再将所得曲线向右平移个单位长度， 得， 所以得到曲线对应的函数解析式为， 故答案为：. 三、解答题 11．已知函数的图像如图所示. (1)求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； (3)求这个函数的单调增区间和对称中心. 【答案】(1)解析式为，其振幅是2，初相是 (2)当时，函数取得最大值0； 当时，函数取得最小值. (3)单调增区间为； 对称中心为 【分析】（1）根据图像写出A，由周期求出，再由点，确定的值. （2）根据，确定的取值范围，再由的单调性，即可求解. （3）用整体代入法结合函数，可求函数的单调增区间和对称中心. 【详解】（1）由函数的图像可知 函数的最大值为2，最小值为， 所以， 又因为， 所以，即， 所以函数的解析式为， 因为，可得， 又因为， 所以， 所以函数的解析式为，其振幅是2，初相是. （2）由（1）知， 令，则， 因为， 所以， 所以当时，即时，函数取得最大值0， 当时，即时，函数取得最小值. （3）令，， 解得，， 所以函数的单调增区间为， 令，，解得， 所以函数的对称中心为. 12．已知函数的图象如图所示.      (1)求这个函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； 【答案】(1). (2)时，函数值最小为；时，函数值最大为. 【分析】（）根据三角函数的图像结合正弦型函数的性质，确定的值即可得解. （）根据正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）函数的图象如图所示， 由图像可知，函数的最大值为，则， 最小正周期为，则，解得， 此时函数， 将点代入得， 则，解得， 因为，所以， 所以. （2）当时，， 所以当，此时时，函数值最小为； 当，此时时，函数值最大为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $