第3章 第12节 一次函数的实际应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

第12节一次函数的实际应用 类型1行程问题 1.(2022桂林)桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观【技巧点拨】行程问题的关 光.现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往键是分析判断函数图象，根 某个旅游景点.行驶过程中，甲大巴因故停留一段时间后继续驶向据题意求函数关系式，注意 景点，乙大巴全程匀速驶向景点.两辆大巴的行程s(k)随时间是否需要分类、分段讨论 t(h)变化的图象（全程）如图所示.依据图中信息，下列说法错误的 是 s/km 100 甲大巴— 68 乙大巴- 30 00.511.5t/h A.甲大巴比乙大巴先到达景点 B.甲大巴中途停留了0.5h C.甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴 D.甲大巴停留前的平均速度是60km/h 2.贝贝、欢欢利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个小飞机，甲、乙 两个小飞机分别从地面和距地面10m高处同时出发，匀速上升. 如图是甲、乙两个小飞机所在位置的高度y(单位：m)与飞机上升 时间x(单位：分)的函数图象， (1)求甲、乙两个小飞机在上升过程中y关于x的函数解析式； (2)当甲、乙两个小飞机的高度相差5m时，求飞机上升的时间. 个y/m 甲 20 20 x/分 34 类型2销售、费用问题 3.某商场同时购进甲乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为【审题】 60元/件，售价为80元/件@；乙商品的进价为90元/件，售价为120 ②→甲商品每件的利润为 元/件③·设购进甲商品x件④，商场售完这100件商品的总利润为 元 y元 ③→乙商品每件的利润为 (1)写出y与x的函数关系式； 元 ①④→购进乙商品 件 ⑤→总利润=甲商品每件的利 润×甲商品的件数+乙商品每 件的利润×乙商品的件数 ⑥→成本=甲商品每件的进 价×甲商品的件数+乙商品每件 的进价×乙商品的件数≤8400 ⑦→(1)中y的最大值，利用 函数的增减性求解 (2)该商场计划最多投入8400元购买6甲、乙两种商品，若销售完 这些商品，则商场可获得的最大利润。是多少元？ 4.【最优方案问题】有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同， 在生长旺季，两家均推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：采摘 的草莓不超过4kg时，按原价销售；若超过4kg,超过部分6折优 惠.乙采摘园的优惠方案是：游客进园需购买20元门票，采摘的草 莓直接降价出售.已知在甲采摘园、乙采摘园采摘草莓14kg时，所 需费用相同. 在乙采摘园所需费用yz(元)与草莓采摘量x(千克)满足一次函数 关系，如下表： 采摘量x/千克 0.5 1.5 2 费用yz/元 Y2 50 60 35 (1)求yz与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； 【技巧点拨】 在解决最优方案问题时， (1)若给定y值，比较哪个方 案可以得到的量更多，直接将 y值分别代入两个解析式，比 较x值的大小；（如第3问） (2)若给定x值，比较哪个方 案更划算（或优惠或省钱或花 (2)求两个采摘园的草莓在生长旺季的销售价格，并求在甲采摘园所需 费最少)，直接将x值分别代 费用y(元)与草莓采摘量x(千克)的函数关系式(x>4); 入两个解析式，比较y值的大 小；（如变式设问1） (3)当x,y的值均未给定，求 解哪个方案更划算时，分别令 y1=Y2,>y2,y1<y2,并计算出 x的值或取值范围，再根据结 果选取方案.（如变式设问2) (3)若小南准备花费200元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多的 草莓？说明理由. 变式设问1若小南准备采摘5千克草莓，去哪个园采摘更划算？ 变式设问2当草莓的采摘量x超过4千克时，去哪个园采摘更划算？ 36 类型3跨学科问题（2023.25) 5.（人教八下P99T3改编)一种弹簧秤最大能挂不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为 12cm,每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm,在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体 的质量x(kg)之间的函数关系式为 () A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x C.y=10+0.5x D.y=0.5x 6.(2023广西25题改编)【综合与实践】我国传统的计重工具是杆秤，方便了人们的生活，可以用秤 砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量（如图1）.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的 水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂重物为y(千克)，则y是x的一次函数 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据. x/厘米 1 2 4 7 11 12 y/千克 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 【探索发现】 (1)在上表的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2的平面直角坐标系中，通过描点法，观察 判断哪一对数据是错误的； (2)求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 (3)已知秤杆上秤砣到秤纽的最大水平距离为25厘米，现有8千克的重物，该秤是否能一次性称 出此物体的质量？请说明理由. y/千克 秤杆 秤纽 秤钩 秤砣 24681012x/厘米 图1 图2 37第8节一元二次方程及其应用 当k2-120=0,即k=±2√30时，方程有两个相等的实数根 核心知识全梳理 7.(1)3200(1-x)2=1600(2)1+x+x(1+x)=121 ①1②2③a≠0④-元一次⑤-元二次⑥-n±F (3)*(x,D=36(4)x[120-0.5(x-60)]=8800 ⑦-b±V6-4ac 2 ⑧a⑨b⑩不相等①相等②没有 8.(1)2x;(20+2x):(40-x) 2a (2)解：根据题意.得(40-x)(20+2x)=1200. -bC52x,x0(x,+x)2-4x1, 花t, 整理，得x2-30x+200=0, x1x2 解得x1=10,2=20. Ba(1+x)2=69a(1-x)2=b@a(1+x）2@nm- 2 .·要扩大销售量，尽快减少库存，.x=20 答：每件童装应降价20元 2n(n-1)3花·b②④(a-2x)(b-2x）5(a-x)(b-x) 9.解：(1)由题意，得S=x(34-3x+2)=-3x2+36x ②0(a-x)(b-x) 即S关于x的关系式是S=-3x2+36x. 即时自测 (2)不可以，理由如下： 1.是不是2.3-2-1 由题意，得-3x2+36x=160 即3x2-36x+160=0. -4±√64 3.(1)4;16;x+2;16;x1=2,x2=-6;1:4;-12;64; 4=b2-4ac=(-36)2-4×3×160=-624<0. 2×1 原方程无实数解， -2±4：x1=2,x2=-6. 两个鸡场的面积和不能等于160m2. 4.(1)k<3且k≠0(2)k>3(3)6:3 第9节一次不等式（组）及其应用 5.2.8(1+x)2=46.x(x-1)=870 母题变式练考点 核心知识全梳理 ①>②>③>④<⑤<⑥实心圆点⑦空心圆圈 1.(1)m≠-1(2)-1(3)x;1:-3x:-3:2 ⑧左⑨右①公共部分①x≥b2x<aBa≤x<b 【变式】-2 ④无解5≥0≤7≥8≤ 2.-2 3.解：配方法： 即时自测 由原方程得x2-6x+9=-8+9, 1.④6 即(x-3)2=1, 2.解：2x+3<1 2x<1-3, 解得x1=2,x2=4. 2x<-2. 公式法： a=1,b=-6,c=8, x<-1. 在数轴上表示略。 4=-4ac=40,x=6±4 3.x≥1：x<2;解集在数轴上表示如下： 2 解得x1=2,2=4. 因式分解法： 1013 1≤x<2 原方程可以转化为(x-2)(x-4)=0, 4.10x+(2x-1)≤35 即x-2=0或x-4=0 解得x1=2,x2=4. 母题变式练考点 1.A2.C3.x<-2 4.解：(1)x,=2+5,x2=2-5. 4.解：3(x-2)>2(7-x), (2)4,= 3 4 3x-6>14-2x, 41 3x+2x>14+6」 3-5 (3)x,=3+5 5x>20, 2 x>4. (4)x1=3,=2 1 解集在数轴上表示如下： 3 5.(1)①2：-3②5；-2 (2)2 -4-3-2-1012345 5.(1)-2≤x<1:-3 6.解：(1)将x=2代人方程，得20+2k-6=0 (2)解集在数轴上表示如下： 解得k=-7. 由k=-7,得原方程为5x2-7x-6=0, -3-2-10123 解得x1=2,2= 3 (3)(i)a≥1(ii)-2<a≤-1 5 6.解：(1)购买的甲种树苗的单价为60元，乙种树苗的单价 3 即它的另一个根为-了，k的值为-7， 为100元. (2)设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500-a)棵， (2)由题意得b2-4ac=k2+4×5×6=k2+120>0 160a+100(500-a)≤42000， 则方程有两个不相等的实数根 可列不等式组为 1 500-a≥ (3)由题意得b2-4ac=k2-4×5×6=k2-120. 4a. 解得200≤a≤400. 答：甲种树苗数量的取值范围是200≤a≤400(a取整数)， 则1x-(2x+10)1=5,解得x=10或x=30. 7.解：根据题意，得 故当甲、乙两个小飞机的高度相差5m时，飞机上升的时 若得到的两位数比原来的两位数大，则10b+a<10a+b, 间为10分或30分. .9b<9a,∴.b<a,即a>b. 3.审题：(80-60)：(120-90)：(100-x) 若得到的两位数比原来的两位数小，则10b+a>10a+b, 解：(1)根据题意，得y=(80-60)x+(120-90)(100-x)= ∴.9b>9a,∴.b>a,即a<b -10x+3000,.y与x的函数关系式为y=-10x+3000. 若得到的两位数等于原来的两位数，则10b+a=10a+b, (2):商场计划最多投人8400元购买甲、乙两种商品， .9b=9a,即a=b. .60x+90(100-x)≤8400，解得x≥20. 第三章函数 在y=-10x+3000中，y随x的增大而减小 第10节平面直角坐标系与函数 当x=20时，y取最大值，最大值为-10×20+3000= 2800. 核心知识全梳理 ①四②三③-④=⑤=⑥=⑦=⑧y1⑨-y2 .商场可获得的最大利润是2800元. ⑩纵①横2(a-c,b)B(a+c,b)④(a,b+c）5(a,b-c） 4.解：(1)yz=20x+20. (2)设草莓在生长旺季的销售价格为a元/千克. G(a,-b)⑦(-a,b)(-a,-b)9(b,-a）@(-b,a) 依题意，得4a+0.6×(14-4)a=20×14+20, @(-a,-b)2√+y31x-x1l④ly-y,I5唯一 解得a=30. 0≥1⑦>1 即两个采摘园的草莓在生长旺季的销售价格为30元/千克， 即时自测 .ym=30×4+0.6×30(x-4)=18x+48(x>4). 1.(1)四(2)①2；②1：③m<1(3)72.A (3)去乙采摘园采摘可以得到更多的草莓.理由如下： 3.(1)(-1,6)(2)(2,4)4.5;12:13 当y2=200时，有200=20x+20,解得x=9: 5.5x,x和y6.(1)x≠2(2)x≤7 当y甲=200时，：200>4×30， 母题变式练考点 1.C【变式设问】(15,10) 六200=18x+48,解得x=76 9 2.(1)(3,2):(-3,-2):(3,-2) 976 (2)(-6,2):(-3,-2):1:上：2 >)去乙采摘园采摘可以得到更多的草莓 (3)(-2,-3):(2,3):(3,-2) 【变式设问1】当x=5时，ym=18×5+48=138,yz=20×5+ (4)(1,2):(-3,4) 20=120. 3.(1)4:3:5(2)√29(3)①1m-31②(-2,4)或(8,4) ·138>120,.去乙采摘园采摘更划算 4.x≥-1且x≠05.D6.A7.B 【变式设问2】由题意可知，当y甲=yz时，x=14; 第11节一次函数的图象与性质 令ym>y2,即18x+48>20x+20,解得x<14; 令ym<yz,即18.x+48<20x+20,解得x>14. 核心知识全梳理 综上所述，当4<x<14时，去乙采摘园采摘更划算：当x=14 ①一、二、三②一、三③一、三、四④一、二、四 时，去两个采摘园采摘一样划算；当x>14时，去甲采摘园 ⑤二、四⑥二、三、四⑦增大⑧减小⑨正半轴 采摘更划算 国原点①负半轴®三，四B(0.6)4(冬，0) 5.B 6.解：(1)图象如解图. 5+mG-m⑦+mB-m9x②0y=k(-x)+b 2y=-kx+b 2x,y 2-y=h(-x)+b 2y=hx-b 4/千克 即时自测 1.(1)0(2)A2.y=2x-3 3(1)y,t(2)y=2-14.D 母题变式练考点 0 24681012x/厘米 1.(1)0(2)k<0,b<0(3)<:>(4)-2:-6 根据图象可知，x=7,y=2.75这对数据是错误的. (5)(-3,0);(0,-6) (2)y=0.25x+0.5. 2.b>a>c3.D (3)不能一次性称出此物体的质量，理由如下： 4.(1)4(2)1(3)y=x+3(4)y=x-1(5)y=x+5 当x=25时，y=0.25x+0.5=6.75 (6)y=x+2(7)y=-x-3 6.75千克<8千克 5(1)x=3;x=1(2)红=1， (3)x≤1(4)3 .不能一次性称出此物体的质量， (y=-1.5 第13节反比例函数及其应用 第12节一次函数的实际应用 核心知识全梳理 1.C ①k②>③<④一、三⑤二、四⑥减小⑦增大 2.解：(1)甲飞机的函数解析式为y=x ⑧原点 乙飞机的函数解析式为y=2+10, 即时自测 (2)当这两个小飞机的高度相差5m时， 1D2y=23y=44124 R