6.2.3向量的数乘运算 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用 6.2.3向量的数乘运算 一、教学目标与素养 1. 深刻理解向量共线定理，能利用定理判断两个向量是否共线，解决三点共线、直线平行等实际问题。 1. 经历“实例探究—概念抽象—性质推导—应用拓展”的过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 课程思政教育：实数 与向量的积体现“量变质变规律”：||>1 寓意厚积薄发、勇于进取；0<||<1 教导我们沉淀积累、脚踏实地；=0 则化为零向量，守住底线。 方向不变 (>0) 是初心坚守，方向相反 (<0) 是反思纠偏。 二、教学重点 重点：向量数乘运算的定义、几何意义、运算律, 平面向量共线定理及其应用. 三、教学难点 难点：对向量数乘运算几何意义的理解, 平面向量共线定理的证明和灵活应用. 四、教法学法 讲授法、讨论法、练习法相结合 五、课时安排 1课时 六、教学内容 教学环节 师生活动 二次备课（手写） 环节一：情境导入 问：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 环节二：新知讲解 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa. 注意点： (1)向量共线定理中规定a≠0． (2)λ的值是唯一存在的． 环节三：例题讲解 将待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化．　 例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，．猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立． 解：分别作向量，，，过点，作直线(图6.2-17)．观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想，，三点共线． 事实上，因为 ， ， 所以． 因此，，，三点共线． 例8 已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，即． 由，不共线，必有． 否则，不妨设，则． 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾． 由，解得． 因此，当向量，共线时，． 课堂小结 板书设计 6.2.3向量的数乘运算（2） 1.向量共线定理 例题 堂堂清 日日清 向量共线定理 作业布置 必做题：p161,2,3题 选做题：同步练习册随堂训练 7、教学反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $