专题13 正弦定理与余弦定理 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题13 正弦定理与余弦定理 一、【考点导读】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 3.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 4.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力 二、【真题精练】 题型一、正弦定理及应用 1．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，已知，则形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角，再结合两角差的正弦公式化简，进而求解即可. 【详解】由正弦定理可知. 因为 所以 因为和是三角形的内角. 所以即. 则为等腰三角形. 故选：A. 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【详解】（1）因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. （2）因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用二倍角公式求解； （2）由正弦定理求解. 【详解】（1）因为，所以，则． 又因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理， 得． 题型二、余弦定理及应用 4．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为 .米. 【答案】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行的速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 5．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，已知，，，则的形状为 . 【答案】钝角三角形 【分析】先判断的最大内角为，再利用余弦定理判断得为钝角，从而得解. 【详解】因为在中，，，， 所以，所以角是的最大内角， 又，且， 所以为钝角，又各不相等， 则的形状为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知的边a，b是方程的两个根，，则边 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合余弦定理即可解得. 【详解】由题，的边a，b分别为的两个根， 则，又， 由余弦定理可知，. 故答案为： 8．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知为双曲线上一点，和为双曲线的焦点，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意可得双曲线的标准方程，可得、、的值，根据余弦定理求出的值，由，求得的面积. 【详解】双曲线即为，可得，，， 由双曲线的定义可得，， 在中，由余弦定理可得 ，可得， 即，则的面积为. 故答案为：. 9．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）由，且， 得， 由正弦定理， 即. （2）， ， 所以 . 题型三、正弦定理与余弦定理的综合应用． 10．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知各内角的对边分别为，且满足. (1)求角A的度数； (2)若，.求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先求出角C的度数，再根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，则有， 根据余弦定理，， 又，所以； （2）由于，所以， 根据正弦定理，有，， 化简得到. 11．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）在锐角中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理即可求出的值； （2）利用正弦定理求得，结合角A的范围可得，再由二倍角的正弦公式以及两角和差的正弦公式可得结果. 【详解】（1）在中，由， 整理可得：， 由余弦定理可得，. （2）由（1）知，在中， 则， 又由正弦定理得得， 由知，，故有，则A为锐角， ， ，， . 题型四、三角形面积公式及应用 12．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，，求边长a，b. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据余弦定理，即可求解. （2）根据三角形面积公式，结合三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】（1）， ， ，. （2）由（1）可得，故， ， ，而， ， 或. 13．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在△ABC中，， (1)求sinC的值； (2)若BC=10，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）根据三角形的内角和定理化简sinC，再利用两角和的正弦函数公式求解. （2）根据正弦定理求得三角形的边，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴. 在△ABC中，，，. . （2）由正弦定理可知，，代入BC=10，，， 得到. 即△ABC的面积. 14．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）在中，. (1)求的最大内角的度数； (2)求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. （2），则， 则. 15．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， ，且. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示和正弦定理列出等式，结合同角三角函数间的关系求出对应角即可解得. （2）根据三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由题，，则， 由正弦定理可得, 又知，则，则， 又知，则解得. （2）由题，，则， 故. 三、【考点演练】 一、单选题 1．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定义求出的值即可得解. 【详解】在中，若， 则， 因为，则， 故选：. 2．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理，结合大边对大角即可得解. 【详解】由正弦定理，得， 因为，所以，即， 所以. 故选：D. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，若则此三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理得出边的比值，再根据余弦定理计算最大边的余弦值即可解得. 【详解】在中，由正弦定理， 令，则， 由可知边最大， 即最大，则， 又， 则为钝角，三角形为钝角三角形， 故选：B 二、填空题 4．在中，若，则的最大内角与最小内角的和为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理得，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 设， 三角形中由大边对大角可得角最大，角最小， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 5．在中，若，，，则 . 【答案】/ 【分析】先用正弦两角和公式求出，再用正弦定理求即可. 【详解】因为在中，若，，， 则 ，由正弦定理， 可得. 故答案为：. 三、解答题 6．已知在中，角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式及三角函数的诱导公式，求解即可； （2）利用正弦定理和余弦定理边角互化，结合同角三角函数的平方关系及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，整理得： 又因为，， 所以， 因此，所以. （2）由（1）知，可得， 又，，所以， 解得：，， 因为，所以， 所以. 7．的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式求解即可. （2）根据余弦定理解三角形，求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，即，所以， 得到，所以， 即. （2）因为，由（1）得， 所以， 即， 解法一：， ， 在中，， 即， 故. 解法二：， 则， 即， 故. 8．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知的周长为，且. (1)求边的长； (2)若的面积为，求角的度数. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边结合题干条件可求； （2）利用三角形面积公式及余弦定理可求. 【详解】（1）在中，内角，，所对的边分别是，，， 知的周长为，且， 可得，， 两式相减得， 则 ，即边的长为. （2）由的面积为得， 由，得， 由余弦定理得， 又为三角形内角，故 . 9．在中，分别是角的对边，已知 (1)求； (2)若，的面积，且，求b，c. 【答案】(1) (2)， 【分析】（）将已知条件进行化简，利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数基本关系式即可得解. （）根据三角形面积公式及余弦定理列出方程组，利用换元法即可得解. 【详解】（1）在中，分别是角的对边， 由，有， ，由余弦定理得，又， . （2）∵的面积，，①， ，由余弦定理可得， ②， ， 联立①②可得 令，，则， 解得或， 当时，或（舍），此时，与矛盾，故舍去； 当时，或（舍），此时，符合题意； 综上所述，，. 10．在锐角中，角所对的边分别为a，b，c，其中，，． (1)求c的值． (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）运用同角三角函数的平方关系及余弦定理可求得的值. （2）运用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）∵为锐角三角形，， ∴， 由余弦定理得：， 解得：，故的值为. （2）由正弦定理得：， 即：，解得：， 故的值为. 11．已知的内角，，所对应的边分别为，，，的面积为. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式及正弦定理即可求解； （2）借助两角和余弦公式求出，即可求得；利用求得的值，再利用余弦定理从而求得的周长. 【详解】（1）由的面积为， 得到， 即. 由正弦定理，可得：， 所以. （2）由，得到. 又由可得：， 所以. 故. 又由，可得：. 由余弦定理可得：， 化简可得：， 所以，的周长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题13 正弦定理与余弦定理 一、【考点导读】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 3.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 4.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力 二、【真题精练】 题型一、正弦定理及应用 1．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，已知，则形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 3．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 题型二、余弦定理及应用 4．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为 .米. 5．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，则 . 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，已知，，，则的形状为 . 7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知的边a，b是方程的两个根，，则边 . 8．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知为双曲线上一点，和为双曲线的焦点，若，则的面积为 ． 9．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 题型三、正弦定理与余弦定理的综合应用． 10．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知各内角的对边分别为，且满足. (1)求角A的度数； (2)若，.求的值. 11．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）在锐角中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型四、三角形面积公式及应用 12．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，，求边长a，b. 13．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在△ABC中，， (1)求sinC的值； (2)若BC=10，求△ABC的面积. 14．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）在中，. (1)求的最大内角的度数； (2)求的值. 15．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， ，且. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 三、【考点演练】 一、单选题 1．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 3．在中，内角，，的对边分别为，，，若则此三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 4．在中，若，则的最大内角与最小内角的和为 . 5．在中，若，，，则 . 三、解答题 6．已知在中，角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 7．的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)已知，求边上的中线的长. 8．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知的周长为，且. (1)求边的长； (2)若的面积为，求角的度数. 9．在中，分别是角的对边，已知 (1)求； (2)若，的面积，且，求b，c. 10．在锐角中，角所对的边分别为a，b，c，其中，，． (1)求c的值． (2)求的值． 11．已知的内角，，所对应的边分别为，，，的面积为. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $