20.2 第1课时 勾股定理的逆定理-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（人教版2024）

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过回顾勾股定理内容及计算实例，结合古埃及人、大禹治水的历史情境，引导学生从“角的关系判定直角三角形”过渡到“边的关系判定”，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以历史案例和动手探究培养数学眼光，通过构造辅助三角形严谨证明逆定理发展数学思维，多样化例题（如比例关系、配方求边、几何应用）强化数学语言表达。学生能直观理解判定方法，教师可高效开展探究式教学，提升课堂互动与知识应用能力。

勾股定理 第二十章 数学 人教版 八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定 理的概念、关系及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点） 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 2 B C A 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. b c a 问题2 求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c=5 c=6.5 c=8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？ 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 4 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 6 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵32+42=52，∴满足. a2+b2=c2 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 　求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ 证一证: 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形. 则 A C a B b c 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠C是直角. (2) a=13 ，b=14 ，c=15. (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状. 解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0), ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2, ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 归纳 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1, c= ，试说明△ABC是直角三角形. 解：∵a+b=4,ab=1, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又∵c2=14, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形. 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） (2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3.若△ABC的三边a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________. 等腰三角形或直角三角形 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 像8，15，17这样，能够成为直角三角形 三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 二 概念学习 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 21 3.已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状是 ________________． 等腰直角三角形 4.(1)一个三角形的三边长分别为15cm，20cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm; 12 (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________． 有两个角相等的三角形是等腰三角形 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 5.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是， 哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC为直角三角形，边AC所对的角是直角. 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是 否是直角三角形. 如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 课堂小结 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 谢谢 ! 谢谢聆听 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） $