专题6 二次函数- 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题6二次函数 一、【考点导读】 1.了解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质； 2.能根据条件求二次函数的解析式： 3.能解决直线与抛物线（一次函数与二次函数）的一些综合问题. 二、【真题精练】 题型一、二次函数的图像与性质 1.(23-24高三下.内蒙古对口/高职单招)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，上有最 大值3，最小值2，则a的取值范围是() A.(1,2 B.(1,2] c.[l,2) D.[1,2] 2.(19-20高三内蒙古·对口/高职单招)函数f(x=(a-1x2+2ax+3为偶函数，则f(x)在 -5,-2)上() A.增函数 B.有部分增，有部分减的函数 C.减函数 D.不能确定其增减性 3.(23-24高三下.内蒙古巴彦淖尔.模拟预测)函数fx)=ax2-(a-1)x-3在区间[-1，+0)上 是增函数，则实数Q的取值范围是() B.(-0,0] C. 4.（23-24高三上·湖南一模)若函数f(x)=x2-2x+3在区间0，k]上有最小值2，最大值3， 则实数k的取值范围是 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职公共课·高考必刷题 A职教 》 5.(20-21高三内蒙古对口/高职单招)已知函数f(x)=2x2+bx+c的图象过原点， 且*0. (1)求f(x)解析式： (2)若对于任意xe[-1,1,不等式f(x)+m<2恒成立，求m取值范围. 6.(19-20高三，内蒙古·对口/高职单招)己知函数f(x)是二次函数，且 f(x)=ax2+bx满足①f(2)=0;②方程f(x+x=0有两个相等的实根. (1)求f(x的解析式： (2)解不等式1og,[f(x]<2. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 中职公共课·高考必刷题 A职教 》 7.(24-25高三下.内蒙古一模)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-5,5]. (1)当a=-2时，求函数的最大值与最小值： (2)求实数a的取值范围，使y=f()在区间[-5,5]上是单调递增函数. 8.(23-24高三下.内蒙古赤峰模拟预测)已知函数f(x=x2+ax+b的最小值为4， 函数gx=∫(x-1)为偶函数. (1)求函数f(x的解析式； (2)设函数h(x)=log:[f(x小，若h(x)>-3,求x的取值范围. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职公共课·高考必刷题 A职教 》 9.(22-23高三下·内蒙古赤峰模拟预测)已知二次函数f(x)满足 f(x)=x2+2ax+2. (1)若f(x为偶函数，求f(x)≥6的解集， (2)若函数y=f(x)在x∈[-5,5上最小值为-33，求实数a的值. 10.(22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔.一模)己知二次函数f(x)=ar2+bx(a≠0)满足 ∫(2)=0，方程f(x)=x有两个相等的实根. (1)确定该二次函数的解析式； (2)求f(x)在区间0,3引上的最大值和最小值. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 11.(23-24高三下.内蒙古鄂尔多斯.一模)己知二次函数f(x)满足f(x-1+f(x)=2x2+4. (1)求f(x)的解析式： (2)当-1≤x≤1时，函数g(x)=f(x+3x-m有最小值-3，求m的值. 题型二、二次函数的应用 12.(24-25高三下.内蒙古·职教高考)某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售 单价x(单位：元)在30元到50元之间（即x(30,50)).在市场营销中发现，若销售单价 为35元时，日销售量为45件：销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量y(单 位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足一次函数的关系 (1)求y与x之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P(单位：元)，求P关于x的函数解析式及最大日销售利 润。 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 13.(24-25高三上·内蒙古包头.一模)用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地ABCD,中 间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示)，共用材料的长度为400米，则围成的 矩形场地ABCD的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） A B 题型三、直线与抛物线划一次函数与二次函数) 14.(22-23高三下.内蒙古巴彦淖尔.三模)若二次函数f(x=x2+(2m-1)x+3n对称轴与直 线y=-x+3交于点(1,2)，且当x∈[-3,4时，函数的最大值为10. (1)求m和n的值 八x刘 2)设gy-2 ,若使g(x)不大于4成立，求相应x的取值集合 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 15.（22-23高三上内蒙古呼和浩特.一模)已知函数f(x)=x2-10x+m的图像的顶点A在直 线y=-2x+1上. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若x>0时，不等式f(x)-x>0恒成立，求实数n的取值范围. 三、【考点演练】 1.函数f(x)=x2+2x+3的单调递减区间是() A.（-0,+0 B.(0,+0 c.[-l,+o D.(-0,-1川 2.若函数y=x2+bx+c在(-0，)上是单调函数，则b的取值范围为(） A.b>-2 B.b≥-2 C.b<-2 D.b≤-2 3.二次函数y=2(x+2)2-1的顶点是() A.（2,-1 B.（-2,-1 C.(2,1) D.（-2,1 4.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-o,4)上是减函数，则实数a的取值范围是() A.(-00,-3] B.(-00,-3) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 C.(-3,+o0) D.[-3,o) 5.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二 次函数y=ax2+bx+c的图象可能是() 6.已知函数f(x)=ax2+bx-3的图像如图所示，则下列结论正确的是() A.a<0,b<0,△<0 B.a<0,b>0,△<0 C.a>0,b>0,△>0 D.a<0,b<0,△>0 7.已知函数f(x)=x2+a2-1x+(a-2): (1)若f(x在(-4，+∞)上是单调函数，求a的取值范围； (2)若函数f(x)与x轴的交点一个在点(1,0)左边一个在点1,0右边，求实数a的取值范围. ©6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 8.某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的 利润是刘5r-+元 (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围： (2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该应该选取何种生产速度？并求此最 大利润。 9.设函数f(x)=x2+mx+n,已知不等式f(x)≤0的解集为{x1≤x≤3： (1)试求m,n的值； (2)若x∈[-2,3]，求函数f(x)在此区间的值域. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 10.已知二次函数y=f(x),f(0)=f(8)=0,f(4)=16. (1)求函数y=f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在区间[t,t+2]的最大值h(). 11.已知函数f(x)=(x-2)(x-6). (1)解不等式f(x≤0： (2)当x∈[3,7]时，求函数f(x)的值域。 12.已知二次函数y=f(x)的图像与x轴的交点为1,0)，(2,0)，与y轴的交点为0,3). (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)+m>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题6 二次函数 一、【考点导读】 1.了解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质； 2.能根据条件求二次函数的解析式； 3.能解决直线与抛物线（一次函数与二次函数）的一些综合问题． 二、【真题精练】 题型一、二次函数的图像与性质 1．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 2．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）函数为偶函数，则在上（    ） A．增函数 B．有部分增，有部分减的函数 C．减函数 D．不能确定其增减性 【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质求得，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则，即， 整理得，由的任意性可得，此时， 经检验，当时，是偶函数， 所以， 则由二次函数的性质可知，的图象开口向下，且以轴为对称轴， 所以在上是增函数. 故选：A. 3．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数在区间上是增函数， 当时，函数为，在区间上是增函数，符合题意； 当时，需满足，即， 解得， 综上所述， ， 即实数的取值范围是. 故选：D. 4．（23-24高三上·湖南·一模）若函数在区间上有最小值2，最大值3，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性以及最值求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴， 则，函数单调递减；，函数单调递增， 当时，最小值是， 令，解得或， 即，， 要满足题意，则，即取值范围为. 故答案为：. 5．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数的图象过原点，且 (1)求解析式 (2)若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，进而求解即可. （2）利用二次函数在给定区间的最值求解即可. 【详解】（1）因为函数的图像过原点，且 即函数的对称轴 . 所以解得. 所以. （2）由可得. 令函数，则函数图像开口向下，对称轴为. 又因为 所以当时，函数取得最小值. 所以. 所以m的取值范围为. 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，以及方程的判别式求解a的值即可求解解析式. （2）由对数函数的性质分析取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为有两个相等的实根， 所以满足， 所以，解得， 所以. （2）因为， 又因为函数在上为增函数， 可得，， 由，可得，解得或， 由，可得，解得， 所以不等式的解集为或. 7．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的最大值与最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调递增函数. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，结合二次函数的图像和性质，即可求解； （2）根据题意，结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，函数， 所以函数对称轴为，图像开口向上， 又， 所以当时，函数取得最小值，即； 当时，函数取得最大值，即； （2）因为函数，， 所以函数的对称轴为，图像开口向上， 又在区间上是单调递增函数， 所以， 解得. 所以实数的取值范围是. 8．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的最小值为4，函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)设函数若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求出的值，再由二次函数最值的公式列方程求出的值. （2）根据对数函数单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）已知函数， 则 即， 因为为偶函数， 所以， 即，所以， 又因为函数的最小值为4， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可知，， 则，因为， 所以若，则， 又在为减函数， 所以，即， 解得，所以的取值范围为. 9．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知二次函数满足． (1)若为偶函数，求的解集． (2)若函数在上最小值为，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由为偶函数解得，再解一元二次不等式即可求解. （2）讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，结合已知条件即可求得实数的值. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 即，所以，即，所以， 则，解得或，所以的解集为或. （2）由题意得为二次函数，且其图象开口向上，对称轴为直线. 当，即时，在上单调递增， 所以，解得. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 解得，（不合题意，舍去）. 当，即时，在上单调递减， 所以，解得. 综上所述，实数的值为. 10．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知二次函数满足，方程有两个相等的实根． (1)确定该二次函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据已知条件得到关于参数的等式，再求解即可. （2）根据二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）， ， ，整理得 方程有两个相等的实根， ，， . （2）图象开口向下，对称轴，而， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，. 当时，，当时，， 所以函数的最大值为，最小值为. 11．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知二次函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，函数有最小值，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设，根据题意列方程组可得a， b， c的值，进而得解； （2）表示出，利用二次函数的性质可得关于m的方程，解出即可. 【详解】（1）设二次函数，则 ， 所以， 又因为，所以，所以， 所以. （2）由（1）得，又因为， 由二次函数的性质可得函数的对称轴为，且在上单调递增， 所以， 解得. 题型二、二次函数的应用 12．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】(1). (2)，日销售利润最大为元. 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. （2）商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 13．（24-25高三上·内蒙古包头·一模）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计）    【答案】平方米 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 题型三、直线与抛物线(一次函数与二次函数) 14．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）若二次函数对称轴与直线交于点，且当时，函数的最大值为10. (1)求m和n的值 (2)设，若使不大于4成立，求相应x的取值集合. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解； （2）根据题意，结合指数函数的单调性和二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因为二次函数的对称轴为， 又函数的对称轴与直线交于点， 所以，解得， 所以， 因为当时，函数的最大值为10， 所以时，函数取得最大值，即， 解得； （2）由（1）得，， 所以， 因为，即， 所以， 即， 所以， 即， 解得或. 即x的取值集合为. 15．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图像的顶点在直线上. (1)求函数的解析式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将二次函数化为顶点式，表示出顶点坐标，再将顶点坐标代入直线方程中即可求出的值. （2）令，再由的单调性表示出最小值，使其最小值大于0，列不等式求解即可. 【详解】（1）， 顶点的坐标为， 又顶点在直线上， 得， 函数的解析式为. （2）若时，不等式恒成立 即若时，不等式恒成立 令 当时，即时，在上符合题意 当时，即时，， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 三、【考点演练】 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故选：D. 2．若函数在上是单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解参数即可 【详解】∵函数的图象是开口向上，且以为对称轴的抛物线， ∴此函数在上单调递减，要满足此函数在上单调，只需，解得． 故选：D 3．二次函数的顶点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的顶点式即可得到结果. 【详解】因为二次函数， 则其顶点坐标为. 故选：B 4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意判断出区间应在对称轴左侧，列式求解即可 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上是减函数，所以区间应在对称轴左侧， 即，解得. 故选：A 5．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 6．已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像特征即可确定的符号. 【详解】函数开口向下，对称轴在轴负半轴，函数与坐标轴无交点， ，，， ，，， 故选：A． 7．已知函数． (1)若在上是单调函数，求的取值范围； (2)若函数与轴的交点一个在点左边一个在点右边，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对称轴及一元二次不等式的解法可求参数； （2）当时满足条件，然后利用一元二次不等式的解法可求参数. 【详解】（1）在上是单调函数，则函数的对称轴， 则，即，解得或， 则的取值范围； （2）函数，开口向上， 当时函数与轴的交点一个在点左边一个在点右边， 则，即，， 解得， 则实数的取值范围. 8．某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围； (2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润. 【答案】(1) (2)该厂以千克/时的速度生产千克，该产品可获得最大利润元 【分析】（）根据题意列出不等式即可得解. （）根据题意写出利润的解析式，利用换元法结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）根据题意，有， 即，可化为， 解得或，又因为， 所以， 则的取值范围为. （2）生产千克产品的时间为小时， 设总利润为元， 则， 令，因为，所以， 则，图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 当时，此时利润最大为元， 此时，解得千克/时， 所以该厂以千克/时的速度生产千克该产品可获得最大利润元. 9．设函数，已知不等式的解集为. (1)试求的值； (2)若，求函数在此区间的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，利用根与系数的关系求解即可； （2）利用二次函数的图像与性质求闭区间内的最值即可得解. 【详解】（1）函数， ∵不等式的解集为， ∴是的两根， 由根与系数的关系可知，， 即. （2）由（1）知，开口向上， 对称轴为， 所以， ， ， 所以函数在此区间的值域为. 10．已知二次函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的解析式为，由题意可得的方程组，解方程可得，进而得到的解析式； （2）求得的对称轴，讨论对称轴与区间端点的关系，结合单调性，可得所求最大值． 【详解】（1）设二次函数的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴． （2）函数的对称轴为，开口向下， 若，则在上是减函数， 的最大值； 若，即时，则在上是增函数， 的最大值； 若，即时，的最大值， 综上，． 11．已知函数. (1)解不等式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可. （2）首先求出二次函数的对称轴在区间内，然后求出对称轴对应的最值，再将两端点对应的函数值求出得到另一个最值即可写出值域. 【详解】（1）已知函数，若， 即 ， 当时，， 所以的解集为. （2）已知函数， 所以函数的对称轴为，且图像开口向上， 则当时，， 且，为减函数， ，为增函数， 又有，， 所以. 所以函数的值域为. 12．已知二次函数的图像与轴的交点为，，与轴的交点为. (1)求的解析式； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，将三个点坐标代入解方程组即可求出的解析式. （2）设，则由恒成立，求出的最大值，使即可. 【详解】（1）设二次函数， 将点，，代入得， 解得， 所以的解析式为. （2）由（1）可知， 由对一切实数恒成立， 可知，即恒成立， 令， 要使恒成立，只需， 由，可知 所以， 所以，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $