精品解析：四川省巴中市职业中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

巴中市职业中学2025年秋学期半期考试 数学试卷 第Ⅰ卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分） 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 向量垂直 B. 向量相等 C. 向量方向相反 D. 向量平行 3. 已知直线的斜率为，直线的斜率为1，那么这两条直线（ ） A. 相交但不垂直 B. 平行 C. 重合 D. 垂直相交 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 6. 函数（　　） A. 在内是减函数 B. 在内是增函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 7. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 在学校文艺晚会上，8位评委为某表演者打出的分数如下：.这些分数中去掉一个最高分和一个最低分，其余分数的平均值为表演者的最终分数.那么该表演者最终分数为（ ） A. 81.5 B. 81 C. 80 D. 79.5 10. 设，，其中m，n是正实数，则（ ）． A. B. C. D. 11. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（ ） A. 与共线 B. 与相等 C. 与平行 D. 与的模相等 13. 设某机械采用齿轮转动，由主动轮带着从动轮转动（如下图所示），设主动轮的直径为，从动轮的直径为，若主动轮顺时针旋转，则从动轮逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 14. 函数在定义域上是增函数，且对任意的实数恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 15. 如果为双曲线方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 16. ________． 17. 把某溶液的浓度变为原来的称为一次“标准稀释”，那么通过_______次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的．（用数字作答） 18. 的值为______ 19. 底面半径为2，高为3的圆锥的体积为__________. 20. 点到椭圆上的点的最远距离是___________. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.） 21. 已知向量. （1）求， （2）求. 22. 为了了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况，随机抽取了该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调查结果的数据，得到如下表所示的频数分布表： 分组 0-0.5（小时） 0.5-1.0（小时） 1.0-1.5（小时） 1.5-2.0（小时） 2.0-2.5（小时） 频数 10 30 30 20 10 （1）用事件发生的频率来估计相应事件的概率，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率； （2）若每组中各个学生阅读时间用该组的中间值（如0-0.5的中间值为0.25）来估计，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间. 23. 已知直线l与平行，且与x轴的交点为. （1）求直线l的方程； （2）设圆心为的圆C与直线l相切，求圆C的标准方程. 24. A市居民生活用水原收费标准为4元/.为了保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下： 第一阶梯：每户月用水量不超过25的部分（含25），按3元/计费； 第二阶梯：每户月用水量超过25，但不超过35的部分（含35），按4元/计费； 第三阶梯：每户月用水量超过35的部分，按6元/计费. 如：某户月用水量为30时，当月应缴水费为元. 假设某户月用水量为，当月应缴水费为元. （1）求调整收费标准后，与自变量的函数关系式； （2）当某户月用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？ 25. 已知点，. （1）求过两点的直线l的方程； （2）已知点A在椭圆C：上，且（1）中的直线l过椭圆C的左焦点，求椭圆C的标准方程. 26. 已知函数，方程的两个实数根，满足. （1）求证：； （2）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市职业中学2025年秋学期半期考试 数学试卷 第Ⅰ卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分） 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以． 故选：B. 2. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 向量垂直 B. 向量相等 C. 向量方向相反 D. 向量平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线、向量垂直、向量相等的坐标表示，即可判断求解. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量平行，且方向相同. 故选项错误，选项D正确. 故选：D. 3. 已知直线的斜率为，直线的斜率为1，那么这两条直线（ ） A. 相交但不垂直 B. 平行 C. 重合 D. 垂直相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合两直线垂直时斜率之间的关系，即可判断求解. 【详解】因为直线的斜率为，直线的斜率为1， 所以，即这两条直线垂直相交. 故选：D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 即函数的定义域是. 故选：C. 5. 点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合点的对称性，即可求解. 【详解】点关于轴对称的点是. 故选：A. 6. 函数（　　） A. 在内是减函数 B. 在内是增函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性和函数的奇偶性的定义分析即可. 【详解】已知函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，故C错误，D正确， 对称轴为， 图象开口向上，在内是增函数，故A错误， 在内是减函数，故B错误， 故选：D. 7. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程确定的值，再由离心率公式求值即可. 【详解】已知椭圆， 则， 可得，，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 8. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的图象即可解答. 【详解】函数， 其中， 所以函数的图象过点，且单调性递增， 只有选项C符合， 故选：C. 9. 在学校文艺晚会上，8位评委为某表演者打出的分数如下：.这些分数中去掉一个最高分和一个最低分，其余分数的平均值为表演者的最终分数.那么该表演者最终分数为（ ） A. 81.5 B. 81 C. 80 D. 79.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合平均数的计算，即可求解. 【详解】由题意，最高分：91，最低分：77， 去掉后剩余分数：78，84，80，79，78，81， 则该表演者最终分数为. 故选：C. 10. 设，，其中m，n是正实数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数式与指数式互化，再根据指数幂的运算即可求解. 【详解】将对数式，分别转化为指数式有：，， ∴． 故选：. 11. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念运算即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 12. 如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（ ） A. 与共线 B. 与相等 C. 与平行 D. 与的模相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】A选项，与共线，故A选项正确； B选项，与相等，故B选项错误； C选项，与平行，故C选项正确； D选项，与的模相等，故D选项正确. 故选：B. 13. 设某机械采用齿轮转动，由主动轮带着从动轮转动（如下图所示），设主动轮的直径为，从动轮的直径为，若主动轮顺时针旋转，则从动轮逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设从动轮逆时针旋转，利用主动轮与从动轮转到的弧长相等，根据弧长公式求解即可. 【详解】设从动轮逆时针旋转. 由题意可知，主动轮与从动轮转到的弧长相等. 所以. 解得. 故从动轮N逆时针旋转. 故选：B. 14. 函数在定义域上是增函数，且对任意的实数恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的特点和恒成立，得出为常数，再设，并将代入求解即可. 【详解】因为函数在定义域上是增函数， 要使恒成立， 则为常数， 设（为常数），则， 将上式整理得， 令，则，又， 所以，即， 则，因式分解得， 其中， 所以，则 所以， 故选：B. 15. 如果为双曲线方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程即可得解. 【详解】因为为双曲线方程. 所以即. 解得:或. 所以的取值范围为. 故选:. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 16. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 17. 把某溶液的浓度变为原来的称为一次“标准稀释”，那么通过_______次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的．（用数字作答） 【答案】4 【解析】 【分析】根据指数增长模型求解. 【详解】设初始溶液浓度为(，经过次“标准稀释”后溶液浓度为， 因为每次“标准稀释”后溶液浓度变为原来的， 所以经过次“标准稀释”后，溶液浓度， 已知经过次“标准稀释”后溶液浓度达到初始浓度的， 则可得，即，则， 所以通过次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的． 故答案为：4． 18. 的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：. 19. 底面半径为2，高为3的圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式计算. 【详解】依题意，圆锥的底面半径，高， 根据圆锥的体积公式，可得 故答案为：. 20. 点到椭圆上的点的最远距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先设椭圆上点的坐标为，再利用两点间距离公式得到点到椭圆上的距离，将利用椭圆的方程将进行替换求解即可. 【详解】设椭圆上点的坐标为，且，即， 则点到椭圆上的距离， =， 所以当时，距离最远为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.） 21. 已知向量. （1）求， （2）求. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. （）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 向量， 【小问2详解】 . 22. 为了了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况，随机抽取了该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调查结果的数据，得到如下表所示的频数分布表： 分组 0-0.5（小时） 0.5-1.0（小时） 1.0-1.5（小时） 1.5-2.0（小时） 2.0-2.5（小时） 频数 10 30 30 20 10 （1）用事件发生的频率来估计相应事件的概率，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率； （2）若每组中各个学生阅读时间用该组的中间值（如0-0.5的中间值为0.25）来估计，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间. 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）计算频率，即可估计相应事件的概率； （2）根据平均数的概念计算即可. 【小问1详解】 由题，该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的频率为， 则估计该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率为. 【小问2详解】 由题，该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间为： 小时. 23. 已知直线l与平行，且与x轴的交点为. （1）求直线l的方程； （2）设圆心为的圆C与直线l相切，求圆C的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线l与平行，设出直线方程，代入直线与x轴的交点求解； （2）设出圆的方程，由圆C与直线l相切，确定圆的半径，进而求得答案. 【小问1详解】 ∵直线l与直线平行， ∴设直线l为，， ∵直线l与x轴的交点为， ∴， ∴， ∴直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为. 【小问2详解】 ∵圆心到直线的距离， ∴圆的半径， ∴圆C的标准方程为， 综上所述，圆C的标准方程为. 24. A市居民生活用水原收费标准为4元/.为了保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下： 第一阶梯：每户月用水量不超过25的部分（含25），按3元/计费； 第二阶梯：每户月用水量超过25，但不超过35的部分（含35），按4元/计费； 第三阶梯：每户月用水量超过35的部分，按6元/计费. 如：某户月用水量为30时，当月应缴水费为元. 假设某户月用水量为，当月应缴水费为元. （1）求调整收费标准后，与自变量的函数关系式； （2）当某户月用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？ 【答案】（1）. （2）47.5 【解析】 【分析】（）根据题意列出分段函数解析式即可得解. （）分类讨论，，，列出不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，调整前的水费， 由（）可知，调整后的水费， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，解得， 所以月用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费. 25. 已知点，. （1）求过两点的直线l的方程； （2）已知点A在椭圆C：上，且（1）中的直线l过椭圆C的左焦点，求椭圆C的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式确定直线的斜率，再由直线的点斜式方程确定直线方程即可. （2）求出（1）中的直线与x轴的交点，由此确定椭圆中的值，再由点在椭圆上确定的值，再由的关系求出的值，即可得出椭圆方程. 【小问1详解】 已知点，， 可得直线l的斜率为， 则直线l的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知直线l的方程为， 当时，，解得， 因此直线l与x轴的交点为， 又直线l过椭圆C的左焦点，故椭圆C的左焦点为， 则椭圆C中， 因为点在椭圆： 上， 所以点为椭圆在轴上的顶点， 所以，则， 故椭圆C的标准方程为 . 26. 已知函数，方程的两个实数根，满足. （1）求证：； （2）若，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，结合条件列出关于的不等式，再根据已知范围即可解得； （2）根据二次函数单调性和已知范围即可解得． 【小问1详解】 因为方程的两个实数根，， 由韦达定理可知，， 要证，即证， 即， 又，则， 即恒成立， 故证得． 【小问2详解】 当时，单调递减， 则， 又，故， 即证得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $