专题18 随机试验与古典概率 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题18 随机试验与古典概率 一、知识梳理 1. 随机试验 定义：对随机现象的观察和对它的一次实现。简称试验。 表示：常用E表示。 特点：①试验可以在相同条件下 重复 进行； ②试验的所有可能结果是明确的，可以预先知道的 ，并且 互不相同的 ； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。 1. 样本空间 定义：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为 试验E的样本空间。 表示：用 Ω表示样本空间，用 ω表示样本点。 如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间为有限样本空间。 1. 事件的分类 随机事件：样本空间的一个子集称为随机事件。简称事件。用A,B,C，…..表示。 基本事件：只包含 一个样本点 的事件称为基本事件。 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。 必然事件：作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点出现，所以总会发生，我们称为 必然事件。 不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中 都不会发生，我们称为不可能事件 。 二、题型精练 题型1 必然事件、不可能事件和随机事件 【典例1】．指出下列事件中的必然事件、不可能事件和随机事件． （1）事件A={1+1=2} （2）事件B={1<2或3<5}· （3）事件C=｛三角形的内角和小于180°}； （4）投掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的点数，事件D={点数为2}. 【典例2】．下列是必然事件的是 ( ) A.明天下雨 B.买一张彩票中奖 C.三角形两边之和大于第三边 D.两直线平行，同旁内角相等 题型2 随机试验的样本空间 【典例1】．一只口袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球. （1）写出该试验的样本空间； （2）写出事件A“摸出的两个球都是白球”． 【典例2】. 将一枚骰子先后掷两次，观察朝上一面的点数，若事件A={所得的点数之和为5}，求事件A包含多少个样本点？ 三、知识检测 1．一枚骰子，观察朝上一面的点数，这一试验样本空间中样本点的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2．连续抛两枚硬币，出现的结果总数是 ( ) A.3 B.4 C.2 D.1 3．抛掷两枚骰子，事件“朝上一面的点数之和不大于4”所包含的样本点的个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4．现有10个同类产品，其中7个正品，3个次品，从中任意抽取4个，则下列事件是必然事件的是（    ） A．4个都是正品 B．至少有一个次品 C．4个都是次品 D．至少有一个正品 5．10件产品中有2件次品，从中任取两件，观察次品数，则样本空间是（    ） A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} D.{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 6．在100件商品中有3件次品，下列事件中是必然事件的是（    ） ①随机抽取一件是次品；②随机抽取4件都是次品；③随机抽取10件，其中有正品． A.①③ B.①② C.① D.③ 7．从3,4,5,7这四个数中，任取两个不同的数做成分数，这样的分数共有（　　） A.12个 B.18个 C.30个 D.36个 8．公交车司机在十字路口看到交通信号灯是红色，这 （    ） A．是必然事件 B．是随机事件 C．既是必然事件也是随机事件 D．既不是必然事件也不是随机事件 9．“掷一颗均匀的骰子，它落地时朝上的数字是2”是（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．以上均不正确 10．下列现象是随机现象的是( ) A.若都是实数,则 B.没有空气和水,人也可以生存下去 C.小张明天能钓到鱼 D.在中,若为,则 11．将一枚均匀的硬币向上抛20次，则“正面朝上的次数恰有10次”是（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．以上均不正确 12．抛掷一枚骰子，事件“朝上一面的点数小于5”所包含的样本点有 个，分别是 . 13． 已知下列事件： ①太阳东升西落； ②买彩票中奖； ③下个路口的红绿灯是绿灯； ④在装有5个白球和7个黑球的口袋中，摸到的是黄球． 其中，随机事件是 ，必然事件是 ，不可能事件是 . 14．在100件产品中，有98件是一级品，有2件是二级品，在这100件产品中任意选出5件，则下列事件： ①选出的产品全部是一级品； ②选出的产品全部是二级品； ③选出的产品不全是一级品； ④选出的产品中，不是一级品的件数小于5． 其中 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件. 15．若甲、乙、丙三名同学随机站成一排，则样本空间可记为 . 16．把3枚均匀的硬币一起抛出，则出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是 . 17．袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9从中随机摸出一个球。 （1）写出试验的样本空间 （2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数” 18. 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌均匀后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 19. 已知盒子中有大小相同的4个球，编号分别是1,2,3,4，从中不放回的一次取出两球，记下两球的编号. （1）写出该试验的样本空间； （2）指出下列事件中的必然事件、不可能事件和随机事件： 事件A=｛两球的编号相同｝； 事件B=｛两球的编号都不大于4}； 事件C=｛两球的编号是1和2}． 20. 连续抛掷3枚硬币，观察向上一面的正反情况． （1）写出样本空间； （2）写出事件A“至少有一个正面向上”包含的样本点，共多少个？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 随机试验与古典概率 一、知识梳理 1. 随机试验 定义：对随机现象的观察和对它的一次实现。简称试验。 表示：常用E表示。 特点：①试验可以在相同条件下 重复 进行； ②试验的所有可能结果是明确的，可以预先知道的 ，并且 互不相同的 ； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。 1. 样本空间 定义：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为 试验E的样本空间。 表示：用 Ω表示样本空间，用 ω表示样本点。 如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间为有限样本空间。 1. 事件的分类 随机事件：样本空间的一个子集称为随机事件。简称事件。用A,B,C，…..表示。 基本事件：只包含 一个样本点 的事件称为基本事件。 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。 必然事件：作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点出现，所以总会发生，我们称为 必然事件。 不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中 都不会发生，我们称为不可能事件 。 二、题型精练 题型1 必然事件、不可能事件和随机事件 【典例1】．指出下列事件中的必然事件、不可能事件和随机事件． （1）事件A={1+1=2} （2）事件B={1<2或3<5}· （3）事件C=｛三角形的内角和小于180°}； （4）投掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的点数，事件D={点数为2}. 答案： （1）必然事件 （2）必然事件 （3）不可能事件 （4）随机事件 分析：根据事件在相同条件下一定会发生（必然事件）、一定不会发生（不可能事件）、可能发生也可能不发生（随机事件）来判断。 详解： （1） 一定成立，为必然事件。 （2） 或  一定成立，为必然事件。 （3）三角形内角和等于 ，不会小于 ，为不可能事件。 （4）投掷骰子，点数为 2 可能出现也可能不出现，为随机事件。 【典例2】．下列是必然事件的是 ( ) A.明天下雨 B.买一张彩票中奖 C.三角形两边之和大于第三边 D.两直线平行，同旁内角相等 答案：C 分析：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件。根据几何与数学基本事实判断。 详解： A. 明天下雨——可能下也可能不下，是随机事件。 B. 买一张彩票中奖——可能中也可能不中，是随机事件。 C. 三角形两边之和大于第三边——这是三角形的基本性质，一定成立，是必然事件。 D. 两直线平行，同旁内角互补（和为180°），而不是相等（除非特殊情况），一般不一定相等，因此这不是必然事件。 题型2 随机试验的样本空间 【典例1】．一只口袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球. （1）写出该试验的样本空间； （2）写出事件A“摸出的两个球都是白球”． 答案：（1）样本空间为 其中  表示 3 个白球， 表示 2 个黑球。 （2）事件 。 分析：一次摸出两个球（无顺序），可用组合方式列出所有可能的结果。 样本空间是所有可能的两球组合的集合。 事件 A 是所有两个球均为白球的组合的集合。 详解： 设 3 个白球编号 ，2 个黑球编号 。一次摸出两个球 （1）样本空间：所有两球组合 （2）事件 A：两球都是白球的组合 【典例2】. 将一枚骰子先后掷两次，观察朝上一面的点数，若事件A={所得的点数之和为5}，求事件A包含多少个样本点？ 答案：事件  包含  个样本点。 分析：一枚骰子掷两次，共有  种等可能结果。 点数之和为 5 的所有可能对为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1） 详解： 设第一次掷的点数为 ，第二次为 ，样本点记为 。 点数之和为 5 满足 ，且 。 解： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1） 共 4 个样本点。 三、知识检测 1．一枚骰子，观察朝上一面的点数，这一试验样本空间中样本点的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D 分析：骰子的点数可能为 ，每一个点数都是一个样本点。 详解： 样本空间： 共 6 个样本点。 2．连续抛两枚硬币，出现的结果总数是 ( ) A.3 B.4 C.2 D.1 答案：B 分析：抛一枚硬币有“正面”（H）或“反面”（T）两种结果，连续抛两枚硬币（或一枚硬币抛两次），样本空间包含所有有序结果对。 详解：两枚硬币（或两次投掷）的可能结果：（H,H）,（H,T）,（T,H）,（T,T） 共 4 种结果。 3．抛掷两枚骰子，事件“朝上一面的点数之和不大于4”所包含的样本点的个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C 分析：两枚骰子点数和 ，枚举所有满足条件的  组合，。 详解： 点数和  的可能情况： · ：，1种 · ：（1，2），（2，1），2种 · ：（1，3），（2，2），（3，1）种，3种 合计： 种。 4．现有10个同类产品，其中7个正品，3个次品，从中任意抽取4个，则下列事件是必然事件的是（    ） A．4个都是正品 B．至少有一个次品 C．4个都是次品 D．至少有一个正品 答案：D 分析：总共有 3 个次品，抽 4 个产品，可能出现的情况： 可能 4 个都是正品（若抽中的全是正品）。 可能包含次品（个数 1~3 个）。 不可能 4 个都是次品（因为只有 3 个次品）。 因此“至少有一个正品”一定成立，因为 4 个产品不可能全是次品。 详解： A. 4 个都是正品——可能，但不必然。 B. 至少有一个次品——可能，但不必然（可能全是正品）。 C. 4 个都是次品——不可能（次品只有 3 个）。 D. 至少有一个正品——必然（因为最多只能抽到 3 个次品，第四个一定是正品）。 因此必然事件是 D。 5．10件产品中有2件次品，从中任取两件，观察次品数，则样本空间是（    ） A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} D.{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 答案： A 分析：从 10 件产品中任取两件，观察次品数，次品数可能的取值是 0、1 或 2。 因为总共只有 2 件次品，所以最多只能取到 2 件次品。 详解： 次品数  的可能取值： · 两件都为正品： · 一件正品一件次品： · 两件都为次品： 因此样本空间为 。 6．在100件商品中有3件次品，下列事件中是必然事件的是（    ） ①随机抽取一件是次品；②随机抽取4件都是次品；③随机抽取10件，其中有正品． A.①③ B.①② C.① D.③ 答案：D 分析：① 随机抽取 1 件是次品：可能发生也可能不发生，不是必然事件。 ② 随机抽取 4 件都是次品：不可能事件（因为总共只有 3 件次品）。 ③ 随机抽取 10 件，其中有正品：由于共有 97 件正品，抽 10 件时即使把 3 件次品全抽到，其余 7 件也是正品，所以抽到的 10 件中必然有正品，是必然事件。 详解： 商品总数 100，正品 97，次品 3。 抽 10 件商品时，即使最极端情况（抽到全部 3 件次品）也会包含 7 件正品，因此“其中有正品”一定成立。 因此必然事件只有 ③，选 D。 7．从3,4,5,7这四个数中，任取两个不同的数做成分数，这样的分数共有（　　） A.12个 B.18个 C.30个 D.36个 答案：A 分析：从 4 个不同的数字中任取两个不同的数做成分数，有序选取（分子分母不同），但不能分子分母互换视为同一个分数，因为  除非 （但这里 ）。 详解： 4 个数：3,4,5,7。 任取两个不同的数，考虑顺序（一个做分子，一个做分母）： 每个有序对对应一个不同的分数（因为数字不同，分子分母交换得到不同的分数，如  与  不同）。 所以共有 12 个分数。 8．公交车司机在十字路口看到交通信号灯是红色，这 （    ） A．是必然事件 B．是随机事件 C．既是必然事件也是随机事件 D．既不是必然事件也不是随机事件 答案：B 分析：交通信号灯的颜色变化不是固定在某一个颜色，司机在某个时刻到达路口，可能遇到红灯、绿灯或黄灯（在变灯过程中）。 详解：虽然红灯是可能出现的颜色之一，但并不是每次到达路口都一定是红灯，所以“看到信号灯是红色”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件。 9．“掷一颗均匀的骰子，它落地时朝上的数字是2”是（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．以上均不正确 答案：C 分析：骰子有 6 个面，落地时可能朝上的数字是 1、2、3、4、5、6，数字 2 可能出现也可能不出现。 详解：事件“朝上的数字是 2”可能发生，但不必然发生，因此属于随机事件。 10．下列现象是随机现象的是( ) A.若都是实数,则 B.没有空气和水,人也可以生存下去 C.小张明天能钓到鱼 D.在中,若为,则 答案： C 分析：随机现象是在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象。 详解： A. 若  都是实数，则  —— 这是实数加法交换律，必然成立，是必然现象。 B. 没有空气和水，人也可以生存下去 —— 依据现有科学知识，这不可能发生，是不可能现象。 C. 小张明天能钓到鱼 —— 可能钓到，也可能钓不到，结果不确定，是随机现象。 D. 在  中，若 ，则  —— 根据正弦定理，在三角形中  必然成立（ 且正弦在该区间单调先增后减？需注意在三角形内角满足小于 180°，正弦函数在  上，当 ，若  或一大一小需分析。但一般教材结论：由正弦定理 ，得 ，因为边长与对角正弦值成正比。所以这是必然现象。） 因此只有 C 是随机现象。 11．将一枚均匀的硬币向上抛20次，则“正面朝上的次数恰有10次”是（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．以上均不正确 答案：C 分析：抛 20 次硬币，正面朝上的次数可能是 0 到 20 之间的任意整数，恰有 10 次可能发生，但不必然发生。 详解：事件“正面朝上的次数恰有 10 次”可能发生（概率不为 0），也可能不发生（如出现 9 次或 11 次正面），因此是随机事件。 12．抛掷一枚骰子，事件“朝上一面的点数小于5”所包含的样本点有 个，分别是 . 答案：样本点有 4 个，分别是 。 分析：抛一枚骰子，朝上一面的点数可能为 1, 2, 3, 4, 5, 6。 事件“点数小于 5”即点数 ∈ {1, 2, 3, 4}。 详解：样本点：共 4 个。 13． 已知下列事件： ①太阳东升西落； ②买彩票中奖； ③下个路口的红绿灯是绿灯； ④在装有5个白球和7个黑球的口袋中，摸到的是黄球． 其中，随机事件是 ，必然事件是 ，不可能事件是 . 答案：随机事件是 ②③，必然事件是 ①，不可能事件是 ④。 分析： 根据事件的确定性分类： 必然事件：一定发生 不可能事件：一定不发生 随机事件：可能发生也可能不发生 详解： ① 太阳东升西落：必然发生，是必然事件。 ② 买彩票中奖：可能中也可能不中，是随机事件。 ③ 下个路口的红绿灯是绿灯：可能绿灯也可能红灯或黄灯，是随机事件。 ④ 装有5个白球和7个黑球的口袋中，摸到黄球：口袋中没有黄球，一定不会发生，是不可能事件。 14．在100件产品中，有98件是一级品，有2件是二级品，在这100件产品中任意选出5件，则下列事件： ①选出的产品全部是一级品； ②选出的产品全部是二级品； ③选出的产品不全是一级品； ④选出的产品中，不是一级品的件数小于5． 其中 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件. 答案：必然事件是 ④，不可能事件是 ②，随机事件是 ①③。 分析：事件 ①：可能全是一级品，也可能包含二级品，是随机事件。 事件 ②：二级品只有 2 件，不可能选出 5 件全是二级品，是不可能事件。 事件 ③：“不全是一级品”意味着至少有一件二级品，可能发生（如抽到 1 或 2 件二级品），也可能不发生（5 件全是一级品），是随机事件。 事件 ④：不是一级品的件数只可能是 0、1、2（因为总共只有 2 件二级品），所以小于 5，是必然事件。 详解： 必然事件：④ 不可能事件：② 随机事件：①③ 15．若甲、乙、丙三名同学随机站成一排，则样本空间可记为 . 答案：样本空间可记为 分析：三名同学随机站成一排，相当于三个不同元素的排列。 详解：可用姓名表示，列出所有顺序即可作为样本空间。 16．把3枚均匀的硬币一起抛出，则出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是 . 答案：概率是 。 分析：三枚硬币抛出，每枚硬币正面朝上概率 ，反面朝上概率 ，且各枚结果独立。 样本点总数 。。 详解：概率是 。 17．袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9从中随机摸出一个球。 （1）写出试验的样本空间 （2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数” 答案： （1）样本空间 （2） 分析： （1）从 9 个标号不同的球中摸出一个球，可能结果是标号 1 到 9，因此样本空间就是这 9 个标号的集合。 （2）事件 A：号码小于 5，即 1,2,3,4； 事件 B：号码大于 4，即 5,6,7,8,9； 事件 C：号码是偶数，即 2,4,6,8。 详解： 直接根据题目定义写出集合即可。 18. 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌均匀后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 答案：共有 10 个可能结果，这些结果可以表示为 分析：每个球标号不同且被摇到的可能性相同，每次只摇出一个球，观察其号码。可能的结果就是球的标号 0 到 9。 详解：因为球共有 10 个，分别标号为 0, 1, 2, …, 9，所以摇出的球的号码可能是其中任何一个。 样本空间： 共 10 个可能结果。 19. 已知盒子中有大小相同的4个球，编号分别是1,2,3,4，从中不放回的一次取出两球，记下两球的编号. （1）写出该试验的样本空间； （2）指出下列事件中的必然事件、不可能事件和随机事件： 事件A=｛两球的编号相同｝； 事件B=｛两球的编号都不大于4}； 事件C=｛两球的编号是1和2}． 答案： （1）样本空间： （2） 事件 ：不可能事件。 事件 ：必然事件。 事件 ：随机事件。 分析： （1）不放回取两球，有序记录编号，即排列。 （2）判断依据： 两球编号不可能相同（因为不放回），故  不可能发生。 所有球编号都不大于 4，任意两球编号自然都不大于 4，故  必然发生。 取到 (1,2) 或 (2,1) 可能发生也可能不发生，故  是随机事件。 详解： （1）从 4 个不同编号球中不放回取两个，记录顺序。 结果数为  种，列出所有有序对即可。 （2）（不可能事件）。 （必然事件）。 （随机事件）。 20. 连续抛掷3枚硬币，观察向上一面的正反情况． （1）写出样本空间； （2）写出事件A“至少有一个正面向上”包含的样本点，共多少个？ 答案：（1）样本空间： （H为正，T为反） （2）事件 “至少有一个正面向上” 包含的样本点为除了  以外的所有情况，共  个。 分析： 每枚硬币有正（H）、反（T）两种结果，三枚硬币结果有序排列，共有  种可能，全部列出即为样本空间。 “至少有一个正面”即排除全反的情况。 详解： （1）三枚硬币按顺序抛掷，记录正反结果，枚举即可。 （2）去掉 （即 ），其余 7 种都属于事件 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $