专题09因式分解（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09因式分解 【题型01 判断是否是因式分解】....................................3 【题型02 已知因式分解的结果求参数】..............................3 【题型03 公因式】................................................4 【题型04 提公因式法分解因式】....................................4 【题型05 公式法的适用判断】......................................5 【题型06 平方差公式分解因式】....................................5 【题型07 完全平方公式分解因式】..................................6 【题型08 综合运用公式法分解因式】................................6 【题型09 提公因式与公式法综合】..................................6 【题型10 实数范围内分解因式】....................................7 【题型11 因式分解在有理数简算中的应用】..........................7 【题型12 十字相乘法】............................................7 【题型13 分组分解法】............................................7 【题型14 因式分解的应用】........................................8 【解答题4题】....................................................8 ★知识梳理★ 知识点01:核心概念（必背） 1. 因式分解定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 关键特征： 对象：多项式（单项式无需分解）。 结果：整式的积（无加减运算，每个因式都是整式）。 性质：恒等变形，与整式乘法互为逆运算（如：x2−4=(x+2)(x−2) 是因式分解；(x+2)(x−2)=x2−4 是整式乘法）。 易错点：分解必须彻底（每个因式在有理数范围内不能再分解）。 2. 公因式 多项式各项都含有的公共因式，确定方法： 定系数：取各项系数的最大公约数。 定字母：取各项相同的字母（或多项式）。 定指数：取相同字母的最低次幂。 知识点02:核心方法（必考，优先级：一提、二套、三查） 方法 1：提公因式法（最基础、优先用） 原理：逆用乘法分配律：ma+mb+mc=m(a+b+c)。 步骤： 1.找全公因式（系数 + 字母 + 指数）。 2.提公因式，剩余部分写在括号内（注意变号）。 3.检查是否分解彻底。 方法 2：公式法（两大核心公式） （1）平方差公式（二项式专用） 公式：a2−b2=(a+b)(a−b)。 适用特征： 二项式，两项符号相反。 每一项都能写成整式的平方。 (2）完全平方公式（三项式专用） 公式： 完全平方和：a2+2ab+b2=(a+b)2。 完全平方差：a2−2ab+b2=(a−b)2。 适用特征： 三项式。 两项为平方项（同号），第三项为两底数乘积的 2 倍（可正可负）。 知识点03:因式分解的一般步骤（口诀） 一提：先看是否有公因式，优先提取（含负号）。 二套：无公因式时，看项数套公式： 二项式→平方差公式。 三项式→完全平方公式。 三查：检查每个因式是否分解彻底（不能再分） 知识点04:核心题型（高频考点） 1.判断是否为因式分解（概念辨析）。 2.直接提公因式分解（基础题）。 3.直接套用公式分解（平方差、完全平方）。 4.先提公因式再套公式（综合题，最常考）。 5.化简求值：先因式分解，再代入计算（简化运算）。 6.整体换元法：将多项式看作整体（如 (a+b)）套用公式。 【题型1.判断是否是因式分解】 【典例】因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 【跟踪专练1】下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【跟踪专练3】下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若是多项式的一个因式，则m的值为 ． 【跟踪专练1】将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【跟踪专练2】多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【跟踪专练3】因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【题型3.公因式】 【典例】多项式的公因式是 ． 【跟踪专练1】下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【跟踪专练3】下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【跟踪专练1】把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分解因式： ． 【跟踪专练3】把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【题型5.公式法的适用判断】 【典例】下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【跟踪专练2】下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】把因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解： ． 【跟踪专练3】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为 ． 【跟踪专练3】若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【题型8.综合运用公式法分解因式】 【典例】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将多项式进行因式分解： ． 【跟踪专练2】设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（    ） A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法确定 【跟踪专练3】在实数范围内因式分解： ． 【题型9.提公因式与公式法综合】 【典例】因式分解： ． 【跟踪专练1】把多项式因式分解结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解： ． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10.实数范围内分解因式】 【典例】因式分解： ． 【跟踪专练1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式： ． 【跟踪专练3】在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【题型11.因式分解在有理数简算中的应用】 【典例】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【跟踪专练1】利用因式分解计算： ． 【跟踪专练2】利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【跟踪专练3】计算： ． 【题型12.十字相乘法】 【典例】因式分解： ． 【跟踪专练1】若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【跟踪专练2】因式分解： ． 【跟踪专练3】若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【题型13.分组分解法】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分解因式： ． 【跟踪专练3】的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【题型14.因式分解的应用】 【典例】若，则的值为 ． 【跟踪专练1】若，，则的值为（    ） A．6 B．24 C．30 D．150 【跟踪专练2】已知m，n均为正整数且满足，则的最小值为 ． 【跟踪专练3】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 解答题 1．已知整式，整式，若可以分解为，求． 2．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 3．（1）因式分解：． （2）解方程：． 4.运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09因式分解 【题型01 判断是否是因式分解】....................................3 【题型02 已知因式分解的结果求参数】..............................5 【题型03 公因式】................................................7 【题型04 提公因式法分解因式】....................................8 【题型05 公式法的适用判断】.....................................10 【题型06 平方差公式分解因式】...................................12 【题型07 完全平方公式分解因式】.................................14 【题型08 综合运用公式法分解因式】...............................16 【题型09 提公因式与公式法综合】.................................18 【题型10 实数范围内分解因式】...................................19 【题型11 因式分解在有理数简算中的应用】..........................21 【题型12 十字相乘法】............................................23 【题型13 分组分解法】............................................24 【题型14 因式分解的应用】........................................26 【解答题4题】....................................................28 ★知识梳理★ 知识点01:核心概念（必背） 1. 因式分解定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 关键特征： 对象：多项式（单项式无需分解）。 结果：整式的积（无加减运算，每个因式都是整式）。 性质：恒等变形，与整式乘法互为逆运算（如：x2−4=(x+2)(x−2) 是因式分解；(x+2)(x−2)=x2−4 是整式乘法）。 易错点：分解必须彻底（每个因式在有理数范围内不能再分解）。 2. 公因式 多项式各项都含有的公共因式，确定方法： 定系数：取各项系数的最大公约数。 定字母：取各项相同的字母（或多项式）。 定指数：取相同字母的最低次幂。 知识点02:核心方法（必考，优先级：一提、二套、三查） 方法 1：提公因式法（最基础、优先用） 原理：逆用乘法分配律：ma+mb+mc=m(a+b+c)。 步骤： 1.找全公因式（系数 + 字母 + 指数）。 2.提公因式，剩余部分写在括号内（注意变号）。 3.检查是否分解彻底。 方法 2：公式法（两大核心公式） （1）平方差公式（二项式专用） 公式：a2−b2=(a+b)(a−b)。 适用特征： 二项式，两项符号相反。 每一项都能写成整式的平方。 (2）完全平方公式（三项式专用） 公式： 完全平方和：a2+2ab+b2=(a+b)2。 完全平方差：a2−2ab+b2=(a−b)2。 适用特征： 三项式。 两项为平方项（同号），第三项为两底数乘积的 2 倍（可正可负）。 知识点03:因式分解的一般步骤（口诀） 一提：先看是否有公因式，优先提取（含负号）。 二套：无公因式时，看项数套公式： 二项式→平方差公式。 三项式→完全平方公式。 三查：检查每个因式是否分解彻底（不能再分） 知识点04:核心题型（高频考点） 1.判断是否为因式分解（概念辨析）。 2.直接提公因式分解（基础题）。 3.直接套用公式分解（平方差、完全平方）。 4.先提公因式再套公式（综合题，最常考）。 5.化简求值：先因式分解，再代入计算（简化运算）。 6.整体换元法：将多项式看作整体（如 (a+b)）套用公式。 【题型1.判断是否是因式分解】 【典例】因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 【跟踪专练1】下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），逐一分析每个等式的变形是否符合该定义，从而确定符合的个数即可． 【详解】解：①是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义； ②的右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义； ③是把多项式化为整式的平方（即两个整式的积），符合因式分解定义； ④是把多项式化为两个整式与的积，符合因式分解定义； 综上，符合因式分解的有③④，共2个． 故选：B． 【跟踪专练2】下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【跟踪专练3】下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若是多项式的一个因式，则m的值为 ． 【答案】-2 【分析】设因式分解后的结果是．再根据多项式相等的条件列出方程求解即可． 【详解】解：设因式分解后的结果是． ∴． ∴． ∴a=1，-4b=-24，-m=b-4a． ∴b=6，m=4a-b． ∴m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查已知因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是解题关键． 【跟踪专练1】将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 【跟踪专练3】因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 【题型3.公因式】 【典例】多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求多项式的公因式，一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分，的最小指数为2，的最小指数为2，的最小指数为1，故公因式为， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 【跟踪专练3】下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式进行因式分解. 【详解】解 ． 故答案为 【跟踪专练1】把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 【跟踪专练2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 【题型5.公式法的适用判断】 【典例】下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的形式判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、不能用完全平方公式进行因式分解，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握能运用完全平方公式分解因式的条件：多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍是解题关键． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【跟踪专练2】下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是x2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； D、去括号后结果为x2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点． 【跟踪专练3】下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】把因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式因式分解，熟练掌握该方法是解题的关键． 直接应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式提取后，再运用平方差公式进行因式分解即可，掌握提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先展开得到二次三项式，然后合并常数项，最后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为． 【跟踪专练1】把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．将视为整体，应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪专练2】已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】7或8或11 【分析】本题考查的是因式分解和三角形三边之间的关系，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 由给定方程解出，再根据非负数的性质求出、的值，最后根据等腰三角形的性质分类讨论周长． 【详解】解：，满足， ，即 ， 解得：． 为正整数， 当时，，当时，， 当时，，若腰为2，则三边为，满足三角形三边关系，周长为7； 若腰为3，则三边为，满足三角形三边关系，周长为8． 当时，，若腰为5，则三边为，满足三角形三边关系，周长为11； 若腰为1，则三边为，但，不满足三角形三边关系，故舍去． 综上，周长为7或8或11． 故答案为：7或8或11． 【跟踪专练3】若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 【题型8.综合运用公式法分解因式】 【典例】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 【跟踪专练1】将多项式进行因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（    ） A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【分析】先将原式进行因式分解可得，然后根据三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键． 【跟踪专练3】在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解．熟练掌握在实数范围内因式分解是解题的关键． 利用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 【题型9.提公因式与公式法综合】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合运用提公因式与公式法分解因式，解题关键是提取公因式． 先提取公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】把多项式因式分解结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，先通过变形提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【跟踪专练2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是找公因式，注意分解到不能再分解为止． 先将转化为，然后提取公因式，再对应用平方差公式因式分解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可得解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意； D、，无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型10.实数范围内分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【跟踪专练1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 【跟踪专练3】在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型11.因式分解在有理数简算中的应用】 【典例】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【答案】B 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ∴能被2022，2023，2024整除， 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【跟踪专练1】利用因式分解计算： ． 【答案】4051 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 【跟踪专练2】利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 【跟踪专练3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型12.十字相乘法】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：因为，且是的一次项的系数， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键． 【跟踪专练1】若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ∴， 故答案为：C． 【跟踪专练2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先对代数式进行化简，然后再根据十字相乘法可进行因式分解 【详解】解：原式 ； 故答案为： ． 【跟踪专练3】若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 【题型13.分组分解法】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A、2a-2b=2（a-b），正确，故该选项不符合题意； B、x2-9=（x+3）（x-3），正确，故该选项不符合题意； C、a2+4a-4≠（a-2）2，原分解错误，故该选项符合题意； D、x2-2x+1-y2=（x-1+y）（x-1-y），正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解-分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项有公因式，必须先提公因式． 【跟踪专练2】分解因式： ． 【答案】 【分析】先把原式分组成，在提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分组分解因式的方法是解题的关键． 【跟踪专练3】的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 【题型14.因式分解的应用】 【典例】若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据因式分解的应用即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，本题的解题关键是，把代入即可得出答案． 【跟踪专练1】若，，则的值为（    ） A．6 B．24 C．30 D．150 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解的应用．先对原式提取公因式，再对括号内的多项式利用完全平方公式进行分解，将原式化为，然后代入已知条件求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】已知m，n均为正整数且满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解把等式变形为，再根据m，n均为正整数，讨论各种可能情况，求出m、n的值，判断出最小值． 【详解】解：， ， ． 因为m，n均为正整数， 所以或． 所以或或或， 所以或或或， 所以或． 所以的最小值为20． 故答案为：20． 【跟踪专练3】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确地进行因式分解． 根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得：， 即， ∴，，， ∴此三角形为等腰三角形． 故选：A． 解答题 1．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 2．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式继续分解； （2）把看作整体，用完全平方公式直接分解； （3）先用平方差公式分解，再对每个因式用完全平方公式继续分解； （4）先把变形为，提取公因式后整理． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。解题关键是：分解要彻底，直到不能再分解为止；注意符号变化；能整体代换时，优先用公式简化过程． 3．（1）因式分解：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式计算得出答案； （2）先利用平方差公式进行因式分解，然后计算得出答案. 【详解】解：（1）原式 ． （2）方程左边因式分解，得， 即， 解得． 4.运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $