重难点专题2.2 空间向量法求角与距离十种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题2.2 空间向量法求角与距离十二种题型 题型一 异面直线夹角的向量求法 题型二 已知线线角求其他量 题型三 线面角的向量求法 题型四 已知线面角求其他量 题型五 面面角的向量求法 题型六 已知面面角求其他量 题型七 点到平面距离的向量求法 题型八：平行平面距离的向量求法 题型九：点到直线距离的向量求法 题型十：异面直线距离的向量求法 题型十一：空间向量方法与存在性问题 题型十二：立体几何新定义问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．（25-26高二上·上海·月考）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则，, 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，已知在棱长为1的正四面体OABC中，，，，点E，F满足，． (1)用基底表示向量； (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）根据向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. （2）根据向量求夹角公式，结合求模公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意 . （2）正四面体中，任意两条棱的夹角均为，且棱长为1， 则，同理， 由（1）得， 所以 ， 又 ， 所以，， 因为异面直线EF与OC所成角， 所以， 所以异面直线EF与OC所成角的余弦值为. 题型二 已知线线角求其他量 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为 .    【答案】 【知识点】已知线线角求其他量、锥体体积的有关计算 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 【答案】/ 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 6．（25-26高二上·广东深圳·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】1 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 题型三 线面角的向量求法 7．（25-26高二上·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立体几何新定义、线面角的向量求法 【分析】根据题目材料确定平面的法向量，由于同时满足两个平面方程的点在交线上，因此可取两个特殊点，作为交线的方向向量，再求解即可. 【详解】由题意可知，平面的法向量. 因为直线是平面与平面的交线， 因此直线上的点均满足两个平面方程, 我们可以取上的两个点，来计算直线的一个方向向量. 令,则,即在交线上； 令,则,即在交线上. 故直线的方向向量. 设直线与平面所成角为,则. 故选：A. 8．（25-26高二上·上海·月考）如图，四棱锥中，底面为矩形，， 平面，为的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理分别证明，，即可证得结论； （2）利用空间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值即可 【详解】（1）∵平面，平面，∴， ∵四边形为矩形，∴，又，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 在中，，E为中点，∴ ∵，平面，平面，∴平面. （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由（1）知：平面， ∴为平面的一个法向量，，. 记直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，，点在棱上. (1)证明：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据几何关系证明，再结合面面垂直性质定理即可证明结论； （2）结合（1），建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）与都是等腰直角三角形，，，， 所以，，， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）因为平面，， 所以两两垂直，故如图建立空间直角坐标系， 则，， 由点在棱上，， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，故， 因为平面， 所以，解得， 所以 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，即，故， 设直线与平面所成角为，因为 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 10．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法计算线面角即可． 【详解】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设是平面的法向量， 则，令，则， ∴是平面的一个法向量， 易知，∴也是平面的一个法向量， ∴平面； （2）由（1）中建立的空间直角坐标系，可得， 设平面的法向量为， 则，令，则， ∴是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 题型四 已知线面角求其他量 11．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知线面角求其他量、求空间中两点间的距离 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，求和面的一个法向量，由得到关系，再结合二次函数性质计算即可求解. 【详解】由题意可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，而平面的一个法向量， 由直线与平面所成的角为得， 整理得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：D 12．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，，. (1)点在棱上，若平面，求证：为的中点； (2)若与平面所成的角为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、已知线面角求其他量、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）过点作交于点，根据线面平行的性质得，结合四边形是平行四边形，即可得证； （2）过作于，结合面面垂直性质定理、线面垂直性质定理与判定定理可得、、两两垂直，建立空间直角坐标系，再表示出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可得解. 【详解】（1）在中，过点作交于点，连接. 由，故，故四点共面. 由平面，平面， 平面平面，所以， 即四边形是平行四边形，故，又， 故，即是的中位线，所以为的中点. （2）过作于，连接，因为为等腰直角三角形，， 故，所以为中点，则且， 故四边形为平行四边形，则，又，所以， 因为，则，又因为平面平面， 平面平面，平面，故平面， 又平面，故，又，， 、平面，故平面，又平面， 故，则，故、、两两垂直， 故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则，， 所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，故，即. 13．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【知识点】已知线面角求其他量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）在斜三棱柱中，连接，由为的中点，得， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. （2）由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 题型五 面面角的向量求法 14．（25-26高二上·福建南平·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用面面角的向量求法可求余弦值. 【详解】（1）连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 而平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 则 15．（25-26高二上·北京朝阳·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，. (1)求证：平面平面； (2)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法 【分析】（1）要证明面面垂直，则需要通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面. （2）选条件①，顶角不确定，由无法求出，则都不确定；选条件②  ，取中点，连接，过点作交于点，证明平面，然后建立空间直角坐标系，  求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；选条件③   取中点，连接，过点作交于点，先证明和都是直角三角形，然后建立空间直角坐标系，  求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果. 【详解】（1）因为四边形是矩形， 所以，又平面平面， 且平面与平面相交于，                                                             所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）选条件①，由（1）知，，在等腰中，顶角不确定， 由无法求出，则都不确定，因此不能求出二面角的大小，即①不可选. 选条件②  ，取中点，连接，过点作交于点， 由（1）知，平面，所以. 因为矩形中，，所以平面，所以， 所以和都是直角三角形. 因为，所以. 因为，所以. 因为，为中点， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，所以， 所以如图以为原点建立空间直角坐标系，   则，   因为， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 又平面， 所以平面， 所以平面一个法向量为.   设平面法向量，，， 由，可以取.   设平面与平面的夹角为， 则.  因为，所以平面与平面的夹角为.    选条件③   取中点，连接，过点作交于点， 由（1）知，平面， 因为矩形中，，， 所以平面， 所以和都是直角三角形， 因为，，所以， 又，，所以， 所以在直角三角形中，， 所以如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因为， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 又平面， 所以平面， 所以平面一个法向量为. 设平面法向量，，， 由，可以取.   设平面与平面的夹角为， 则. 因为，所以平面与平面的夹角为. 16．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图，直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，过点作与平面平行的直线，交于点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断线线垂直，进而证明线面垂直； （2）由（1）建立空间直角坐标系，设，由平面，可求得， 进而求得平面和平面的法向量，再结合二面角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，则，， 又，即两两垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因是的中点，是的中点，则 所以，，， 所以，所以， 所以，所以， 又且都在平面内， 所以平面. （2）由（1）建立空间直角坐标系，设，则， 易知，平面的一个法向量为， 又平面，则，解得， 故，所以，又， 设平面的法向量为， 则，取，得， 由（1）知，为平面的一个法向量， 所以， 由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17．（25-26高二上·江西上饶·月考）在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小的余弦值； (2)直线与平面所成角的大小的正弦值； (3)二面角的大小的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量法求解. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设与面所成角为，因此， 所以直线与平面所成角的大小的正弦值为. （3）设平面法向量为， 则，令，得， 因此， 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由等腰三角形三线合一，得到，接着根据面面垂直的性质得到平面,接着由线面垂直的性质得出线线垂直，最后由平行的传递性得到； （2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，由两平面的法向量夹角的余弦值的绝对值即为两平面夹角的余弦值； （3）根据共线求出E的坐标，求出的坐标，然后与法向量垂直，得到数量积为0即可算出. 【详解】（1）为中点， 又平面平面，且交线为平面 平面，平面， ； 为中点，则有； ； （2）如图以为坐标原点，过作直线与平行，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为 则有令，可得； 设平面的一个法向量为 则有，可取 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 （3）则， . ． . 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图所示，已知在四面体P-ABC中， 平 面ABC. (1)求证：平面： (2)求点A到平面的距离： (3)求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先由线面垂直的性质得到，再由勾股定理证明，最后利用线面垂直的判定定理，即可证明； （2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据点到平面的距离公式即可得到答案； （3）求出平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标公式，即可求解. 【详解】（1）平面，平面，平面,; ,, 又,，即证， 又平面，平面. （2）以为坐标原点，分别以，所在直线为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 故，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则点A到平面的距离为. （3）设平面的一个法向量为， 则，取， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以，故平面与平面的夹角为. 题型六 已知面面角求其他量 20．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】已知面面角求其他量、空间向量数量积的应用 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 21．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图，在长方体中，. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【知识点】已知面面角求其他量、证明线面平行 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式求解即可. 【详解】（1）在长方体中，，且， 则四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面. （2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为平面与平面所成角的正弦值为， 所以平面与平面所成角的余弦值为， 则， 解得，即. 22．（25-26高二上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且. (1)若，分别为，的中点，证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【知识点】已知面面角求其他量、面面角的向量求法、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）先证明出平面，可得，结合，再证得平面，然后由面面垂直的判定定理得证； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求面面角的余弦，再解方程即可求出，得解. 【详解】（1）平面，平面，， ，，平面，平面， 平面，， ，为的中点，， 平面，平面， 平面，平面平面. （2）平面，且，所以三线两两垂直. 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，（），，即得， ，，，. 设为平面的法向量， 由，得， 令，则，，， 设为平面的法向量， 由，得， 令，则，， 由，得， ， 即，化简得， 解得或，即的值为或. 题型七 点到平面距离的向量求法 23．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 24．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 25．（多选）（25-26高二上·山东济宁·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【知识点】点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】A选项，根据向量的加减法法则，，故A选项正确； B选项，建立空间直角坐标系，以为原点，分别以所在直线为轴， 则， ， 设异面直线与所成角为，根据向量点积公式，故B选项错误； C选项，由B选项中坐标可知，所以，故C选项正确； D选项，设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， ，根据点到平面的距离公式，故D选项正确. 故选：ACD. 26．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 所以， 又，故点到平面的距离为 . 故答案为： 27．（24-25高二上·内蒙古包头·月考）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． (1)求证：面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）由已知可得DA，DC，DP两两垂直，所以分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直； （2）利用等体积法求点到面的距离即可. 【详解】（1）底面，平面， ∴， ∵底面为矩形，∴， ∴以为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则根据题意可得： ， ． ． ， ，又，平面， 面； （2）设C到平面的距离为h． 由（1）可知． 底面，底面为矩形，， 分别为的中点， ， ． ， 由， ， ，即C到平面AMN的距离为． 题型八：平行平面距离的向量求法 28．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 29．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【知识点】判断面面平行、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 30．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面垂直证明面面平行、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型九：点到直线距离的向量求法 31．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 32．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则， 设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 故答案为：． 题型十：异面直线距离的向量求法 33．（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 【答案】A 【知识点】异面直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 34．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 35．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 题型十一：空间向量方法与存在性问题 36．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．    (1)求证：； (2)若点是线段上的一动点，当在何位置时，二面角的余弦值为． 【答案】(1)证明见解析 (2)点满足 【知识点】已知面面角求其他量、空间垂直的转化、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接，则平面，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求得值可得的位置． 【详解】（1）长方形中，，，为的中点，所以， 所以，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）取的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， 则、、、， 设， ，. 设平面的一个法向量为，则， 取，得. 由，整理得， 解得或（舍去）， 故当点满足时，二面角的余弦值为. 37．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)若是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指明点的位置，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点在靠近的三等分点处. 【知识点】证明线面平行、求点面距离、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得到两个平面的夹角余弦值； （2）利用向量法求得点到平面的距离； （3）求得所需要的向量坐标，利用线面平行确定所求点的位置即可. 【详解】（1） 由题可知，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为平面的一个法向量为， ，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 设二面角为，所以， 故二面角的余弦值为. （2）由（1）可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 因为，所以点到平面的距离. （3）在线段上存在点，且点在靠近的三等分点处. 因为是的交点，所以， 设在上，，故， ，平面的一个法向量， 若平面，则满足，即， 解得，即点在靠近的三等分点处. 38．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点， 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 39．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    (1)已知，分别为，的中点，求证：平面； (2)若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【知识点】空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】(1) 取的中点为，的中点，连接，，，证明四边形为平行四边形，得，由线面平行的判定定理进行证明； (2) （i）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可； （ii）假设在线段上存在一点，使得平面，设，，由向量与法向量共线进行求解， 【详解】（1）取的中点为，的中点，连接，，，    则为的中位线，为的中位线，得 且，且， 而，，得且， 得四边形为平行四边形， 则，由平面，平面， 得平面. （2）（i）由，，，可得， 连接，可得四边形是正方形，即可得，所以， 所以，即， 又平面，平面，得， ，平面，，得平面， 如图建立空间直角坐标系，    令，则， 即，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，所以， 由于面，所以平面的法向量可以取， 设平面与面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. （ii）假设在线段上存在一点，使得平面，设，，则， 得， 而平面的法向量为， 由平面，得向量与法向量为共线， 即得，故无解， 故不存在线段上的一点，使得平面. 题型十二：立体几何新定义问题 40．（25-26高二上·上海普陀·期末）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、立体几何新定义 【分析】设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，设正四面体外接球的半径为是高，根据正四面体的性质，求得的长，在直角中，列出方程求得，进而求得勒洛四面体的内切球半径. 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心， 也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 41．（25-26高二上·湖北宜昌·月考）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为 .    【答案】/ 【知识点】立体几何新定义、求二面角 【分析】根据已知及定义列方程求二面角的余弦值. 【详解】    如图，连接AC， 因为，则. 因为是菱形，且, 所以. 因为， 所以，. 因为，所以. 设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为:. 42．（25-26高二上·上海·期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则五棱锥的总曲率为 ． 【答案】 【知识点】立体几何新定义、棱锥的结构特征和分类 【分析】由题意可知，五棱锥的总曲率等于五棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合， 【详解】由图可知五棱锥有个顶点，个面，其中个三角形，个五边形， 所以五棱锥的表面内角和由个为三角形，1个为五边形组成， 所以面角和为，故总曲率为．    故答案为：． 43．（25-26高二上·浙江台州·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示.    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】立体几何新定义、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，由为中点，确定的长，结合三棱锥等体积转换求解点到平面的距离即可； （3）根据已知条件与二面角、线面角的定义，推出点在平面上的射影的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线一部分，再结抛物线与直线相交、等体积法，即可求解棱锥体积的最大值． 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， ， ， 所以， 故三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为； （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 则平面，    又平面，所以，即， 又， 即， 解得， 由平面，平面，得， 则为等腰直角三角形，所以，， 因为为中点，所以，， 又，所以， 因为，则， 则，故， 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，有， 所以，则， 故点到平面的距离为； （3）如图，作平面，垂足为，作，垂足为，连接，，，    则，， 因为，所以， 又、平面， 所以，所以， 由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 取的中点为，如图以中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，    则，， 则以为焦点，以为准线的抛物线方程为， 故点的轨迹为该抛物线在三角形内部部分，即图中的曲线部分， 直线斜率为，则直线方程为：， 联立，解得或（结合图形舍） 即， 当与重合时，此时可得在上，使得取最大值，   的最大值满足：， 所以， 三棱锥体积的最大值为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题2.2 空间向量法求角与距离十二种题型 题型一 异面直线夹角的向量求法 题型二 已知线线角求其他量 题型三 线面角的向量求法 题型四 已知线面角求其他量 题型五 面面角的向量求法 题型六 已知面面角求其他量 题型七 点到平面距离的向量求法 题型八：平行平面距离的向量求法 题型九：点到直线距离的向量求法 题型十：异面直线距离的向量求法 题型十一：空间向量方法与存在性问题 题型十二：立体几何新定义问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．（25-26高二上·上海·月考）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，已知在棱长为1的正四面体OABC中，，，，点E，F满足，． (1)用基底表示向量； (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值． 题型二 已知线线角求其他量 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为 .    5．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 6．（25-26高二上·广东深圳·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 题型三 线面角的向量求法 7．（25-26高二上·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·上海·月考）如图，四棱锥中，底面为矩形，， 平面，为的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，，点在棱上. (1)证明：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 10．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型四 已知线面角求其他量 11．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，，. (1)点在棱上，若平面，求证：为的中点； (2)若与平面所成的角为，求的长． 13．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 题型五 面面角的向量求法 14．（25-26高二上·福建南平·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 15．（25-26高二上·北京朝阳·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，. (1)求证：平面平面； (2)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图，直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，过点作与平面平行的直线，交于点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 17．（25-26高二上·江西上饶·月考）在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小的余弦值； (2)直线与平面所成角的大小的正弦值； (3)二面角的大小的余弦值. 18．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图所示，已知在四面体P-ABC中， 平 面ABC. (1)求证：平面： (2)求点A到平面的距离： (3)求平面与平面的夹角． 题型六 已知面面角求其他量 20．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 21．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图，在长方体中，. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求. 22．（25-26高二上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且. (1)若，分别为，的中点，证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 题型七 点到平面距离的向量求法 23．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 25．（多选）（25-26高二上·山东济宁·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 26．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为 . 27．（24-25高二上·内蒙古包头·月考）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． (1)求证：面； (2)求到平面的距离． 题型八：平行平面距离的向量求法 28．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 29．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 30．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型九：点到直线距离的向量求法 31．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 . 32．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为 ． 题型十：异面直线距离的向量求法 33．（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 34．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 题型十一：空间向量方法与存在性问题 36．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．    (1)求证：； (2)若点是线段上的一动点，当在何位置时，二面角的余弦值为． 37．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)若是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指明点的位置，若不存在说明理由． 38．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 39．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    (1)已知，分别为，的中点，求证：平面； (2)若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 题型十二：立体几何新定义问题 40．（25-26高二上·上海普陀·期末）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为 . 41．（25-26高二上·湖北宜昌·月考）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为 .    42．（25-26高二上·上海·期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则五棱锥的总曲率为 ． 43．（25-26高二上·浙江台州·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示.    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $