专题5 函数的奇偶性及周期性 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题5 函数的奇偶性及周期性 一、【考点导读】 1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性. 2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 3.了解函数周期的定义，能求一些简单函数的周期. 4.能利用函数的周期求函数值. 二、【真题精练】 题型一、函数的奇偶性及其应用 1．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数在定义域上是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 3．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）函数为偶函数，则在上（    ） A．增函数 B．有部分增，有部分减的函数 C．减函数 D．不能确定其增减性 【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质求得，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则，即， 整理得，由的任意性可得，此时， 经检验，当时，是偶函数， 所以， 则由二次函数的性质可知，的图象开口向下，且以轴为对称轴， 所以在上是增函数. 故选：A. 4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，再根据函数的奇偶性求值即可. 【详解】已知函数， 设，则其定义域为， 且， 所以为奇函数， 则，即， 解得，则， 所以， 故选：D. 5．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合偶函数在关于原点对称区间上的单调性，即可判断求解. 【详解】因为偶函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 又， 所以. 故选：A. 6．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先代入自变量，求得，再根据奇函数的性质，求得. 【详解】当时，. ∵是定义在R上的奇函数，∴，即. 故选：A. 7．（24-25高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数知其定义域关于原点对称，图象关于轴对称，据此列式求出的值即可求解. 【详解】由于偶函数的定义域关于原点对称，所以，即， 因为其对称轴为轴，即从而得，所以. 故选 ：B 8．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域、对数的运算及函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数，所以， 此不等式等价于，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以. 故答案为：. 9．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是偶函数．则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】∵是偶函数，定义域为， ∴，即， 即，则. 故答案为：0. 10．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知二次函数满足． (1)若为偶函数，求的解集． (2)若函数在上最小值为，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由为偶函数解得，再解一元二次不等式即可求解. （2）讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，结合已知条件即可求得实数的值. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 即，所以，即，所以， 则，解得或，所以的解集为或. （2）由题意得为二次函数，且其图象开口向上，对称轴为直线. 当，即时，在上单调递增， 所以，解得. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 解得，（不合题意，舍去）. 当，即时，在上单调递减， 题型二、函数的周期性及其应用 11．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知在R上是奇函数，且，当时，，则（    ）. A． B．2 C． D．98 【答案】A 【分析】根据题意，分析可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式计算得答案. 【详解】根据题意，函数满足，所以函数的周期为4， 则， 又由是奇函数，则， 因为时，，则， 所以. 故选：A. 12．（21-22高三·内蒙古·对口/高职单招）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行大小判断． 【详解】由，得，即函数的周期是8， 因为是奇函数，所以， 即函数关于对称，同时关于对称， 所以，，， 因为奇函数在区间上是增函数，所以函数在上为增函数， 所以，即． 故选：D． 13．（23-24高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则（      ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】结合为奇函数且周期为4，可得，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以为奇函数， 又因为周期为4， 所以. 故选:C. 14．（21-22高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则 .（用数字作答） 【答案】/1.5 【分析】先判断函数为周期函数并结合奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数所以且， 因为对任意，都有，所以是周期为2的函数， 所以， 又因为， 所以，又因为， 所以. 故答案为：. 15．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求出函数是奇函数，再由函数的周期性求解即可. 【详解】因为，所以是奇函数， 又因为， 即， 即函数是周期为4的函数， 且时，， 所以. 故答案为：. 16．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意得出函数为周期函数，利用周期性，偶函数即可得解. 【详解】因为，所以. 所以，所以函数为周期为的周期函数. 所以. 因为为偶函数. 所以. 所以. 故答案为：. 三、【考点演练】 1．下列为偶函数的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】根据题意结合偶函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】A选项，定义域为，，所以不是偶函数； B选项，定义域为，，所以不是偶函数； C选项，，则，解得或，定义域为， ，为偶函数； D选项，，定义域为，不关于原点对称，所以不是偶函数， 故选：. 2．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义及性质，分析求解即可. 【详解】因为函数为上的偶函数，当时，， 所以，在单调递增函数，在单调递减函数， 所以不等式等价为或， 解得：或，即不等式的解集为. 故选：D. 3．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．50 【答案】C 【分析】根据条件可得，函数是周期为4的周期函数，图象关于直线对称，由此求解即可. 【详解】∵是定义域为的奇函数， ∴，即. ∵，∴，∴， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. 由为奇函数且定义域为R，得， 又∵， ∴的图象关于直线对称， ∴， 又，∴， ∴， ∴ . 故选：C. 4．设是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义可得，再将代入解析式求值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 由时，，可得， 所以， 故选：C. 5．已知函数，若，则等于（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【分析】设函数，再根据奇函数的定义求值即可. 【详解】已知函数， 设函数，由定义域为， 且可得为奇函数， ，， 则， 所以， 故选：B. 6．已知定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性求解析式即可得解. 【详解】因为当时，， 当时，，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，. 故选：A. 7．已知函数为偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】2 【分析】由偶函数的性质即可得解. 【详解】因为函数为偶函数，且定义域为， 故，解得， ，即， 故，解得， 故. 故答案为：2. 8．已知函数满足，且函数关于中心对称，，则 . 【答案】5 【分析】根据函数的周期性，奇偶性即可求解. 【详解】由可知的对称轴为直线关于中心对称， 故关于原点对称即为奇函数，所以，， 则，得， 所以，所以周期为， 则. 故答案为：. 9．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为 .    【答案】 【分析】根据函数的奇偶性即可得解. 【详解】由图象可知，， 又因为函数为奇函数， 所以. 故答案为：. 10．已知奇函数的定义域为，，当时，，则 ． 【答案】0 【分析】先由题意判定函数的对称轴，结合奇函数的对称性确定函数的周期，再根据对数的运算法则计算即可. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称. 又奇函数的图象关于原点对称， 所以，则. 所以，则是周期函数且周期为2. 所以. 故答案为：0. 11．已知是定义域上的奇函数，且在上单调递减，且为偶函数，若在上恰好有4个不同实数根，则 ． 【答案】24 【分析】根据函数奇偶性，单调性，周期性，再通过数形结合即可求解. 【详解】由题意得，为偶函数，则，所以. 又因为在定义域上是奇函数，所以，即. 则，所以，即. 所以的周期为，且关于对称. 因为是奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减， 又因为关于对称，所以在上单调递增. 因为函数的周期为，所以在上单调递减， 在上单调递增，则在上的大致图像如下： 要使在上恰好有4个不同实数根， 则必有两对交点分别关于对称， 所以. 故答案为：24. 12．设函数（），对任意实数、满足． (1)求证：； (2)为偶函数； (3)已知在上有若则则解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令、，、，代入等式即可； （2）令、，代入等式即可； （3）先证明其在为增函数，利用等式结合函数小于零的区间，列出一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）令、，则，则， 令、，则，则， 则； （2）函数（），定义域关于原点对称， 令、，则， 为，则，则为偶函数； （3）因为，且， 则，可化为， 设，则，由则可知，. 又， 所以，所以在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递减， 所以，等价于，即， 即，，由求根公式有， 则解集为， 即，， 则解集为， 综上不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题5 函数的奇偶性及周期性 一、【考点导读】 1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性. 2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 3.了解函数周期的定义，能求一些简单函数的周期. 4.能利用函数的周期求函数值. 二、【真题精练】 题型一、函数的奇偶性及其应用 1．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数在定义域上是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）函数为偶函数，则在上（    ） A．增函数 B．有部分增，有部分减的函数 C．减函数 D．不能确定其增减性 4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．4 D．5 5．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数，若，则 . 9．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是偶函数．则的值为 ． 10．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知二次函数满足． (1)若为偶函数，求的解集． (2)若函数在上最小值为，求实数的值． 题型二、函数的周期性及其应用 11．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知在R上是奇函数，且，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．98 12．（21-22高三·内蒙古·对口/高职单招）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则（      ） A．2 B．0 C． D． 14．（21-22高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则 .（用数字作答） 15．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足，且当时，，则 . 16．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 ． 三、【考点演练】 1．下列为偶函数的是（   ） A． B． C． D．， 2．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．50 4．设是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 5．已知函数，若，则等于（   ） A． B． C．3 D．7 6．已知定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为偶函数，且定义域为，则 ． 8．已知函数满足，且函数关于中心对称，，则 . 9．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为 .    10．已知奇函数的定义域为，，当时，，则 ． 11．已知是定义域上的奇函数，且在上单调递减，且为偶函数，若在上恰好有4个不同实数根，则 ． 12．设函数（），对任意实数、满足． (1)求证：； (2)为偶函数； (3)已知在上有若则则解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $