8.1 功及功率（第1课时）-2025-2026学年高一物理同步讲义（人教版必修二）

8.1功及功率（第一课时）（解析版） 题型1 功的定义、计算式和物理意义 1 题型2 判断某个力是否做功，做何种功 3 题型3 图像法求变力做功 6 题型 4 微元法求变力做功 8 题型 5 平均力法求变力做功 10 题型 6等值法求变力做功 12 题型7 功率的定义和物理意义 15 题型8 平均功率 18 题型9 瞬时功率 21 一、功 1．做功的两个要素 (1)作用在物体上的_力__。 (2)物体在_力的方向__上发生的位移。 2．功的物理意义 功是描述_力对物体空间__的累积效应的物理量。 3．公式 W＝ Flcosα　。 (1)α是力的方向与_位移方向__之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于_恒力__做功。 4．功的正负 (1)当0≤α<时，W>0，力对物体做_正功__。 (2)当<α≤π时，W<0，力对物体做_负功__，或者说物体_克服__这个力做了功。 (3)当α＝时，W＝0，力对物体_不做功__。 二、功率 1．公式 (1)P＝，P为时间t内的_平均功率__。 (2)P＝_Fvcos_α__，α为F与v的夹角。 ①若v为平均速度，则P为_平均功率__。 ②若v为瞬时速度，则P为_瞬时功率__。 2．物理意义：描述做功的_快慢__，功率大则做功_快__，功率小则做功_慢__。 　一、恒力做功的分析和计算 1．判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求合力做的功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。 3．两个常用推论 (1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。 (2)如图所示，物体由A滑到D克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。 　二、变力做功的求解方法 1　微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。 2　图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功。 3　等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·。 4　平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx。 5　利用W＝Pt计算变力的功 当功率恒定时，利用公式W＝Pt计算功，在如图所示的P－t图像中前3 s内力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6 J。 6　功率的计算 计算功率的方法 1．平均功率的计算方法 (1)利用 ＝。 (2)利用 ＝F·cos θ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。 (2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。 (3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。 题型1 功的定义、计算式和物理意义 1．甲、乙两物体分别在斜面上与水平地面上做匀速直线运动，已知：甲乙的质量比为 3：2，甲所受平行于斜面的拉力是乙所受水平拉力的3倍，斜面倾角为 30°，甲的速度是乙的3倍。那么在同一时间内，拉力对甲、乙两物体做功之比为（　　） A．3：1 B．3：2 C．9：1 D．9：2 【答案】C 【知识点】功的定义（式） 【详解】由题可知， 则相同时间内，甲沿斜面、乙在水平面上通过的距离之比 因此在同一时间内，拉力对甲、乙两物体做功之比为 故选C。 2．若用国际单位制基本单位的符号来表示功的单位，则正确的是（　　） A．J B．N·m C．N/m D．kg·m2/s2 【答案】D 【知识点】基本单位、功的定义（式） 【详解】A．J是功的单位，但属于导出单位，并非由国际单位制基本单位直接表示，故A不符合题意； C．N·m中，牛顿（N）是导出单位（1 N = 1 kg·m/s²），因此N·m仍包含导出单位，故B不符合题意； C．N/m不是功的单位，故C错误； D．功的公式为 而 代入得 加速度的单位为m/s²，因此功的单位为kg·m²/s²，由基本单位kg、m、s组成，故D正确。 故选D。 3．如图所示，质量的物体，在斜向下与水平方向的夹角、大小为的力的作用下，从静止开始运动，通过的位移为，已知物体与水平面间的动摩擦因数，，，重力加速度g取，问： (1)力对物体做多少功？ (2)合力对物体做多少功？ 【答案】(1)32J (2)11.2J 【知识点】功的定义（式）、多个力做的总功 【详解】（1）根据功定义式，力F对物体做的功为 （2）根据平衡条件，支持力 摩擦力大小为 摩擦力对物体做功 合力对物体做功 4．如图所示，物体沿粗糙水平面向右运动相同位移时，下列四种在力F作用下的情形中，力F做功最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】功的定义（式） 【详解】依题意，物体在力F的作用下沿水平面向右运动相同位移，设为，根据 代入各个选项中的数据，可得，，， 则有 故选D。 题型2 判断某个力是否做功，做何种功 5．如图所示，物块A置于斜面B上。现对斜面施加一水平作用力，使得A和B一起水平向左匀速运动，则下列说法中正确的是（　　） A．A所受合外力对A做正功 B．B对A的作用力不做功 C．B对A的弹力不做功 D．B对A的摩擦力不做功 【答案】B 【知识点】功的正负及判断 【详解】A．A与B一起匀速运动，物块A所受的合外力为零，则合外力对A做的功为零。故A错误； B．B对A有两个力，摩擦力和弹力，这两个力的合力竖直向上。“B对A的作用力”，指的是B对A的合力。力的方向与位移的方向垂直，不做功。故B正确； C．B对A的弹力方向垂直于斜面向上。力的方向与物体位移的夹角小于90°，所以弹力对A做正功。故C错误； D．B对A的摩擦力方向是沿斜面向上，力的方向与物体位移方向夹角大于90°，所以摩擦力对A做负功。故D错误。 故选B。 6．如图所示，一辆电动汽车经过一平直路面，在匀减速向左运动，一人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止。关于人对车厢的做功情况，以下说法正确的是（　　） A．人对车厢不做功 B．人对车厢做正功 C．人对车厢做负功 D．无法确定 【答案】B 【知识点】功的正负及判断 【详解】人对车厢的作用力包括人对车厢向左的推力F和人对车厢底板的向右的摩擦力f，根据牛顿第三定律可知，车厢对人向右的推力F＇=F，车厢底板对人的向左的摩擦力f＇=f，对人受力分析，人的加速度向右，则由牛顿第二定律 可知 则F>f，因F和f位移相同，根据W=Fx，F做的正功大于f对车厢做的负功，则人对车厢做正功。故选B。 7．关于摩擦力的做功情况，下列说法中正确的是（　　） A．静摩擦力一定对物体不做功，滑动摩擦力一定对物体做功 B．静摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和一定为零 C．滑动摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和不一定为零 D．滑动摩擦力对物体做正功，它的反作用力不一定对物体做功 【答案】C 【知识点】功的正负及判断 【详解】A．静摩擦力可以做功。例如，人站在加速的传送带上时，静摩擦力对人做正功。滑动摩擦力也可能不做功，例如物体在地面上滑动时，滑动摩擦力对地面不做功，故A错误。 B．静摩擦力的作用力和反作用力分别作用在不同物体上，位移可能不同，做功代数和不一定为零。例如，人走路时，脚底静摩擦力对地面不做功，而地面对人的静摩擦力做功，代数和不为零，故B错误。 C．滑动摩擦力的作用力和反作用力作用在不同物体上，若两物体位移不同，做功代数和可能不为零。例如，木板在桌面滑动时，木板受到的滑动摩擦力做负功，桌面若静止则反作用力不做功，代数和不为零，故C正确。 D．当滑动摩擦力对物体做正功时，反作用力必然作用在另一物体上，且该物体必须有位移，因此反作用力一定做功。例如，木箱在加速运动的卡车水平底面上滑动时，滑动摩擦力对木箱做正功，反作用力对卡车做负功，故D错误。 故选C。 8．图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断正确的是（　　） A．图甲中支持力对人不做功 B．图甲中摩擦力对人做正功 C．图乙中支持力对人做正功 D．图乙中摩擦力对人做负功 【答案】B 【知识点】功的正负及判断 【详解】A．在图甲中，女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼，支持力方向竖直向上，且支持力与位移夹角小于，根据功的定义 可知支持力对人做正功，故A错误； B．在图甲中，女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼，加速度有水平向前的分量，根据牛顿第二定律可知人受到水平向前的摩擦力，摩擦力方向与位移方向夹角小于，根据功的定义 可知摩擦力对人做正功，故B正确； CD．在图乙中，一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，通过分析，可知支持力与速度方向垂直，支持力不做功；而静摩擦力方向与速度方向相同，故静摩擦力做正功，故CD错误。 故选B。 题型3 图像法求变力做功 9．一小物块在水平拉力的作用下向右运动，拉力随小物块的位置坐标变化的图像如图所示，则在内，拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图像法求变力做功 【详解】在图像中，图像与轴围成的面积表示拉力做的功。设拉力做功，此段图像为梯形，根据梯形面积公式 这里，， 可得 设拉力做功，此段图像为三角形，根据三角形面积公式 这里， 可得 那么内拉力做的功 故选A。 10．某游乐场有一种多锤敲钉子的娱乐活动，一位游客6锤刚好把一颗钉子垂直锤进木板，假设每次锤击做功相同，且钉子所受木板阻力与深度成正比。求钉子第1次与第5次进入木板的深度之比（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图像法求变力做功 【详解】由题意可知，阻力与深度d成正比，f-x图像如图所示 F-x图像与坐标轴所形成图形的面积等于力所做的功，每次钉钉子时做功相同，如图所示可得：每次所围面积相同，根据几何关系可知 则 其中， 故 则钉子前5次进入木板的深度之比为 故钉子第1次与第5次进入木板的深度之比 故选D。 11．如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则力F所做的功为（　　） A．200J B．160J C．100J D．80J 【答案】B 【知识点】图像法求变力做功 【详解】根据 图像与坐标轴所围成的面积可知，B正确。 故选B。 12．某快递公司用无人机向山区配送急救药品。无人机载药后从卫生院平台由静止竖直起飞，其升力随高度变化规律如图所示。则从起点到升至高度为15m的过程中，升力对无人机做的总功为（　　） A．100J B．400J C．200J D．300J 【答案】B 【知识点】图像法求变力做功 【详解】根据，可知图像与横轴围成的面积即为升力F做的功，则有 故选B。 题型 4 微元法求变力做功 13．石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为20N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中克服摩擦力所做的功约为（　　） A．0 B．6J C．19J D．38J 【答案】D 【知识点】微元法求变力做功 【详解】与摩擦力一直是平衡力，克服摩擦力做功，因大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功为 则转动一周的过程中克服摩擦力所做的功为 故选D。 14．如图所示，小球质量为，悬线的长为，小球在位置A时悬线水平，放手后，球运动到位置B，悬线竖直，设在小球运动过程中空气阻力的大小为且不变，重力加速度为，关于该过程，重力做的功为 ；悬线的拉力做的功为 ；空气阻力做的功为 （用题中给定的物理量符号表示） 【答案】 0 【知识点】功的定义（式）、微元法求变力做功 【详解】[1]该过程，重力做的功为 [2]悬线的拉力始终和速度方向垂直，根据，悬线的拉力做的功为0。 [3]空气阻力大小不变，方向始终与速度方向相反，可将运动过程看成是无数个小段，每个小段空气阻力看成是恒力，即，这样空气阻力做的总功为 15．如图所示的装置由一半径为的半圆管与半径为的半圆管组合而成，将装置固定在水平面上，一直径略小于圆管内径的小球置于M点，该小球受到一方向始终沿轨道切线方向的外力，且保持其大小F不变，当小球由M点运动到管口的另一端N点的过程中，该外力对小球所做的功为（    ） A．0 B．FR C． D． 【答案】C 【知识点】微元法求变力做功 【详解】根据做功的基本公式，力的大小不变，方向在改变，但力的方向一直与速度方向相同，由微元法可知 故选C。 16．某个力F始终作用于转盘边缘的A点上。已知力F的大小保持不变，方向在任何时刻均保持与作用点的切线一致，转盘半径为r。则在转盘逆时针转动一周的过程中，力F所做的总功为（　　） A．0 B．2πrF C．πrF D．2rF 【答案】B 【知识点】微元法求变力做功 【详解】转盘转一周通过的轨迹长度为x=2πr 力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由W=Fx求解F做的功。力F所做的功W=Fx=F×2πr=2πrF 故选B。 题型 5 平均力法求变力做功 17．某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均力法求变力做功 【详解】阻力随深度线性变化，利用平均力法可得平均力 则 故选C。 18．如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均力法求变力做功 【详解】小方块依次进入粗糙区域，摩擦力逐渐增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为f，则 整个过程中的平均摩擦力 摩擦力对所有小方块做的功 所以做功的大小为。 故选C。 19．一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平均力法求变力做功 【详解】物块受到的阻力为 当x=0时，牵引力大小为 当时，牵引力大小为 由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为 在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为 故选D。 20．质量为的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，则物体从运动到的过程中，合外力做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多个力做的总功、平均力法求变力做功 【详解】力F是线性变化，可以用平均力求功。则所有力对物体做的功为 故选D。 题型 6等值法求变力做功 21．力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功，那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，    （1）甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W= ； （2）乙图中，全过程F做的总功为 ； （3）丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W= ； （4）丁图中，F始终保持水平，且为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W= 。 【答案】 72J 【知识点】功的定义（式）、等值法求变力做功、图像法求变力做功、微元法求变力做功 【详解】（1）力F大小不变，方向始终沿绳方向，在力方向的位移为（OA-OC），故力F做的功为 （2）力F做的总功为 （3）空气阻力f与物体运动方向始终相反，故力f做的功为 （4）力F的方向始终沿水平向右，水平方向的位移为 力F做的功为 22．某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 【答案】50 J 【知识点】功的定义（式）、等值法求变力做功 【详解】由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等。由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移l,再求恒力F做的功。 由几何关系知,绳的端点的位移为 l=-=h=0.5 m 在物体从A移到B的过程中,恒力F做的功为 W=Fl=100×0.5 J=50 J 故绳的拉力对物体所做的功为50 J。 23．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【答案】732J 【知识点】等值法求变力做功、弹力（非弹簧）做功 【详解】人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 又 所以人对绳的拉力做的功 题型7 功率的定义和物理意义 24．2025年，中国用“2兆瓦”液态燃料钍基熔盐实验堆首次实现钍铀核燃料转换。其中“瓦”用国际单位制中的基本单位表示为（　　） A． B．W C． D．J/s 【答案】A 【知识点】基本单位、功率的定义（式） 【详解】根据功率的计算公式可得 故选A。 25．家庭装修需要将一定数量的瓷砖由一楼运送到六楼，可采用下表所示的两种方式中的一种完成。比较两种方式中，对瓷砖做功的情况，下列判断正确的是（　　） 运送方式 所需时间 方式1：利用电梯运送 10分钟 方式2：人工沿楼梯搬运 3小时 A．方式1做功多 B．方式2做功多 C．方式1功率大 D．方式2功率大 【答案】C 【知识点】功率的定义（式）、功的定义（式） 【详解】AB．瓷砖从一楼运至六楼，需克服重力，两种方式中，瓷砖质量和提升高度相同，因此做功相同，故AB错误； CD．功率（P）是单位时间内做的功，公式为。方式1用时 ，方式2用时，因W相同，且，故方式1的功率大于方式 2，故C正确，D错误。 故选C。 26．如图所示，一个人先后两次用同样的时间、同样大小的力，将不同质量的物体在不同的表面上分别移动相同的距离。该力在此过程中所做功的大小分别为、，功率的大小分别为、，关于它们之间的大小关系说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】功率的定义（式） 【详解】根据做功的公式 可知两次所用的力相同，移动的距离也相同，故两次做功的大小相等，即 根据功率的公式 可知两次做功的大小相同，所用的时间也相同，故两次功率的大小相等，即 故选D。 27．关于功，下列说法正确的是（　　） A．若某物体所受合力做的功不为零，则每个力做的功均不为零 B．由公式可知，功率P与力做的功W成正比，与做功时间t成反比 C．虽然功有正负，但是功是标量 D．−6J的功比4J的功大 【答案】CD 【知识点】功的定义（式）、功率的定义（式） 【详解】A．若某物体所受合力做的功不为零，可能存在某个力做功为零的情况。例如，一个力做功6J，另一个力与位移垂直（不做功），合力的功为6J≠0，但第二个力做功为零，故A错误； B．公式是平均功率的计算式，功率的实际大小由力和速度决定（P=Fv），不能简单认为P与W成正比或与t成反比，故B错误； C．功的正负仅表示做功的性质（动力或阻力），只有大小没有方向，是标量，故C正确； D．功的大小应比较其绝对值，−6J的绝对值大于4J，故D正确。 故选CD。 28．在维修汽车发动机时，用绳子捆好重力为2700N的发动机，用如图甲所示的滑轮组把汽车里的发动机提起来。当卷扬机用1000N的力拉钢丝绳，使发动机上升的距离h随时间变化的图像如图乙所示（不计绳重和摩擦）。下列选项正确的是（　　） A．卷扬机拉钢丝绳的速度0.2m/s B．动滑轮的重力为300N C．滑轮组的机械效率为80% D．卷扬机拉力的功率为200W 【答案】B 【知识点】x-t图像、功率推导式：P=Fvcosθ、力学、平衡状态的定义及条件 【详解】A．由图乙可知，当发动机上升4m时，所用时间为20s，则发动机上升的速度为 由图可知n=3，卷扬机拉钢丝绳的速度，A错误； B．因为不计绳重和摩擦，根据平衡条件得 解得，B正确； C．滑轮组的机械效率为，C错误； D．卷扬机拉力的功率为，D错误。 故选B。 29．如图所示，在摩托艇牵引下冲浪爱好者在水面上匀速滑行，冲浪板与水面的夹角为 ，冲浪板的速度v保持不变，冲浪者及冲浪板的总质量为m，牵引绳水平且质量不计，不计空气阻力及水的浮力，水对冲浪板的作用力垂直冲浪板，重力加速度为，则牵引绳的功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】功率推导式：P=Fvcosθ 【详解】设牵引绳的拉力为，水对冲浪板的作用力为，受力分析可知， 解得 故选B。 题型8 平均功率 30．小华用大小为的水平推力，在内使重的购物车在水平地面上前进了，则小华推车过程中平均功率是（　　） A． B．5W C． D． 【答案】C 【知识点】平均功率 【详解】小华推车所做的功 小华推车过程中平均功率 故选C。 31．质量m=1kg的物体，由离地面足够高的位置开始以v0=10m/s的速度做平抛运动，重力加速度为g=10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．运动1s内重力做的功为10J B．运动1s末重力的瞬时功率为W C．运动1s内重力的平均功率为100W D．运动2s末重力的瞬时功率为200W 【答案】D 【知识点】瞬时功率、平均功率、重力做功 【详解】A．运动1s内，竖直位移为 则重力做功为，故A错误； B．运动1s末，竖直分速度为 所以瞬时功率，故B错误； C．运动1s内，重力做功的平均功率为，故C错误； D．运动2s末，竖直分速度为 则瞬时功率，故D正确。 故选D。 32．如图所示，水平地面上有一个质量为的物块在水平拉力的作用下从静止开始做匀加速直线运动，前2s的位移为4m，物块与地面的动摩擦因数为0.8，重力加速度取。求： (1)水平拉力在前2s内做的功； (2)水平拉力在前2s内输出的平均功率； (3)摩擦力在2s内做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平均功率 【详解】（1）物块在前内做的功 解得 （2）水平拉力在前内的平均功率 解得 （3）摩擦力的大小为 解得 摩擦力做的功为 解得 33．一小球以一定速度从水平台面上滚落地面的过程中，经过了三个位置，它们的位置关系如图所示（忽略空气阻力）。设小球在AB段重力做功为，重力的平均功率为；在BC段重力做功为，重力的平均功率为。则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】功的定义（式）、平均功率 【详解】小球以一定速度从水平台面上滚落地面的过程中，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做加速运动，由图得，AB段与BC段小球在重力的方向上移动的距离相等，由得，； AB段小球在水平方向运动的距离大于BC段小球在水平方向运动的距离，由得AB段运动时间较长，由得，。 故选D。 题型9 瞬时功率 34．冬季北方有很多人喜欢玩冰滑梯。两个坡度不同、高度相同的冰滑梯可简化成如图所示的两个固定光滑斜面为斜面底端且位于同一水平面上，斜面的倾角。小明从点先后沿由静止下滑到底端，该过程中下列判断正确的是（　　） A．沿面下滑时重力做功比沿面下滑时多 B．沿面下滑时重力做功比沿面下滑时少 C．滑至点时重力的功率大于滑至点时重力的功率 D．滑至点时重力的功率小于滑至点时重力的功率 【答案】C 【知识点】瞬时功率、重力做功 【详解】AB．设点到所在平面的高度差为，小明的重力为，小明沿面下滑时重力做功和沿面下滑时重力做功均为，故AB错误； CD．设的长度分别为、，由牛顿第二定律，小明沿由静止下滑到底端时加速度大小分别为、 得， 小明沿由静止下滑到底端时的速度大小分别为、 , 得 小明滑至点时重力的功率 小明滑至点时重力的功率 由于， 所以 得 故C正确，D错误。 故选C。 35．绵外高中部篮球场是同学们心心向往的地方，紧靠罗马大道修建了较高的堡坎（为了安全修建成斜面如图所示）。某同学为了验证物理课堂所学平抛运动规律，周末无人时站在围栏前同时以不同的初速度水平扔出2个纸团（质量相同），忽略空气阻力（重力加速度取g）。则下列说法正确的是（　　） A．两个纸团运动时间不可能相同 B．若纸团都落在水平地面时，则纸团重力的瞬时功率相同 C．若纸团都落在水平面时，则v0越大，落地时速度方向与水平面的夹角越大 D．若纸团都落在斜面时，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小 【答案】B 【知识点】与斜面结合的平抛运动、瞬时功率 【详解】A．当两个纸团都落在水平地面时下落高度相同，则运动时间相同，故A错误； B．若两个纸团都落在水平地面上其高度h相同 ， 则纸团重力的瞬时功率相同，故B正确； D．根据平抛运动的规律，若纸团都落在斜面时速度方向与水平方向的夹角α满足 即α为定值，而落到斜面上时速度方向与斜面的夹角等于(α－θ)，也为定值，故D错误； C．若纸团都落在水平面时，v0越大，落地时速度方向与水平面的夹角越小，故C错误。 故选B。 36．如图甲所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平面上。物块在与斜面成α＝37°、大小F＝10N的拉力作用下，从底端A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝10s物块运动到B点，物块运动的图像如图乙所示。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法不正确的是（　　） A．物块的质量m＝1kg B．物块的加速度a＝1m/s2 C．A、B两点的距离x＝100m D．t＝10s时拉力的功率P＝80W 【答案】C 【知识点】牛顿运动定律与图像结合、瞬时功率 【详解】AB．图像的斜率表示物体运动的加速度，故物块沿斜面上滑的加速度为 对物块受力分析，根据牛顿第二定律可知在沿斜面方向上有Fcosα－mgsinθ－μ(mgcos θ－Fsinα)＝ma 联立解得m＝1kg，故AB正确，不符合题意； C．图像与坐标轴围成的面积表示位移，所以A、B两点间的距离为x＝(×10×10)m＝50m，故C错误，符合题意； D．在t＝10s时，速度为10m/s，故拉力的功率为，故D正确，不符合题意。 故选C。 37．如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从点运动到点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功不为 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【答案】D 【知识点】功的定义（式）、瞬时功率 【详解】A．在最初的位置，因为小球的速度为零，则重力做功的功率为零；在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零；在最低点时，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零，由此可知，重力做功的功率先增大后减小，故A错误； B．悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为，故B错误； CD．空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为，故C错误，D正确。 故选D。 38．一位同学在水平面上进行跳远训练，该同学以与水平面成37°角大小为5m/s的速度离开地面腾空（如图所示），不计空气阻力，取，该同学可视为质点，质量为60kg。则该同学到达最高点时的速度大小为 m/s，刚落地时重力的功率为 W。（，） 【答案】 4 1800 【知识点】斜抛运动、瞬时功率 【详解】[1]由题可知，该同学做斜抛运动，即竖直方向做匀变速直线运动，水平方向做匀速直线运动。在最高点时竖直方向的速度为零，则该同学到达最高点时的速度等于水平速度大小，即为 [2]该同学在竖直方向的分速度为 根据对称性可知落地时竖直方向的速度大小仍为，刚落地时重力的功率 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1功及功率（第一课时）（原卷版） 题型1 功的定义、计算式和物理意义 1 题型2 判断某个力是否做功，做何种功 3 题型3 图像法求变力做功 6 题型 4 微元法求变力做功 8 题型 5 平均力法求变力做功 10 题型 6等值法求变力做功 12 题型7 功率的定义和物理意义 15 题型8 平均功率 18 题型9 瞬时功率 21 一、功 1．做功的两个要素 (1)作用在物体上的_力__。 (2)物体在_力的方向__上发生的位移。 2．功的物理意义 功是描述_力对物体空间__的累积效应的物理量。 3．公式 W＝ Flcosα　。 (1)α是力的方向与_位移方向__之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于_恒力__做功。 4．功的正负 (1)当0≤α<时，W>0，力对物体做_正功__。 (2)当<α≤π时，W<0，力对物体做_负功__，或者说物体_克服__这个力做了功。 (3)当α＝时，W＝0，力对物体_不做功__。 二、功率 1．公式 (1)P＝，P为时间t内的_平均功率__。 (2)P＝_Fvcos_α__，α为F与v的夹角。 ①若v为平均速度，则P为_平均功率__。 ②若v为瞬时速度，则P为_瞬时功率__。 2．物理意义：描述做功的_快慢__，功率大则做功_快__，功率小则做功_慢__。 　一、恒力做功的分析和计算 1．判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求合力做的功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。 3．两个常用推论 (1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。 (2)如图所示，物体由A滑到D克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。 　二、变力做功的求解方法 1　微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。 2　图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功。 3　等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·。 4　平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx。 5　利用W＝Pt计算变力的功 当功率恒定时，利用公式W＝Pt计算功，在如图所示的P－t图像中前3 s内力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6 J。 6　功率的计算 计算功率的方法 1．平均功率的计算方法 (1)利用 ＝。 (2)利用 ＝F·cos θ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。 (2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。 (3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。 题型1 功的定义、计算式和物理意义 1．甲、乙两物体分别在斜面上与水平地面上做匀速直线运动，已知：甲乙的质量比为 3：2，甲所受平行于斜面的拉力是乙所受水平拉力的3倍，斜面倾角为 30°，甲的速度是乙的3倍。那么在同一时间内，拉力对甲、乙两物体做功之比为（　　） A．3：1 B．3：2 C．9：1 D．9：2 2．若用国际单位制基本单位的符号来表示功的单位，则正确的是（　　） A．J B．N·m C．N/m D．kg·m2/s2 3．如图所示，质量的物体，在斜向下与水平方向的夹角、大小为的力的作用下，从静止开始运动，通过的位移为，已知物体与水平面间的动摩擦因数，，，重力加速度g取，问： (1)力对物体做多少功？ (2)合力对物体做多少功？ 4．如图所示，物体沿粗糙水平面向右运动相同位移时，下列四种在力F作用下的情形中，力F做功最多的是（　　） A． B． C． D． 题型2 判断某个力是否做功，做何种功 5．如图所示，物块A置于斜面B上。现对斜面施加一水平作用力，使得A和B一起水平向左匀速运动，则下列说法中正确的是（　　） A．A所受合外力对A做正功 B．B对A的作用力不做功 C．B对A的弹力不做功 D．B对A的摩擦力不做功 6．如图所示，一辆电动汽车经过一平直路面，在匀减速向左运动，一人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止。关于人对车厢的做功情况，以下说法正确的是（　　） A．人对车厢不做功 B．人对车厢做正功 C．人对车厢做负功 D．无法确定 7．关于摩擦力的做功情况，下列说法中正确的是（　　） A．静摩擦力一定对物体不做功，滑动摩擦力一定对物体做功 B．静摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和一定为零 C．滑动摩擦力和它的反作用力对物体做功的代数和不一定为零 D．滑动摩擦力对物体做正功，它的反作用力不一定对物体做功 8．图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断正确的是（　　） A．图甲中支持力对人不做功 B．图甲中摩擦力对人做正功 C．图乙中支持力对人做正功 D．图乙中摩擦力对人做负功 题型3 图像法求变力做功 9．一小物块在水平拉力的作用下向右运动，拉力随小物块的位置坐标变化的图像如图所示，则在内，拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 10．某游乐场有一种多锤敲钉子的娱乐活动，一位游客6锤刚好把一颗钉子垂直锤进木板，假设每次锤击做功相同，且钉子所受木板阻力与深度成正比。求钉子第1次与第5次进入木板的深度之比（　　） A． B． C． D． 11．如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则力F所做的功为（　　） A．200J B．160J C．100J D．80J 12．某快递公司用无人机向山区配送急救药品。无人机载药后从卫生院平台由静止竖直起飞，其升力随高度变化规律如图所示。则从起点到升至高度为15m的过程中，升力对无人机做的总功为（　　） A．100J B．400J C．200J D．300J 题型 4 微元法求变力做功 13．石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为20N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中克服摩擦力所做的功约为（　　） A．0 B．6J C．19J D．38J 14．如图所示，小球质量为，悬线的长为，小球在位置A时悬线水平，放手后，球运动到位置B，悬线竖直，设在小球运动过程中空气阻力的大小为且不变，重力加速度为，关于该过程，重力做的功为 ；悬线的拉力做的功为 ；空气阻力做的功为 （用题中给定的物理量符号表示） 15．如图所示的装置由一半径为的半圆管与半径为的半圆管组合而成，将装置固定在水平面上，一直径略小于圆管内径的小球置于M点，该小球受到一方向始终沿轨道切线方向的外力，且保持其大小F不变，当小球由M点运动到管口的另一端N点的过程中，该外力对小球所做的功为（    ） A．0 B．FR C． D． 16．某个力F始终作用于转盘边缘的A点上。已知力F的大小保持不变，方向在任何时刻均保持与作用点的切线一致，转盘半径为r。则在转盘逆时针转动一周的过程中，力F所做的总功为（　　） A．0 B．2πrF C．πrF D．2rF 题型 5 平均力法求变力做功 17．某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为（k，已知），石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 19．一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 20．质量为的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，则物体从运动到的过程中，合外力做功为（　　） A． B． C． D． 题型 6等值法求变力做功 21．力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功，那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，    （1）甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W= ； （2）乙图中，全过程F做的总功为 ； （3）丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W= ； （4）丁图中，F始终保持水平，且为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W= 。 22．某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。 23．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 题型7 功率的定义和物理意义 24．2025年，中国用“2兆瓦”液态燃料钍基熔盐实验堆首次实现钍铀核燃料转换。其中“瓦”用国际单位制中的基本单位表示为（　　） A． B．W C． D．J/s 25．家庭装修需要将一定数量的瓷砖由一楼运送到六楼，可采用下表所示的两种方式中的一种完成。比较两种方式中，对瓷砖做功的情况，下列判断正确的是（　　） 运送方式 所需时间 方式1：利用电梯运送 10分钟 方式2：人工沿楼梯搬运 3小时 A．方式1做功多 B．方式2做功多 C．方式1功率大 D．方式2功率大 26．如图所示，一个人先后两次用同样的时间、同样大小的力，将不同质量的物体在不同的表面上分别移动相同的距离。该力在此过程中所做功的大小分别为、，功率的大小分别为、，关于它们之间的大小关系说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 27．关于功，下列说法正确的是（　　） A．若某物体所受合力做的功不为零，则每个力做的功均不为零 B．由公式可知，功率P与力做的功W成正比，与做功时间t成反比 C．虽然功有正负，但是功是标量 D．−6J的功比4J的功大 28．在维修汽车发动机时，用绳子捆好重力为2700N的发动机，用如图甲所示的滑轮组把汽车里的发动机提起来。当卷扬机用1000N的力拉钢丝绳，使发动机上升的距离h随时间变化的图像如图乙所示（不计绳重和摩擦）。下列选项正确的是（　　） A．卷扬机拉钢丝绳的速度0.2m/s B．动滑轮的重力为300N C．滑轮组的机械效率为80% D．卷扬机拉力的功率为200W 29．如图所示，在摩托艇牵引下冲浪爱好者在水面上匀速滑行，冲浪板与水面的夹角为 ，冲浪板的速度v保持不变，冲浪者及冲浪板的总质量为m，牵引绳水平且质量不计，不计空气阻力及水的浮力，水对冲浪板的作用力垂直冲浪板，重力加速度为，则牵引绳的功率为（　　） A． B． C． D． 题型8 平均功率 30．小华用大小为的水平推力，在内使重的购物车在水平地面上前进了，则小华推车过程中平均功率是（　　） A． B．5W C． D． 31．质量m=1kg的物体，由离地面足够高的位置开始以v0=10m/s的速度做平抛运动，重力加速度为g=10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．运动1s内重力做的功为10J B．运动1s末重力的瞬时功率为W C．运动1s内重力的平均功率为100W D．运动2s末重力的瞬时功率为200W 32．如图所示，水平地面上有一个质量为的物块在水平拉力的作用下从静止开始做匀加速直线运动，前2s的位移为4m，物块与地面的动摩擦因数为0.8，重力加速度取。求： (1)水平拉力在前2s内做的功； (2)水平拉力在前2s内输出的平均功率； (3)摩擦力在2s内做的功。 33．一小球以一定速度从水平台面上滚落地面的过程中，经过了三个位置，它们的位置关系如图所示（忽略空气阻力）。设小球在AB段重力做功为，重力的平均功率为；在BC段重力做功为，重力的平均功率为。则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 题型9 瞬时功率 34．冬季北方有很多人喜欢玩冰滑梯。两个坡度不同、高度相同的冰滑梯可简化成如图所示的两个固定光滑斜面为斜面底端且位于同一水平面上，斜面的倾角。小明从点先后沿由静止下滑到底端，该过程中下列判断正确的是（　　） A．沿面下滑时重力做功比沿面下滑时多 B．沿面下滑时重力做功比沿面下滑时少 C．滑至点时重力的功率大于滑至点时重力的功率 D．滑至点时重力的功率小于滑至点时重力的功率 35．绵外高中部篮球场是同学们心心向往的地方，紧靠罗马大道修建了较高的堡坎（为了安全修建成斜面如图所示）。某同学为了验证物理课堂所学平抛运动规律，周末无人时站在围栏前同时以不同的初速度水平扔出2个纸团（质量相同），忽略空气阻力（重力加速度取g）。则下列说法正确的是（　　） A．两个纸团运动时间不可能相同 B．若纸团都落在水平地面时，则纸团重力的瞬时功率相同 C．若纸团都落在水平面时，则v0越大，落地时速度方向与水平面的夹角越大 D．若纸团都落在斜面时，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小 36．如图甲所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平面上。物块在与斜面成α＝37°、大小F＝10N的拉力作用下，从底端A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝10s物块运动到B点，物块运动的图像如图乙所示。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法不正确的是（　　） A．物块的质量m＝1kg B．物块的加速度a＝1m/s2 C．A、B两点的距离x＝100m D．t＝10s时拉力的功率P＝80W 37．如图所示，摆球质量为，悬线长度为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从点运动到点的过程中空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力的瞬时功率在不断增大 B．悬线的拉力做功不为 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 38．一位同学在水平面上进行跳远训练，该同学以与水平面成37°角大小为5m/s的速度离开地面腾空（如图所示），不计空气阻力，取，该同学可视为质点，质量为60kg。则该同学到达最高点时的速度大小为 m/s，刚落地时重力的功率为 W。（，） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $