专题17 空间几何体的体积 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题17 空间几何体的体积 1、 知识梳理 1、圆柱、圆锥的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr²h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr²h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 2、棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 1)棱柱的高是指两个底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． 2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh （2）棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点 与 垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh 3、球的体积公式 球的体积公式V＝πR³  . 二、题型精练 题型1 求多面体的体积 【典例1】．已知正方体的棱长为2，则该正方体外接球的体积为 ( ) A. B. C. D. 【典例2】．已知正四棱锥S-ABCD的棱长都是2，求该棱锥的体积。 题型2 求旋转体的体积 【典例1】．圆锥的母线l的长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是（ ） A.π B. C. D. 【典例2】. 已知圆柱的高为4，底面半径为2，求该圆柱的体积 三、知识检测 1．设正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则此棱柱的体积为 ( ) A.6 B.3 C.18 D.6 2．正四棱柱的底面边长为2．侧棱长为3，则其体积为 ( ) A.12 B.24 C.2 D.6 3．已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 7.已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 9．已知一个长方体的长、宽、高分别是6,3,2，则它的体积是 ( ) ． A.3 B.6 C.9 D.12 10．已知球的体积与其表面积的数值相等，则这个球的半径等于 ( )． A.3 B.6 C.3 D. 11．若一个柱体和一个锥体的底面积和高分别相等，则此柱体和锥体的体积之比为 ( ) . A.1:1 B.2:1 C.3:1 D.3:2 10．若圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 11．把一个棱长为4cm的正方体木块削成一个体积最大的圆柱体，则该圆柱的体积是 ( ) cm3． A.50.24 B. 100.48 C.64 D.32 12．一个圆锥的底面半径是3cm，高是2cm，则其体积是 cm3. 13．如果要使球的体积扩大到原来的8倍，那么球的直径要变为原来的 倍 14．若三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为1,2,3，则此棱锥的体积为 . 15．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则此圆锥的体积为 16．若三个球的半径之比是1:2:3，那么其中最大球的体积是其余两球体积和的 倍. 17．一个正三棱锥底面边长是6，侧棱长是，求这个三棱锥的体积． 18. 一个圆锥形的沙堆，底面周长是12m，高是1m，把这堆沙铺在长5m、宽2m的长方体沙坑里，能铺多厚（精确到1cm)？ 19．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. 求挖掉的直三棱柱的体积； 20. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，. (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 空间几何体的体积 1、 知识梳理 1、圆柱、圆锥的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr²h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr²h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 2、棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 1)棱柱的高是指两个底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． 2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh （2）棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点 与 垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh 3、球的体积公式 球的体积公式V＝πR³  . 二、题型精练 题型1 求多面体的体积 【典例1】．已知正方体的棱长为2，则该正方体外接球的体积为 ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析：正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。 棱长 ，体对角线 ，半径 。 体积 。 详解： 【典例2】．已知正四棱锥S-ABCD的棱长都是2，求该棱锥的体积。 答案：棱锥的体积为  分析：正四棱锥所有棱长均为 2，底面是边长为 2 的正方形，侧面是等边三角形。 可先求底面正方形面积，再求高（顶点 S 到底面的距离），最后代入棱锥体积公式 。 详解： 1. 底面面积 底面正方形边长 ，面积： 2. 高 底面中心 O 到顶点 A 的距离： 侧棱 ，在直角三角形  中： 3. 体积 题型2 求旋转体的体积 【典例1】．圆锥的母线l的长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是（ ） A.π B. C. D. 答案：A 分析：已知母线 ，侧面展开图的圆心角 （即 120°），先用扇形弧长等于底面周长求出底面半径 ，再用勾股定理求高 ，最后代入体积公式 。 详解： 1. 底面半径  扇形弧长 。 弧长等于底面周长 ，所以： 2. 高  3. 体积  【典例2】. 已知圆柱的高为4，底面半径为2，求该圆柱的体积 答案：圆柱的体积为 。 分析：圆柱体积公式 ，其中  为底面半径， 为高。 详解：已知 ，， 三、知识检测 1．设正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则此棱柱的体积为 ( ) A.6 B.3 C.18 D.6 答案：C 分析：正六棱柱底面是正六边形，先求底面积，再乘高（侧棱长）得体积。 详解： 1. 底面正六边形面积 边长为 2，面积公式 ： 2. 体积 高（侧棱长）： 2．正四棱柱的底面边长为2．侧棱长为3，则其体积为 ( ) A.12 B.24 C.2 D.6 答案：A 分析：正四棱柱底面是正方形，边长为 ，底面积 ，高 ，体积 。 详解： 3．已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由圆锥底面半径 、侧面积是底面积的  倍，可求出圆锥的高 。再求底面圆内接正方形的边长和面积，最后用棱锥体积公式计算。 详解： 1. 圆锥的母线和高 圆锥底面半径 ，侧面积 ，底面积 。 由  得： 圆锥高： 2. 内接正方形边长与面积 正方形内接于半径  的圆，对角线长 ，设边长为 ，则 底面积： 3. 正四棱锥的高 四棱锥顶点与圆锥顶点重合，底面与圆锥底面在同一平面，所以高 。 4. 体积 4. 已知圆柱的底面半径 ，高 ，则此圆柱的体积是（ ） A.  B.  C.  D.  答案：C 分析：根据圆柱体积公式计算 解析： 圆柱体积公式： 代入 ，： 5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析： 详解： 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2:1．不妨设两个圆锥的母线长为l=3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以，得.由勾股定理得，，所以 6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 答案：B 分析：已知球体积为 ，可求得球半径 。 两圆锥底面为球的同一截面圆，顶点均在球面上且位于截面两侧，因此两个圆锥的高分别为  和 ，其中  为球心到截面的距离。 已知两圆锥高之比为 ，由此可解得  及截面半径 ，进而计算两圆锥体积之和。 详解： 求球半径  由高之比求  设高之比 ，并令 ，，则 ，则 计算体积和 7.已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：看详解 详解：设球的半径为R，ΔABC外接圆的半径为r， 在ΔABC中，，则，所以r=1, 因为球O的表面积为16π，所以，解得R=2（负值舍去），所以球心O到ΔABC的距离，即三棱锥O-ABC的高为，则，所以 8．(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 答案：CD 分析：根据圆锥侧面积，圆柱体积，球表面积等公式计算 详解： 球半径为R，圆柱侧面积为A错误； 圆锥侧面积为，表面积为，B错误； 球的表面积为，C正确； ，D正确. 9．已知一个长方体的长、宽、高分别是6,3,2，则它的体积是 ( ) ． A.3 B.36 C.9 D.12 答案：B 分析：长方体体积 。 详解： 10．已知球的体积与其表面积的数值相等，则这个球的半径等于 ( )． A.3 B.6 C.4 D. 答案：A 分析：球的体积 ，表面积 。 由  得方程： 详解： 若 ，两边除以 ： 因此半径 。 11．若一个柱体和一个锥体的底面积和高分别相等，则此柱体和锥体的体积之比为 ( ) . A.1:1 B.2:1 C.3:1 D.3:2 答案：C 分析：柱体体积 ，锥体体积 ，其中  为底面积， 为高。 详解： 即 。 10．若圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 答案：C 分析：圆锥母线 ，侧面展开图圆心角 。 先由扇形弧长公式求底面半径 ，再利用勾股定理求圆锥高 ，最后代入圆锥体积公式 。 详解： 1. 底面半径  扇形弧长等于底面周长： 2. 高  3. 体积  11．把一个棱长为4cm的正方体木块削成一个体积最大的圆柱体，则该圆柱的体积是 ( ) cm3． A.50.24 B. 100.48 C.64 D.32 答案：A 分析：正方体棱长 ，最大圆柱的直径和高都等于 。 详解： 圆柱底面半径 ，高 。 体积： 数值 。 12．一个圆锥的底面半径是3cm，高是2cm，则其体积是 cm3. 答案：  分析：圆锥体积公式 。 详解： 单位：。 13．如果要使球的体积扩大到原来的8倍，那么球的直径要变为原来的 倍 答案：球的直径变为原来的  倍 分析：球的体积 。体积扩大到原来的  倍，则半径变为原来的  倍，直径同样变为原来的  倍。 详解： 直径比： 14．若三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为1,2,3，则此棱锥的体积为 . 答案：三棱锥的体积为 。 分析：三条侧棱两两垂直，可将它们作为从一个顶点出发的长方体的三条棱，则三棱锥体积为该长方体体积的 。 详解： 三条两两垂直的棱长 ，对应长方体体积 。 三棱锥体积： 15．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则此圆锥的体积为 答案：圆锥的体积为 。 分析：已知圆锥底面半径 ，母线 ，先求高 ，再用体积公式 。 详解： 16．若三个球的半径之比是1:2:3，那么其中最大球的体积是其余两球体积和的 倍. 答案：最大球的体积是其余两球体积和的  倍。 分析：球的体积与半径立方成正比。设三个球的半径比为 ，则体积比为 。 设三球体积分别为 ，则最大球体积为 ，其余两球体积和为 ，两者之比为 。 详解： 最大球体积： 其余两球体积和： 倍数： 17．一个正三棱锥底面边长是6，侧棱长是，求这个三棱锥的体积． 答案：三棱锥的体积为 。 分析：正三棱锥  底面边长为 6，侧棱 。 先求底面正三角形外接圆半径（即底面中心到顶点距离），再在直角三角形  中求高 ，最后用体积公式 。 详解： 1. 底面正三角形面积 边长 ，面积： 2. 底面中心到顶点距离  正三角形外接圆半径： 即 。 3. 高  在直角三角形  中，， 4. 体积  18. 一个圆锥形的沙堆，底面周长是12m，高是1m，把这堆沙铺在长5m、宽2m的长方体沙坑里，能铺多厚（精确到1cm)？ 答案：能铺约  厚。 分析：圆锥沙堆底面周长已知，可求底面半径，进而得圆锥体积。将沙铺成长方体形状，体积不变，利用长方体体积公式求厚度。 详解： 1. 圆锥底面半径 底面周长 ， 2. 圆锥体积 高 ， m3 3. 长方体沙坑厚度 设厚度为 （米），长方体长 ，宽 ，体积不变： 4. 精确到厘米 19．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. 求挖掉的直三棱柱的体积； 答案：16 分析：见详解 详解：记球心为O,BC中点为E，连接AO，OE, AE, 由球的性质知BC是ΔABC所在小圆直径，是一个长为4的正方形， 因此OE=AE=2，球半径为R=AO= 挖掉的直三棱柱的体积×2×4=16。 20. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，. (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积. （1）答案： 3 分析：见详解 详解：① 底面的内切圆半径 底面是直角三角形： cm2 内切圆半径公式： ② 原三棱柱体积 cm3 ③ 圆柱体积 圆柱上下底是底面三角形的内切圆，半径 ，高等于棱柱高 ： 3 ④ 剩余体积 3 （2）答案：2； 分析：见详解 详解： ① 外接球半径 底面是直角三角形，外接圆半径（直角三角形的外心在斜边中点）： cm 设外接球球心在直三棱柱的上下底面中心的中点（底面外心即斜边中点，沿垂直方向移动半个高到三棱柱中心）。 球心到底面外心的距离： 外接球半径 ： ② 外接球表面积 cm2 ③ 内切球的存在条件与半径 一个直棱柱存在内切球（与所有面相切）的充要条件是：底面内切圆半径等于棱柱高的一半。 本题： 恰好相等，因此存在内切球，半径： ④ 内切球体积 3 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $