专题4 函数的单调性及最值 - 2026年内蒙古自治区招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题4 函数的单调性及最值 一、【考点导读】 1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义； 2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性. 二、【真题精练】 题型一、函数的单调性及其应用 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）设函数对任意实数，都有，那么（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在区间上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数在区间上为减函数，则一定有（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 7．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知函数，满足①，②， (1)求a，c的值. (2)若对任意的实数，都有成立，求m的取值范围. 8．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数（且），且. (1)求a的值； (2)若，求x的取值范围. 题型二、函数的最值 9．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）函数在区间上的最大值是（   ） A．2 B．3 C． D．1 10．（24-25高三下·内蒙古赤峰·一模）已知奇函数在上是增函数，且，则函数在上的最大值是（    ） A．6 B． C．7 D． 11．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．或 12．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 13．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求不等式的解集； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 14．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知函数在区间上是单调函数. (1)求实数m的所有取值组成的集合A； (2)试写出在区间上的最大值. 15．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知函数在定义域上是减函数． (1)若，求实数的取值范围． (2)若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 三、【考点演练】 1．若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为R，任取，当时，有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 4．函数在R上是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（      ） A． B． C． D． 6．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C．， D． 7．已知偶函数的定义域为R，且在上为增函数，则不等式的解集为 ． 8．对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 9．已知函数在区间上有最大值5和最小值2，则 ． 10．已知函数. (1)指出函数的单调区间及其单调性； (2)比较与的大小. 11．已知函数，求函数的最大值和最小值. 12．已知是二次函数，在处取得最小值，且的图象经过原点. (1)求的表达式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题4 函数的单调性及最值 一、【考点导读】 1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义； 2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性. 二、【真题精练】 题型一、函数的单调性及其应用 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）设函数对任意实数，都有，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得函数关于轴对称，再由二次函数的单调性判断大小即可. 【详解】函数对任意实数，都有， 所以二次函数的对称轴为，且， 函数图象开口向上，在对称轴左侧单调递减， 因为，所以， 即． 故选：A. 2．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在区间上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A：因为，， 所以函数在区间上是增函数，所以A不正确； 对于B：因为在是增函数，所以B不正确； 对于C：当时，单调减， 所以在区间上不是增函数，所以C正确； 对于D：因为，所以对称轴为， 所以在上，单调增，所以D不正确. 故选：C. 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性和单调性的定义以及常见函数的单调性判断即可. 【详解】A：函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，是偶函数， 对称轴为，函数图像开口向上，在区间上单调递减，故A错误； B：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以，是偶函数， ，则有， 因为，所以，，， 所以，即，所以函数区间上单调递增，故B正确； C：函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，不是偶函数，故C错误， D：函数是指数函数且是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合偶函数在关于原点对称区间上的单调性，即可判断求解. 【详解】因为偶函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 又， 所以. 故选：A. 5．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数在区间上为减函数，则一定有（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A 6．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 7．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知函数，满足①，②， (1)求a，c的值. (2)若对任意的实数，都有成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数值,以及的范围，求参数. （2）恒成立问题转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵，且， ∴，即， 整理得， ∵， ∴，. （2）由（1）可得， 由得：， 整理得， 令，其开口向上，对称轴为， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以， 即，解得：， 故的取值范围为. 8．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数（且），且. (1)求a的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解. （2）先求解函数的单调性，再由单调性即可求解不等式. 【详解】（1）由，可得， 解得或 因为，所以. （2）由（1）知，定义域为， 任取， 所以， 因为，所以，即，， 所以，即， 所以函数在R上为增函数， 因为，所以， 解得， 所以x的取值范围为. 题型二、函数的最值 9．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）函数在区间上的最大值是（   ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数的单调性确定最值即可. 【详解】因为反比例函数在上为增函数， 所以在上为增函数， 所以在区间上的最大值是， 故选：D. 10．（24-25高三下·内蒙古赤峰·一模）已知奇函数在上是增函数，且，则函数在上的最大值是（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为奇函数在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又，所以， 所以函数在上的最大值是. 故选：B. 11．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，根据单调性确定最值，列式可求解. 【详解】设函数， ①当时，函数在区间上单调递增，由题知， ， 解得； ②当时，函数在区间上单调递减，由题知， 解得； ③当时，不符合题意； 综上所述，a的值为或. 故选：D 12．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 【答案】(1) (2)a的值为，的最小值为，无最大值 【分析】（1）由二次函数的对称轴公式求解即可； （2）将代入计算，求得a的值，再由二次函数的图象和性质求得的最值即可. 【详解】（1）因为二次函数， 所以的对称轴为. （2）因为二次函数， 由可得，，解得， 所以， 该函数函数图象开口向上，由（1）知对称轴为， 在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 故当时，取小值，；无最大值， 综上所述，a的值为，的最小值为，无最大值. 13．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求不等式的解集； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)对称轴为，顶点坐标为 (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】（1）将二次函数解析式化简为顶点式求解即可； （2）借助一元二次不等式求解即可； （3）根据函数的对称轴与开口方向确定函数的单调性，进而求解最值即可； 【详解】（1）因为二次函数， 所以其对称轴为，顶点坐标为； （2）由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）由题意，， 所以函数的对称轴为，图象开口向上， 因为，所以在上单调递增， 所以， 所以函数在区间上的最大值为9，最小值为. 14．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知函数在区间上是单调函数. (1)求实数m的所有取值组成的集合A； (2)试写出在区间上的最大值. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和单调性求解. （2）分析二次函数对称轴的位置，判别函数在区间上的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数, 故函数图像的对称轴为，且开口向上， 而，函数在区间上是单调函数， 则或， 即或， 综上，. （2）由（1）知，或， 当时，对称轴为， 函数在上递减，所以. 当时，对称轴为， 函数在上递增，所以， 所以. 15．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知函数在定义域上是减函数． (1)若，求实数的取值范围． (2)若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）结合函数的单调性，得到不等式，解出即可． （2）根据函数单调性的定义结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为不等式在上单调递减，又， 则，解得， 所以的取值范围为． （2）设且，由单调递减，得， 则，即， 故在上单调递增． 三、【考点演练】 1．若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性去掉函数符号，将函数不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】已知函数在R上单调递减，且， 可得，即，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．已知函数的定义域为R，任取，当时，有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据减函数的概念列不等式，再由一元二次 不等式的解法求解即可. 【详解】由当时，有， 则由， 可得， 即，则， 解得，即实数a的取值范围是， 故选：A. 3．定义在上的函数，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义判断函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【详解】对任意，有，则与异号， 不妨设，，则，即， 则在上是减函数. 又，则. 故选：A. 4．函数在R上是增函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增函数的定义即可比较大小. 【详解】已知函数在R上是增函数， 因为，所以， 故选：A. 5．函数的值域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法进行化简，再根据一元二次函数单调性求得值域即可解得. 【详解】由题，令，则， 则函数可化为，函数为二次函数，开口向下， 对称轴为，且， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为，无最小值， 即函数的值域为. 故选：D 6．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据常见函数，再结合单调性求值域，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故A错误； 对于B：由，所以，即，故B错误； 对于C：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故C正确； 对于D： 在单调递减，单调递增， 又，所以，故D错误； 故选：C. 7．已知偶函数的定义域为R，且在上为增函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性分析求解即可. 【详解】因为偶函数在上为增函数, 所以函数在上为减函数， 则不等式可化为， 则有或， 解得：或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 8．对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】首先求解函数的解析式，再求解函数的最小值. 【详解】令，，即，，得， 当，，当，， 所以 当时，单调递减，当时，函数单调递增， 所以当时，． 故答案为： 9．已知函数在区间上有最大值5和最小值2，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，得到在上为单调递增函数，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由函数，可得的对称轴为， 所以函数在上为单调递增函数， 故当时，该函数取得最大值，即，即， 当时，该函数取得最小值，即，即， 联立方程得，解得，所以． 故答案为：. 10．已知函数. (1)指出函数的单调区间及其单调性； (2)比较与的大小. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用二次函数的图象性质分析即可得解； （2）利用的单调性即可比较得解. 【详解】（1）因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为在上单调递增，且， 所以. 11．已知函数，求函数的最大值和最小值. 【答案】 【分析】先判断函数的单调性，再求函数的最值即可. 【详解】设是上任意两个实数，且， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数， 所以， . 12．已知是二次函数，在处取得最小值，且的图象经过原点. (1)求的表达式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值和最小值分别为8，. 【分析】（1）根据二次函数的性质求解析式； （2）利用指数函数的性质以及二次函数的性质求最值. 【详解】（1）设， 由题可得，，即， 解得， 所以. （2）, 设，则， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以当，即时，函数有最小值为，即函数有最小值为； 当，即时，函数有最大值为，即函数有最大值为8. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $