专题12三角恒等变换 - 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题12 三角恒等变换 一、【考点导读】 1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换并求三角函数值； 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简；左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”； 5.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 二、【真题精练】 题型一、两角和与差公式及应用 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切差角公式化简求值，然后根据所给范围求角即可. 【详解】因为， 则， 因为，，所以， 综上； 故选：B. 2．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若函数，且，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 【详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 3．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）在中，. (1)求的最大内角的度数； (2)求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. （2），则， 则. 4．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）由，且， 得， 由正弦定理， 即. （2）， ， 所以 . 5．（24-25高三下·内蒙古·一模）若，是第二象限的角，，是第三象限的角.求以及值. 【答案】； 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，先求出的值，结合两角和的正弦公式和余弦公式，即可代入求解. 【详解】因为，是第二象限的角， 所以， 因为，是第三象限的角， 所以， 所以； . 6．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在中，A为锐角，且． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式求，然后利用余弦定理可求； （2）利用正切的和差角公式结合诱导公式、三角形内角和为进行化简求值即可. 【详解】（1）因为，且A为锐角，则， ； 则的长为. （2）因为，，则， 因为， 则， 因为， 则， 则. 7．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系、正切函数的定义以及两角和的正弦公式求解即可. （2）根据三角函数的平方关系、再分子分母同时除以，根据（1）中的结果求解即可. 【详解】（1），， ，且， ，， ， . （2） . 8．（23-24高三下·江西赣州·三模）已知求下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解. （2）根据二倍角公式求解. 【详解】（1）∵ ∴, . （2）∵， ， ∴. 题型二、二倍角公式及应用 9．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 10．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）求值： （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意得， . 故选：A. 11．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合两角差的正弦公式、同角三角函数的平方关系、正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 两边平方得， 所以. 故选：C. 12．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若，则 . 【答案】 【分析】根据正余弦齐次式和余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 13．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，且，求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由已知求解的值，再由两角差的正切公式计算即可. （2）先由将整式化分式，再由分子分母同除构造即可求解. 【详解】（1）因为， 可得，解得， 所以. （2）因为，所以 . 14．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式依次求得，再利用正切函数的倍角公式即可得解； （2）利用三角函数的基本关系式求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 则， 所以. （2）因为，所以 又，所以， 所以. 15．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用二倍角公式求解； （2）由正弦定理求解. 【详解】（1）因为，所以，则． 又因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理， 得． 三、【考点演练】 1．在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理进行边角互换，再由两角和的正弦公式化简得，最后由特殊角的三角函数值确定角的大小即可. 【详解】， 根据正弦定理得， ， ， 因为在中，， 即， ， 或， ， 即为等边三角形. 故选：C. 2．，则＝（　　） A．－ B．－3 C． D．3 【答案】A 【分析】根据诱导公式求出，结合二倍角公式及齐次式的应用即可得解. 【详解】， 则故选：. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 4．已知函数，则函数的最小正周期是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二倍角公式化简，再由周期公式求值即可. 【详解】已知函数， 其中，则最小正周期， 故选：D. 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式得到，再根据两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 6．已知，，则（ ） A． B． C．​ D． 【答案】B 【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以​​， 即​，所以​， 又​，所以​，即​， 则​， 故选：B. 7．在中，若，则一定是（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理结合两角和差的正弦公式即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可知， ， 因为为内角，所以， 所以一定是等腰三角形， 故选：. 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的二倍角公式求解即可. 【详解】， ， 故选：D． 9．已知是方程的两根，且，则的值等于 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理得到、，再根据两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由题意知是方程的两根， 所以，， 所以， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 10．已知， (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式及角的范围求解即可； （2）利用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】（1）因为，， 所以； . （2）由（1）知，， 所以 . 11．已知的内角所对的边分别，且. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系，即可化简求值； （2）根据余弦定理，及三角形的面积公式，结合题意，即可求值. 【详解】（1）由， 得 ， 则， 又∵， ∴. （2）由（1）得，， ∴， 由余弦定理可得． ①当时，， ， 由，得，即， 此时为等边三角形， 故； ②当时，， ， 由，得， 即，不符合题意. 综上可知，的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 2026年内蒙古自治区对口招生《数学必刷题》 专题12三角恒等变换 一、【考点导读】 1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系： 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换并求三角函数值； 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通 过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简； 左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”： 5.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”· 二、【真题精练】 题型一、两角和与差公式及应用 1.(23-24高三下.内蒙古巴彦淖尔.模拟预测)己知tana=2,tanB=-3,且a,Be(0,π，则 0a-B=() A没 B.子 D.3π 4 2.(21-22高三内蒙古模拟预测)若函数八)=+5 anx)coss,且0≤x<受，则f川的 最大值为一 3.（24-25高三下·内蒙古职教高考)在ABC中，a=3,b=5,c=7. (1)求ABC的最大内角的度数； (元C的值。 {2)求tan4+2 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 中职公共课·高考必刷题 9A职教 》 4.（23-24高三下内蒙古对口/高职单招)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a, b,G,已知a=2,c=V2,c0sA=-2 4 (1)求sinC; 5.(2425高三下内蒙古一核)若加a=u是第二象限的角，cmsB=-,B是第三 2 象限的角.求sin(a+)以及cos(a+)值. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 6(23-24高三下内蒙古巴彦淖尔模拟预测)在A8C中，4为锐角，且sinA= (1)若AC=5,AB=4,求BC的长； 2诺am(4-到=子求aC的值。 7.(21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔.模拟预测)己知0<a<元，tanu=-2. 求sma+君)的值： (2)求2sin2a-sina cosa+cos2a的值. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 3 8.（23-24高三下-江西赣州三模)已知cosa=-弓a∈0，)，求下列各式的值. (1)tan a; (2)sin 2a +cos 2a. 题型二、二倍角公式及应用 9.(24-25高三下.内蒙古·职教高考)若4sinπ-a)=-3cosπ+a),则cos2a的值为() 7 8.3 25 c D. 4 25 10.(23-24高三下.内蒙古巴彦淖尔模拟预测)求值：-sin22.5°cos22.5°=() A.-V2 8.2 4 4 c.-2 D.2 2 11.(22-23高三下.内蒙古巴彦淖尔.三模)已知sinx- 亏，则m2x的值为《) π3 16 A. 9 25 B. 25 c D.7 5 12.（2223高三上内蒙古呼和浩特一模)若ana=5 则cos2a 2 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 13.(20-21高三内蒙古对口/高职单招)已知0<<，且ana+4-1,求： tano (a)am[任a的值： (2)2sin2a-sina cosa+cos2a的值. 14.（1920商三内蒙古对口/高明单招)已知α∈（受}Bc(0,且snu-号5， @9子 (1)求tan2a的值； (2)求cosa-B的值. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 中职公共课·高考必刷题 9A职教 》 15.(18-19高三·内蒙古对口/高职单招)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C.己 知cos2B=-1 4 (1)求sinB的值； (2)当a=2,2sinA=sinB时，求b的值. 三、【考点演练】 1.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cosB(a cosC+CosA)=b, 1 inC=g3-lg2,则A8C的形状为（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.tan(a-x)=2,1-2sin'a = 1+sin 20 A.-1 B.-3 C. 1 D.3 3 3 3.已知sim(元-)= ,则cos2a=() 3 A. 87 C.7 D.22 9 9 3 3 4.已知函数f(x)=sinxcos- 3 ,则函数f(x)的最小正周期T是() A.1 B.2 C. D. 5.sin20°cosl0°-cosl60°sinl0°=() A.-3 B.3 2 2 2 D. ©6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职公共课·高考必刷题 A职教 》 4/, 则sina-cosa=() A.v2 8.-2 2 2 c 7.在ABC中，若a=2 bcosC,则ABC一定是() A.正三角形 B.直角三角形 C,等腰或直角三角形 D.等腰三角形 8.已知tana=-V2,则tan2a=() A.-22 B.2V2 C.2 D.22 3 3 9已知anu,amB是方程r-33x+10=0的两根，且a,B-7则a+月的值签 于 3π 0已知sin6,ee元7 (1)求cos0和tan0的值； 2课m0+到的值 11.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别a,b,c,且 mgm4=o任小g (1)求sinB的值； (2)若a=2,b2=ac,求ABC的面积. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究：