1.1周期变化课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第1节 周期变化 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期. 2、初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性. 1、初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性. 1、初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 赋得古原草送别 离离原上草， 一岁一枯荣。 野火烧不尽， 春风吹又生。 草原上的草每年都会经历枯萎和繁荣的周期变化，即使遭受野火的焚烧，到了春天又会重新生长，体现了季节循环下生物生长的周期性。 3 新 知 引 入 韦 达 单摆做简谐运动。 简谐运动是一种特殊类型的周期性运动。 4 新 知 引 入 布 丰 如图是水车的示意图，水车上点P到水面的距离为y，假设水车匀速，则每经过时间t,点P又回到原来的位置，那么y每经过时间t就会取相同的值，因此y随时间t的变化是周期变化. 周期变化是指事物在运动、变化的发展过程中，某些特征多次重复出现。 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、下列变化中，不是周期现象的是(　　) A．春去春又回 B．钟表的分针的运行 C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间 D 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 A 练1、下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落； ②潮汐； ③海啸； ④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 问题1：画出函数y=(-1)[x]的图像，并讨论其性质。 y = [x] = 0 1 2 3 -1 -1 -2 -3 1 f(-3)=_______=________=_________ 对任意一个实数x，每增加______的整数倍，其函数值保持________。这种变化是重复的，函数f(x)=(-1)[x]的变化是周期性的。 y = (-1)[x] = 2 不变 f(-1) f(1) f(3) 8 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 问题2：画出函数y=x-[x]的图像，并讨论其性质。 y = [x] = y = x-[x] = 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 f(-2)=______=______=______=_____ 对任意一个实数x，每增加______的整数倍，其函数值保持________。这种变化是重复的，函数f(x)=x-[x]的变化是周期性的。 1 不变 f(-1) f(0) f(1) f(2) 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数. 非零常数T称作这个函数的周期. 周期函数 注意：1、 2、 周期函数的定义域是无限集。 周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期. 10 学 习 新 知 拉格朗日 一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数. 非零常数T称作这个函数的周期. 周期函数 注意：3、 4、 5、 6、 周期函数的周期不止一个.T是周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是周期。 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. 常值函数是周期函数，任意非零实数都是它的周期，且无最小正周期。 周期不能为零。 11 典 例 引 路 柯 西 例2、(1)讨论函数y=7+(-1)n,n∈N 是否为周期函数，如果是,请指出它的周期. 解：当n∈N时,该函数的取值为8,6,8,6,8,⋯ 可见它是周期函数，且周期T=2. （2）已知函数f(x)满足f(x)f(x+2)＝13，求证：f(x)是周期函数． 解：∵ f(x)f(x+2)＝13 ∴ f(x+2) = ∴ f(x+4) = = = f(x) ∴ f(x)是周期函数，4是它的一个周期。 12 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知函数f(x)满足f(x+1)=,求证：f(x)是周期函数。 解：由已知可得 f(x+2）= = = = - ∴f(x+4)=- = - = f(x) ∴f(x)是周期函数，4是它的一个周期。 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例3、（1）若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x+a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 解：∵ f(x+2a) = -f(x+a) = -[-f(x)] = f(x) ∴ f(x)是以2a为一个周期的周期函数。 （2）函数满足，且当时，，则的值为（　　） A. B. C.- D.- 解：∵ ∴ T=2 ∴ = f(+2) = f() = 2××(1- ) = A 14 同 步 练 习 庞加莱 练3、（1）若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x+a)＝，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 解：∵ f(x+2a) = = = f(x) ∵ f(x)是以2a为一个周期的周期函数 （2）若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x+a)＝- ，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 解：∵ f(x+2a) = - = - = f(x) ∵ f(x)是以2a为一个周期的周期函数 15 典 例 引 路 华罗庚 例4、若函数f(x)关于x=a,x=b都对称,且a<b,则f(x)是周期函数,且T=2(b-a) 证明：∵函数f(x)关于x=a,x=b都对称 ∴f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x) ∴f(2a-x)=f(2b-x) 用2a-x代替上式中的x，则 f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)] 化简得f(x)=f[(2b-2a)+x] ∴f(x)是周期函数，且T=2(b-a) 16 同 步 练 习 陈景润 练4、设函数f(x)在（-∞，+∞）上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有（1）＝（3）＝0. （1）证明：函数为周期函数； （2）求方程＝0在闭区间［-2 020，2 020］上的解的个数. （1）证明：∵f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x) ∴f(x)关于x=2,x=7对称 ∴为周期函数，＝2×（7-2）=10. （2）解：∵＝0， ∴ ＝0， 故在［0，10］和［-10，0］上均有2个解. 从而可知函数y=f(x)在[0,2020]上有404个解，在[-2020,0]上 有404个解， ∴ 函数在［-2 020，2 020］上有808个解. 17 典 例 引 路 傅里叶 例5、若函数f(x)关于(a,0),(b,0)都对称,且a<b,则f(x)是周期函数,且T=2(b-a) 证明：∵函数f(x)关于(a,0),(b,0)都对称 ∴f(x) = - f(2a-x),f(x) = - f(2b-x) ∴ - f(2a-x)= - f(2b-x) ∴ f(2a-x)=f(2b-x) 用2a-x代替上式中的x，则 f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)] 化简得f(x)=f[(2b-2a)+x] ∴f(x)是周期函数，且T=2(b-a) 18 同 步 练 习 洛必达 练5、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2+x)＝－f(1-x). (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． 解：（1）∵f(x)是定义在R上的奇函数 ∴f(x)关于（0,0）对称 ∵f(2+x)＝－f(1-x) ∴f(x)关于（,0）对称 ∴y＝f(x)是周期函数，且T=2×（ - 0）=3 （2）∵f(x)是定义在R上的奇函数 ∴f(0)=0且f(-1)=-f(1)=-2 ∴f(2)＋f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2 19 典 例 引 路 贝叶斯 例6、若函数f(x)关于(a,0),x=b都对称,且a<b,则f(x)是周期函数,且T=4(b-a) 证明：∵函数f(x)关于(a,0)，x=b都对称 ∴f(x) = - f(2a-x),f(x) = f(2b-x) ∴ - f(2a-x)= f(2b-x) 用2a-x代替上式中的x，则 -f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)] 化简得f(x)= - f[(2b-2a)+x] ① 用(2b-2a)+x代替①式中的x，则 f[(2b-2a)+x]=- f[(2b-2a)+(2b-2a)+x]=-f[(4b-4a)+x] ② ②代入①得：f(x)=f[(4b-4a)+x] ∴f(x)是周期函数，且T=4(b-a) 20 同 步 练 习 佩雷尔曼 练6、已知奇函数满足，则（　　） A.函数是以2为周期的周期函数　　　　 B.函数是以4为周期的周期函数 C.函数是奇函数　　　　　　　　　 D.函数是偶函数 解：∵ f(x)是奇函数 ∴ f(x)关于(0,0)对称 ∵ ∴ f(x)关于x=1对称 ∴ f(x)得周期是T=4×（1-0）=4 B 21 典 例 引 路 牛 顿 例7、设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知∈［2，3］时，，则∈［-2，0］时，的解析式为＝ （　　） A. 　　　　B. C. D. 解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数， ∈［2，3］时，， ∴ 当∈［-2，-1］时，∈［0，1］，∈［2，3］， 此时； 当∈［-1，0］时，∈［0，1］，∈［2，3］， 此时， 综上可得∈［-2，0］时，，故选C. C 22 同 步 练 习 黎 曼 练7、已知函数f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝2，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，求函数f(x)的解析式． 解：当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，x－2k∈[－1,1]， 又∵函数y＝f(x)的周期T＝2， ∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2， 故函数f(x)的解析式为 f(x)＝(x－2k)2,(x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z))． 23 典 例 引 路 狄利克雷 例8、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有f(x+4)＝f(x)＋f(2)，f(1)＝4，求f(3)＋f(10)的值． 解：由题意可知f（x+4）＝f(x)＋f（2）， 令x＝－2，可求得f(-2)＝0， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(2)＝0，即f(x+4)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(1)＝4， 所以f(3)＋f(10)＝f(-1)＋f(2)＝f(1)＋0＝4. 24 同 步 练 习 莱布尼兹 例8、设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=________.  解：因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2. 又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2, 所以f(0)=0,f(1)=1, 所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2018)=0, f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2017)=1. 故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009. 25 全 课 总 结 一、周期现象 二、周期函数 三、最小正周期 四、重要结论 ①若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则f(x)周期T=2a ②若函数f(x)满足f(x+a)=,则f(x) 周期T=2a ③若函数f(x)满足f(x+a)=,则f(x) 周期T=2a ④若函数f(x)关于x=a,x=b都对称，且a<b,则f(x)是周期函数，且T=2（b-a） ⑤若函数f(x)关于(a,0),(b,0)都对称，且a<b,则f(x)是周期函数，且T=2（b-a） ⑥若函数f(x)关于(a,0),x=b都对称，且a<b,则f(x)是周期函数，且T=4（b-a） 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $