第3章 第15节 二次函数的图象与性质-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

母题变式练考点 第15节二次函数的图象与性质 1C2A【变式A304B5y= 核心知识全梳理 6.解：(1)点B的坐标为(4，-2).【解法提示】如解图，过A ①上@下=名④（会，产）⑤小0大 2a 作AE⊥y轴于E,过B作BF⊥x轴于F,则∠AEO=∠BFO ⑦减小⑧增大⑨左侧①右侧①>0②<0B=0 =90°.：A(2,4),∴.AE=2,0E=4.由旋转的性质，得0A= OB,∠AOB=90°，∴.∠AOE=∠B0F.在△AOE和△B0F 2名0西异号c-0c<0国6-4a<0 I∠AOE=∠BOF, 即时自测 中，了∠AE0=∠BFO,.△AOE≌△BOF(AAS),∴BF=AE 1.(1)下：x=1;(0,3);大；大；4；(1,4)(2)增大；3 OA=OB. 2.①②③④⑤⑧ =2,0F=0E=4,∴.点B的坐标为(4，-2) 3.(1)x1=-1,2=3(2)x1=-1,x2=3 母题变式练考点 1.D2.<;<【变式】y2>y1>y 3.解：(1)：二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)， 2a 对称轴为直线x= =-1. 2a H B (2)a<0, (2)设C(a,b).过C作CG⊥EA交EA的延长线于G,过B 作BH⊥GC交GC的延长线于H. ·.二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x=-1, .当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=a-2a+a2+2= I∠ACG=∠BCH, a2-a+2. 在△ACG和△BCH中， ∠G=∠H, ·当-2≤x≤1时，函数的最大值为4. AC=BC. .∴.a2-a+2=4,解得a1=-1,a,=2(不合题意，舍去) ∴.△ACG≌△BCH(AAS),∴.AG=BH,CG=CH, ∴.a=-1. a-2=4-a,4-b=b+2,a=3,b=1,C(3,1) 4.D5.C :双曲线的函数解析式为y=”(m≠0)，且点C在双曲线 6.（1)x1=-3,x2=0(2)2(3)①y=x+3②x1=-3,x2=1 【拓展设问】-3<x<1 上1= 3m=3, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 3 核心知识全梳理 ∴.双曲线的函数解析式为y=- ①不变②相反③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m 设直线AB的函数解析式为y=x+b'. ⑤a2+bx+c-m 起04，s4-2》代2年 即时自测 (-2=4k+b' 1.y=x2+22.y=3(x+2)2-1 .直线AB的函数解析式为y=-3x+10. 3.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度（答 1A8D94≤1≤0 53 案不唯一) 母题变式练考点 第14节反比例函数综合 1.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+9, ①之1②11③1④211⑤2I1⑥k1-k1 把(0，-8)代入解析式，得a+9=-8,解得a=-17, ..二次函数的解析式为y=-17(x+1)2+9=-17x2-34x-8. 1.-62.B3.84.C (2)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为 例1B;>;<;>;> (-2,0), 例22；一、二、三；一、三；2x2+2x-5=0:>;两个不相等；2 .抛物线与x轴的另一个交点为(4,0) 例3-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1;<;>;<;>;-3<x<0或x 设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4), >1;x<-3或0<x<1 5.b<-2或b>2 把(0,12)代入解折式，得-8a=12,解得a=, 6.(1)5:(0.-5) (2②)解：反比例函数的解析式为y是(x>0)。 二次函数的解折式为y=之(x+24)=子+3+12 (3)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-5, 一次函数的解析式为y=2x-5. 5 把(0,0)代入解析式，得4a-5=0,解得a= (3)由题意得0<x<4. 4 (4)解：设点M的坐标为(m,12),其中m>0. 5 m 二次函数的解折式为y子(x-2)-5-5x S△M0B=1 0Bm=5,0B=55= 5m, (4)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x+3), 根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=-2. ∴.m=2,∴.点M的坐标为(2,6). 函数有最小值-5，顶点坐标为(-2，-5)， 代入解析式，得-a=-5,解得a=5. 当移动距离x的取值范围为5<x≤7时，三角形重叠部分是 .二次函数的解析式为y=5(x+1)(x+3)=5x2+20x+15. 等边三角形，底边为2-(x-5)=7-x,底边上对应的高为 (5)当x=2时，函数的最大值是1， 顶点坐标为(2,1)，抛物线的对称轴为直线x=2 7-1- 函数图象与x轴两个交点之间的距离为2， 综上所述，y与x之间的函数关系式为y= .交点坐标分别为(1,0)，(3,0 设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3), 5,(0≤x≤2) 把(2,1)代入，得-a=1,解得a=-1. V5,(2<x≤5) .二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 2.A3.D4.C 4(7-x)只.(5<≤7) 第17节二次函数的综合应用 第四章三角形 35 1. 第18节线段、角、相交线与平行线 2.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 核心知识全梳理 ∴.y=x(40-2x)=-2x2+40x, 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x(0<x<20): ①两2线段③Bc④Bc⑤4B⑥ ⑦一⑧垂线段 (2)由(1)得y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200. ⑨垂线段的长度090°①90°<a<180°②180°B360 -2<0,.当x=10时，y取得最大值，最大值为200. ④14524090°⑦相等⑧180°9相等②@相等 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积为 @相等2相等②∠2或∠4②④∠1或∠3雪180° 200m2. 四∠3②⑦L4四相等9∠5团L6①∠72∠8 3.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100) 3L8④∠55∠50∠8⑦垂直8相等9垂直平 (2)W=-10x2+200x+15000 分线⑩一①∥2相等④3L2④相等5∠3 (3)10:16000 ④0互补④⑦180°⑧距离9相等 （4解：由题意，得10%≤150-100-≤30%. 即时自测 100 1.两点确定一条直线2.5 解得20≤x≤40. 3.(1)50(2)20(3)2 由(2)知，W=-10x+200x+15000=-10(x-10)2+16000. 4.(1)∠2：∠5(2)∠5：∠7(3)A :-10<0,.当x=20时，W取得最大值15000. 5.(1)⊥：=(2)=6.①③⑤6：⑤ 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大 母题变式练考点 利润为15000元. 1.A【变式】两点之间，线段最短 4.解：(1)：正方形纸片ABCD的边长为4,4个直角三角形 2.2或43.C 全等， 4.(1)锐角(2)42.7：85.4(3)3(4)①②③④ ∴.AB=AD=BC=CD=4,AE=DH=x,BE=AH=4-x,∠A= 5.D6.C ∠D=90°.EH=HG=FG=EF,∠AEH=∠GHD. 7.C ∠AEH+∠AHE=90°，.∠AHE+∠GHD=90°， ∴.∠EHG=90°，.四边形EFGH是正方形， 【变式】互为补角的两个角有公共顶点且有一条公共边；假 .y=AE2+A㎡=x2+(4-x)2=2x2-8x+16. 第19节三角形及其基本性质 (2)当y=10时，即2x2-8x+16=10, 核心知识全梳理 解得x=1或x=3, ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 .当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. ⑧B⑨大于⑩<①大角②90°B内部@直角 (3)四边形EFGH的面积存在最小值. ⑤内部西外部⑩内部⑧】⑩】④}@相等 由(2)得y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8. 2 2>0..当x=2时，y有最小值，最小值为8， ②中点8EF87 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 5.C6.B【变式1】B 即时自测 【变式2】解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三角 1.C2.D3.D4.3 形重叠部分是等边三角形，底边为x,底边上对应的高为 母题变式练考点 2x, 1.B2.6(答案不唯一)3.(1)30°(2)直角三角形 4.B5.(1)①4②8(2)①12°②5：3③3 6.(1)高；6(2)角平分线①65°②15③110° 当移动距离x的取值范围为2<x≤5时，三角形重叠部分是 (3)中线①12②22 △A'B'C',底边为2，底边上对应的高为3， 第20节等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 y=×2x5=5 ①相等②相等③∠C④1⑤相等⑥相等⑦60第15节二次函数的图象与性质 核心知识全梳理 知识点1二次函数的图象与性质(2025.22,2024.25,2023.24涉及) 即时自测 1.(人教九上P41T7改编)已知 概念 形如y=a2+bx+c(a,b,c是常数项，且a≠0)的函数 抛物线y=-x2+2x+3. 开口方向 a>0,开口向① a<0,开口向② (1)该抛物线开口向 对称轴是直线 ,与y 轴的交点坐标是 ,有 大致图象 最 (填“大”或“小”) (抛物线) 值，最 值为 顶点坐标为 对称轴 直线③ (2)当x≤0时，y随x的增大 而 ,最大值为 顶点坐标 ④ 最值 在对称轴处，y取得最 在对称轴处，y取得最 ⑤ 值 ⑥ 值 在对称轴左侧，y随x的增 在对称轴⑨ ,y随 增减性 大而⑦ x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增 在对称轴⑩ ,y随 大而⑧ x的增大而减小 知识点2二次函数图象与系数的关系(2024.25涉及) 即时自测 2.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 开口向上台>a① ;开口向下→a② 开口方向 【拓展】Ial越大，开口越小；Ial相同，说明抛物线的开 0)与：轴负半轴交于点( (由a决定) 口大小相同： 0),对称轴为直线x=1,则以 抛物线y=ax2和y=-ax2(a≠0)关于x轴对称 下结论中正确的是 (填序号) 称轴在y轴左侧台，0（即a,6同号 对称轴 (由a, 对特植足于轴台0（中旭】 b决定) 对称轴在y轴右侧台④ (即a,b⑤ 简记：左同右异 ①a>0:②a-b+c>0:③4a+2b+ 与y轴的交点与y轴正半轴相交→>0：过原点一⑥ c<0:④2a-b>0:⑤c<0:⑥b2< (由c决定) 与y轴负半轴相交台⑩ 4ac;⑦3a+c=0:⑧-元二次方 程ax2+bx+c-3=0有实数根； 与x轴的 与x轴有两个交点→b2-4ac>0: ⑨abc<0. 交点个数 与x轴有一个交点b2-4c=0,顶点在x轴上； 与x轴无交点台⑧ 看到2a+b,比较-6和 石到2a-6,比较之和-1的 1的大小 大小 其他特 殊关系 看到a+b+c,找当x=1 看到a-b+c,找当x=-1时，y 时，y的值 的值 看到4a+2b+c,找当 看到4a-2b+c,找当x=-2时， x=2时，y的值 y的值 44 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系(2024.18涉及) 即时自测 抛物线y=ax2+bx+c与直线的交点问题可转化为一元二次方程的解的 3.(人教九上P47T5改编)观察 问题： 下列函数图象填空： (1)抛物线与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况； (1)如图1，方程x2-2x-3=0 (2)抛物线与直线y=t的位置关系台一元二次方程ax2+bx+c=t的解的 的解为 (2)如图2，方程x2-2x=3的 情况； 解为 (3)抛物线与直线y=kx+m的位置关系曰一元二次方程ax2+bx+c=kc+m 的解的情况 y↑y=x2-2x-3 y1y=x2-2 图1 图2 母题变式练考点 考点1二次函数的图象与性质 1.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为(-1,4)， 则下列说法正确的是 (-1,4) -3 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2.若抛物线y=-x2+2x+3经过点(-2，a)和(-1，b),则a b:若抛物线经过点(-3，m)和(4， n),则m n.（填“>”“<”或“=”) 变式已知点A(-6,y),B(1,y2),C(6,y)在抛物线y=-(x+2)2+1上，则y1y2,y3的大小关系 是 .（用“>”连接) 方法总结”三次函数值大小比较的常见方法 (1)代入法：将所求，点的横（或纵）坐标代入解析式，求出对应的纵（或横）坐标，并进行大小比较； (2)函数增减性法：根据抛物线的对称性，将，点坐标转化到对称轴的同侧，根据增减性比较大小； (3)距离比较法：根据，点的横坐标计算各点到对称轴的距离，当α>0时，抛物线上的点距离对称轴越 近，函数值越小；当a<0时，抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小 45 3.(2025崇左二模)课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)展开探究. (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若a<0,当-2≤x≤1时，函数的最大值为4，求实数a的值. 知识拓展解决二次函数的最值问题时，通常会用到分类讨论思想， (1)若自变量的取值范围未限定，则在对称轴处取得最值，此时需要由二次项系数α的符号来确定是最 大值还是最小值：若α的符号未知，则需要分类讨论：①二次项系数大于0：②二次项系数小于0. (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围或二次函数解析式中含有参数，通常需要分类讨 论：①自变量的取值范围全部落在对称轴的左侧：②自变量的取值范围全部落在对称轴的右侧：③对称 轴在自变量的取值范围内. 以二次函数y=ax+b+c(a>0),自变量的取值范围为x,≤x≤x,为例： 对称轴与自变 对称轴在x,≤x≤ 对称轴在x,≤x≤x,内 对称轴在无，≤x≤x, 量范围的关系x,右侧 离x,近 离x,近 左侧 x1x2/ 图示 x-2 -2a x=-2d 2a x=x,时，y最大： x=x2时，y最大； x=x1时，y最大 x=x2时，y最大；x=x 结论 x=x,时，y最小 = b时，y最小 2 x=- 时，y最小 2a 时，y最小 46 考点2二次函数图象与系数的关系 4.(2022北部湾)已知反比例函数y=二(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx-a(c≠0)和二次 函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 中都 5.（2022梧州)如图，已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=-1,直线l∥x轴，且交抛物线于点 P(x1y1),Q(x2,y2),则下列结论错误的是 A.b2>-8a B.若实数m≠-1，则a-b<am2+bm C.3a-2>0 D.当y>-2时，x1x2<0 考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系 6.如图，已知二次函数y=x2+bx的图象与x轴交于点A(-3,0)和原点. (1)方程x2+bx=0的解为 (2)若t>0,则关于x的方程x2+bx=t的根的个数为 (3)如图，若一次函数y=x+a和该二次函数的图象交于点A(-3,0)和点B. ①经过点A,B的直线的解析式为 ②方程x2+bx-x-a=0的解为 【拓展设问】关于x的不等式x+a>x2+bx的解集是 47