19.1二次根式及其性质（思维导图+3知识点+10种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

本初中数学讲义聚焦二次根式及其性质，系统梳理二次根式的概念（含二次根号、被开方数非负的判断依据）、有意义的条件（单个、多个二次根式及与分式结合的情况）、性质（双重非负性等），构建从定义到应用的学习支架。 资料通过10类题型（如双重非负性“0+0=0”型、结合数轴化简）设计典例与变式练习，培养学生推理能力（数学思维）和几何直观（数学眼光），课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化训练、查漏补缺。

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 知识点一 二次根式的概念 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 即学即练 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 知识点二 二次根式有意义的条件 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 常见类型： 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 4）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 5）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≠0. 即学即练 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）函数的自变量x的取值范围是 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，都是实数，且，则的值为 ． 知识点三 二次根式的性质 即学即练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 2．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 题型01 二次根式的识别 判断一个式子是否是二次根式的方法： 同时满足： 注意：当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论. 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 二次根式有意义的条件 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 题型03 求二次根式的参数 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·重庆·月考）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 题型04 二次根式双重非负性-“0”+“0”=“0”型 几个非负数的和为0，则每个非负数等于0. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则的算术平方根为 ． 2．（23-24八年级上·上海金山·月考）如果 ，那么 ． 题型05 二次根式双重非负性- 使用场景：（其中A为含字母的单项式或多项式） 解题策略：A与-A互为相反数，且都在根号下面，因此两者均需大于或等于0，即A≥0，且-A≥0，可得A=0，进而可得y=0. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数满足，那么的值为 ． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若，为实数，，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 题型06 利用二次根式的性质化简 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 题型07 利用二次根式的性质化简含绝对值的代数式 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·天津武清·月考）实数在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 3．（25-26八年级上·重庆万州·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 题型08 利用二次根式的化简结果求参数范围 根据化简的结果，可以判断出a的取值范围.即如果，那么α≥0；如果，那么a≤0. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）若，则 （写出一个值即可）． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若，则的取值范围是 ． 2．（河南省信阳市平桥区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）请写出一个符合条件的实数a的值，使得在实数范围内有意义，则a的值为 ． 3．（山东省聊城市东昌府区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题）若，则的取值范围是 ． 题型09 二次根式性质在代数式化简中的应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知，，若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 题型10 复合二次根式化简 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）化简： ． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 知识点一 二次根式的概念 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 即学即练 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ，， ，， ， 故答案为：． 知识点二 二次根式有意义的条件 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 常见类型： 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 4）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 5）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≠0. 即学即练 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵函数在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）函数的自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：， 故答案为：且． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，都是实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点三 二次根式的性质 即学即练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 题型01 二次根式的识别 判断一个式子是否是二次根式的方法： 同时满足： 注意：当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论. 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 题型02 二次根式有意义的条件 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 【答案】2025（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条件的值． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负， ∴ ， ∴ ， ∴ 取（满足）， 故答案为：2025（答案不唯一） 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意有且， 解得. 故答案为： 题型03 求二次根式的参数 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 22．（24-25八年级上·重庆·月考）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 题型04 二次根式双重非负性-“0”+“0”=“0”型 几个非负数的和为0，则每个非负数等于0. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性求出a和b的值，再计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质和算术平方根的计算． 根据算术平方根和平方的非负性，它们的和为零时，每个都必须为零，从而求出x和y的值，再计算，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海金山·月考）如果 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．由已知方程 可得 ，根据算术平方根的非负性，有 ，再化简所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， ∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 题型05 二次根式双重非负性- 使用场景：（其中A为含字母的单项式或多项式） 解题策略：A与-A互为相反数，且都在根号下面，因此两者均需大于或等于0，即A≥0，且-A≥0，可得A=0，进而可得y=0. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数满足，那么的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，实数的运算，根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【详解】解：∵实数m满足， ∴， ∴， ∴， 原式化为, 整理得：， 两边同时平方得：， 则， 故答案为：2025． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若，为实数，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 题型06 利用二次根式的性质化简 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质；根据绝对值的性质，，再结合的范围，化简表达式． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， ∴原式． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 题型07 利用二次根式的性质化简含绝对值的代数式 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·天津武清·月考）实数在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，整式的加减，绝对值的意义，解题关键是根据数轴得出字母的范围． 先根据数轴得出字母的范围，再化简计算即可． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可得，，， 又， 所以， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆万州·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型08 利用二次根式的化简结果求参数范围 根据化简的结果，可以判断出a的取值范围.即如果，那么α≥0；如果，那么a≤0. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）若，则 （写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 取即可； 故答案为：（答案不唯一） 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（河南省信阳市平桥区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）请写出一个符合条件的实数a的值，使得在实数范围内有意义，则a的值为 ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 的值可以是6（答案不唯一）， 故答案为：6（答案不唯一）． 3．（山东省聊城市东昌府区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 题型09 二次根式性质在代数式化简中的应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：， ， 解得， ． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知，，若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． 【详解】先化简： ，， 则 又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ，， ，， ． 题型10 复合二次根式化简 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $