专题3 函数的概念及表示 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题3 函数的概念及表示 一、【考点剖析】 1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 3.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数． 4.求解析式一般有四种情况： （1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式； （2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式； （3）换元法求解析式； （4）解方程组法求解析式． 二、【真题精练】 题型一、函数的表示 1．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为 . 2．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数的图象过原点，且 (1)求解析式； (2)若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围. 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知二次函数，若，且． (1)求函数的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的值． 4．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 题型二、函数的定义域 5．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 6．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的定义域是 7．（24-25高三下·内蒙古·一模）函数的定义域是 . 8．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的定义域是 . 9．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）函数的定义域是（     ） A．R B． C． D． 题型三、函数的值域 10．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数，已知，则=（    ） A． B． C． D．2 11．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数，则 . 12．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数,若，则实数 . 13．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数，且，则（      ） A． B． C． D． 14．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知二次函数的图像过点，且的解集． (1)求的解析式； (2)若，求函数的值域. 题型四、分段函数 15．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 三、【考点演练】 1．设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（　  　） A．   B．   C．   D．   2．函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D．且 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数 的定义域为 （    ） A． B． C． D． 5．下列函数中哪个与函数是同一函数（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．设，则（　　 ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．已知，则的值为 . 9．已知函数，则 ． 10．函数，若，则 . 11．如图所示，抛物线与坐标轴分别交于三点，则该抛物线的解析式为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题3 函数的概念及表示 一、【考点剖析】 1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 3.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数． 4.求解析式一般有四种情况： （1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式； （2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式； （3）换元法求解析式； （4）解方程组法求解析式． 二、【真题精练】 题型一、函数的表示 1．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为 . 【答案】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 2．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数的图象过原点，且 (1)求解析式 (2)若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，进而求解即可. （2）利用二次函数在给定区间的最值求解即可. 【详解】（1）因为函数的图像过原点，且 即函数的对称轴 . 所以解得. 所以. （2）由可得. 令函数，则函数图像开口向下，对称轴为. 又因为 所以当时，函数取得最小值. 所以. 所以m的取值范围为. 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知二次函数，若，且． (1)求函数的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出即可； （2）利用一元二次不等式解集的端点是方程的两根列式求解. 【详解】（1）已知二次函数，且，， 可得， 整理得，解得． 则． （2）由，得． 又由的解集为， 得的解集为，且． 则4，是方程的两个根． 得，解得或（舍去）， 所以． 4．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】(1). (2)，日销售利润最大为元. 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. （2）商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 题型二、函数的定义域 5．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 6．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的定义域是 【答案】 【分析】根据对数型函数的定义域、对数的相关运算和负指数幂的意义即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且. 故答案为：. 7．（24-25高三下·内蒙古·一模）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】对于， 有，即， 又在上单调递减，故， 所以的定义域是. 故答案为：. 8．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，无意义，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则 ，即， 所以不等式组的解为. 故答案为： 9．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）函数的定义域是（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】求出令函数有意义的x的取值范围即可. 【详解】令函数有意义， 则， 所以函数的定义域为， 故选：C 题型三、函数的值域 10．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数，已知，则=（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接将代入得到得值，再直接运算，即得到结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：. 11．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数，则 . 【答案】 【分析】先利用的解析式与求得，进而求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，解得， 则. 故答案为：. 12．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数,若，则实数 . 【答案】 【分析】直接带入解关于的方程即可. 【详解】因为， 又，所以， 即，所以. 故答案为：. 13．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数，且，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求出，再将代入函数解析式中，求得. 【详解】因为函数，且， 所以，解得， 所以，则. 故选：. 14．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知二次函数的图像过点，且的解集． (1)求的解析式； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的解析式，将已知点代入并结合二次不等式的解集，利用韦达定理，即可求解； （2）结合二次函数的图像和性质，即可求得函数在给定区间上得最值，继而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意，设二次函数解析式为，， 因为函数的图像过点，得到， 又的解集，所以1和3是方程的两个根， 所以，解得， 所以的解析式为； （2）由（1）知， 所以函数图像开口向下，对称轴为， 又，所以当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即； 所以时，函数的值域是. 题型四、分段函数 15．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数解析式，解绝对值不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】函数， 因为，若， 即，可得，解得. 故选：C. 三、【考点演练】 1．设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（　  　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意结合定义域及值域的定义即可得解. 【详解】选项A中，定义域为，故错误； 选项中，定义域为，值域为，符合题意； 选项C不是函数图象，故错误； 选项D中，定义域为，值域不是，故错误， 故选：. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据分式的分母不为零及对数的真数大于零直接列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则需使，即，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：D. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式函数以及对数函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则< 解得. 故选：C. 4．函数 的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的真数大于，分母不为，被开方数大于等于，列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得，即且， 所以函数 的定义域为. 故选：. 5．下列函数中哪个与函数是同一函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同一函数的概念,要求两函数定义域相同,且对应关系也相同,依次分析四个选项,即可求出. 【详解】对A：的定义域为的定义域为，定义域不同， A选项错误， 对B：的定义域为的定义域为R，但两个函数的对应法则不同， B选项错误， 对C：和的定义域和对应关系一致， C选项正确， 对D：的定义域为的定义域为， D选项错误. 故选：C. 6．已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，令，则，代入原解析式，解得，即可得的解析式． 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 7．设，则（　　 ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】由分段函数解析式求函数值即可得解. 【详解】函数， 则， 故选：. 8．已知，则的值为 . 【答案】5 【分析】根据函数的定义求函数值即可. 【详解】因为，则. 故答案为：5. 9．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据自变量的范围代入相应的解析式计算可得. 【详解】函数，因为，所以. 故答案为：. 10．函数，若，则 . 【答案】 【分析】现将自变量代入，再根据诱导公式求解. 【详解】已知函数， 若，则， 则， 故答案为： 11．如图所示，抛物线与坐标轴分别交于三点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据图中信息设出抛物线解析式，将已知三点代入求解即可解得. 【详解】由题，设抛物线解析式为， 由图可知抛物线过点， 将点代入解析式可得， 解得，故所求抛物线解析式为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $