专题7 指数函数与对数函数- 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题7 指数函数与对数函数 一、【考点导读】 1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件； 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算； 5.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 6.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性； 7.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 二、【真题精练】 题型一、指数函数及其性质 1．（24-25高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若，则下列各不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数，且，若，则 . 6．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 7．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二、对数函数及其性质 8．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 9．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 10．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数，若，则 . 12．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的定义域是 . 13．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若，， ． 14．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为 ． 15．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 三、【考点演练】 1．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2023年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的级地震的最大振幅约是2023年8月4日发生在日本本州近岸级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：，，） A．794 B．631 C．316 D．251 2．已知函数，则 （    ） A．4 B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图像如图所示，其中，则函数的图像是（    ）    A．   B．     C．   D．   5．若函数的图象经过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设，，则等于   . 7．函数的定义域为 ． 8．函数的图象恒过点 . 9．已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则 ． 10．已知函数．求： (1)求函数的值； (2)不等式的解集． 11．函数（k为常数）在定义域上为奇函数. (1)求k的值； (2)若，对的任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题7 指数函数与对数函数 一、【考点导读】 1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件； 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算； 5.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 6.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性； 7.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 二、【真题精练】 题型一、指数函数及其性质 1．（24-25高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若，则下列各不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 3．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂运算，结合指数函数的单调性求解不等式即可 【详解】因为在上是增函数. 又因为. 所以解得. 故不等式的解集为. 故选：A. 4．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由点在函数的图象上求得，然后由特殊角的三角函数值求得答案. 【详解】点在函数的图象上，则，得， 所以. 故选：B. 5．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 6．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 7．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性判断不等式即可. 【详解】因为. 所以. 因为在是增函数，且.所以.故A错误. 因为在是减函数，且.所以,故B错误. 因为在上是减函数，且所以.故C错误，D正确 故选：D. 题型二、对数函数及其性质 8．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 9．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 10．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个集合的范围，再根据交并补的混合运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以或， 所以. 故选：C. 11．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域、对数的运算及函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数，所以， 此不等式等价于，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以. 故答案为：. 12．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的定义域、对数的相关运算和负指数幂的意义即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且. 故答案为：. 13．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若，， ． 【答案】 【分析】由对数的定义及指数的运算即可得解. 【详解】，. 所以. 故答案为：. 14．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据的单调性求出最大值与最小值，由条件列式求解即可． 【详解】∵，∴函数在区间上单调递增， ∴最大值与最小值分别为， 由题意，即，解得， 故答案为：4． 15．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，以及方程的判别式求解a的值即可求解解析式. （2）由对数函数的性质分析取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为有两个相等的实根， 所以满足， 所以，解得， 所以. （2）因为， 又因为函数在上为增函数， 可得，， 由，可得，解得或， 由，可得，解得， 所以不等式的解集为或. 三、【考点演练】 1．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2023年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的级地震的最大振幅约是2023年8月4日发生在日本本州近岸级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：，，） A．794 B．631 C．316 D．251 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数的运算，及对数式与指数式的转化，将阿拉斯加半岛的震幅和日本本州近岸5.3级地震的震幅 表示成指数形式，作商即可求解. 【详解】由题意，即，则， 当时，地震的最大振幅， 当时，地震的最大振幅， 所以， 即. 故选：A. 2．已知函数，则 （    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，从内到外逐步计算，即可得解. 【详解】函数， ，所以. 故选：B. 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的性质求解即可. 【详解】，，，，. 故选：D. 4．已知函数的图像如图所示，其中，则函数的图像是（    ）    A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】由二次函数的图像可判断的范围，再根据指数函数的图像和性质可得结果. 【详解】因为方程根为， 由函数的图像可知，所以，， 则函数为增函数，排除A、B； 又因为的图像经过，即图像与轴的交点在轴上方，排除D. 故选：C 5．若函数的图象经过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将点代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，则，所以. 故选：C. 6．设，，则等于   . 【答案】 【分析】根据对数的换地公式结合对数的运算即可求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 7．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数以及分式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 8．函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】利用对数函数的性质求解. 【详解】对于函数， 令，即，此时， 因此，函数的图象恒过点. 故答案为：. 9．已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由题意得函数的周期为4，即可求解. 【详解】由，得， 所以函数的周期为4， 则 ． 故答案为：. 10．已知函数．求： (1)求函数的值； (2)不等式的解集． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）将代入解析式中求值即可. （2）由列对数不等式，再由对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知函数， 则. （2）已知函数， 要使函数有意义，则有， 解得， 由得，， 即，因为在为增函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 11．函数（k为常数）在定义域上为奇函数. (1)求k的值； (2)若，对的任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义，结合指数幂的运算即可得解； （2）先证明函数为减函数，再由奇函数和减函数的性质结合一元二次不等式恒成立的问题求解即可. 【详解】（1）因为函数在定义域上为奇函数，则， 所以，即， 整理得，解得， 当时，，其定义域为R，满足题意； 当时，，其定义域为，满足题意； 综上，. （2）若，则，， ， 则有 ， 因为，， 因为，所以， 所以，即，则函数在R上为减函数， 又因是奇函数，从而不等式， 等价于， 由减函数可得，即对任意恒成立， 有，对任意恒成立， 所以，解得， 实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $