专题16 空间几何体的表面积 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题16 空间几何体的表面积 一、知识梳理 （1）空间几何体的表面积 1）多面体的表面积 a )平面展开图：多面体沿着它的一些棱剪开（保持连接）而形成平面图形，这个平面图形就是多面体的平面展开图. b )直棱柱的表面积 ①直棱柱的侧面积：直棱柱的侧面展开图是矩形.这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h.直棱柱的侧面积是S直棱柱侧= ch ②直棱柱的表面积：S=S直棱柱侧+2S底 c）正棱锥的表面积 ①正棱锥的侧面积：正棱锥的底面周长为c，斜高为h’,则 . ②正棱锥的表面积：S=S正棱锥侧+ S底 2） 旋转体的表面积 a )圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽等于圆柱的母线长l，因此圆柱的侧面积是S圆柱侧= 2 . ②圆柱的表面积：S=S圆柱侧十 2S底. b）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径于圆锥的母线长l，因此圆锥的侧面积是：S圆锥侧. ②圆锥的表面积：S=S圆锥侧十 S底 . c）球的表面积若球的半径为R，则球的表面积是S= · 二、题型精练 题型1 求多面体的表面积 【典例1】．长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 答案： C 分析：长方体的外接球直径等于长方体的体对角线。已知长方体的三条棱长分别为 3、4、5，可先求体对角线长度，再得半径，最后代入球的表面积公式计算。 详解：设长方体三条棱长分别为 a=3，b=4，c=5。 体对角线长： 外接球半径：R=​. 球的表面积公式：= 【典例2】．已知一个正方体的表面积是150，则这个正方体的棱长是 . 答案：  分析：正方体有 6 个面，每个面是正方形。设棱长为 ，则表面积 。 详解：由 ，得 题型2 求旋转体的表面积 【典例1】．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积等于（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：轴截面是等边三角形，设其边长为 （即圆锥底面直径），则母线 。由等边三角形面积公式求出 ，再代入圆锥表面积公式 。 详解：设等边三角形边长为 ，则底面半径 ，母线 。 等边三角形面积公式： 已知面积 ，得： 母线 。 圆锥表面积： 【典例2】.圆锥的母线长为3，将侧面展开后所成的扇形的圆心角等于60°，那么这个圆锥的底面积是 ( ) . A.4 B.2 C. D. 答案：D 分析：侧面展开后扇形的圆心角 ，母线 。扇形弧长等于圆锥底面周长 ，可求出 ，再算底面积 。 详解：扇形弧长： 弧长等于底面周长： 底面积： 三、知识检测 1．已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的侧面积为 ( ) ． A.54 B.36 C.56 D.58 答案：B 分析：圆柱侧面积公式为 ，其中  为底面半径， 为母线长（高）。 详解：底面半径 ，高（母线）。 2．已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（    ） A．8 B． C． D． 答案:B 分析：设球的半径为 ，则圆锥的母线 ，底面圆直径 。 分别求球的表面积和圆锥表面积，再求比值。 详解: 球的表面积 圆锥的表面积底面半径 ，母线 。 侧面积： 底面积： 圆锥总表面积： 表面积之比 3．在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 答案:C 分析：先求解几何体面积，再去求圆柱侧面积，做差即可 解析:所求几何体的侧面积为， 上下底面面积为， 挖去圆柱的侧面积为， 则所求几何体的表面积为 4．已知高为a的直四棱柱的底面是长为3a，宽为2a的矩形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 答案: 根据直四棱柱的结构特征，以及棱柱的表面积公式求解. 直四棱柱的上下底面积为， 直四棱柱的侧面积为， 因此直四棱柱的表面积为， 5．棱长都是2的三棱锥的表面积为（ ） A． B．     C． D． 答案:C 分析:根据棱锥的表面积公式即可求解. 详解:因为三棱锥的棱长都是，其四个面均为全等的正三角形， 正三角形的面积为， 所以三棱锥的表面积为. 6．一个长方体的通风管，长 8 米，横截面是边长为 米的正方形，做这个通风管至少需要多少平方米的铁皮（ ）. A． B． C． D． 答案:C 分析：根据长方体的侧面积公式即可求解. 详解：因为通风管为没有两端面的长方体，又长 8 米，横截面是边长为 米的正方形，所以长方体侧面积平方米. 7．正三棱锥底面边长为a，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据正三棱锥的特征，先求出侧面上的高，结合三角形面积公式，继而求出正三棱锥的侧面积. 详解： 正三棱锥中，顶点在底面的投影是点，显然是等边的中心， 连接交于， 故正三棱锥底面边长为，高为， 所以底面上一边上的高为，, 斜高为， 所以此正三棱锥的侧面积为. 8．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点，则爬行的最短路线长为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由条件将三棱柱的侧面展开，根据两点间距离最短求最小值. 详解：正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形， 矩形的长为3，宽为1，则其对角线的长为最短路程， 因此蚂蚁爬行的最短路程为：． 9．正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，则这个正三棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由正三棱柱的结构特征，计算侧面积. 详解：正三棱柱的侧面积为， 10．已知一个直四棱柱的底面周长为4cm，高为5cm，则此直四棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由直四棱柱的侧面积公式，即底面周长乘以高计算即可. 详解：因为直四棱柱的底面周长为4cm，高为5cm， 所以此直四棱柱的侧面积为. 11．圆锥的母线长为2，侧面展开图的中心角为90°，则圆锥的底面积是（    ） A．4 B．2 C． D． 答案：D 分析：侧面展开图的中心角 ，母线 。扇形弧长等于圆锥底面周长 ，由此求出底面半径 ，再计算底面积 。 详解：扇形弧长： 由  得： 底面积： 12．一个正三棱锥的所有棱长都是1，则它的表面积是 . 答案： 分析：正三棱锥底面是边长为 1 的正三角形，侧面是三个边长为 1 的正三角形，因此四个面都是全等的正三角形，每个面积 ，乘以 4 即得表面积。 详解：正三棱锥所有棱长均为 1，则底面和侧面都是边长为 1 的正三角形。 一个正三角形面积： 共有 4 个这样的面： 13．等边圆柱（轴截面是正方形）的轴截面面积是2，则它的侧面积是 . 答案：  分析：等边圆柱的轴截面是正方形，设圆柱底面半径为 ，高 ，则由正方形条件 。轴截面面积  代入可解得  和 ，再算侧面积 。 详解：设底面半径为 ，高 。 轴截面面积： 已知 ，得： 侧面积： 14．已知一个正四棱锥的高和底面边长都为4cm，它的侧面积是______。 答案： 分析：正四棱锥的高 ，底面边长 。斜高  可用直角三角形（高、底面中心到边中点的距离为两直角边）求得，再算一个侧面面积，乘以 4 得总侧面积。 详解： 底面中心到边中点距离 。 斜高： 一个侧面（等腰三角形）面积： 总侧面积： 15．已知一个与球心距离为2的平面截球所得的圆面面积是，这个球的表面积是 . 答案： 分析：设球的半径 ，平面截球所得圆半径为 ，已知圆面积  得 。球心到截面的距离 ，由勾股关系  求出 ，再求球的表面积 。 详解：由圆面积  得 。 距离 ，由  得： 球表面积： 16． 若球的表面积扩大为原来的n倍，求它的半径比原来增加的倍数. 答案  分析：球的表面积公式为 。设原半径为 ，现半径为 ，表面积变为原来的  倍，即 ，得 。增加的倍数即 。 详解：设原半径为 ，现半径为 。 半径增加倍数： 17．一个三棱柱形状的帐篷，底面是直角三角形，两条直角边分别为 3 米和 4 米，帐篷的高为 2.5 米. (1)求这个帐篷的占地面积（即底面面积）是多少平方米？ (2)若要给帐篷的侧面和上底面都铺上防水布，需要防水布的总面积是多少平方米？ 答案:(1)6 (2)36 分析:（1）根据三棱柱的结构特征和三角形的面积公式即可求解. （2）根据棱柱的表面积公式即可求解. 详解:（1）因为三棱柱的底面是直角三角形，两条直角边分别为 3 米和 4 米， 所以三棱柱的底面积为平方米. （2）因为底面直角三角形两条直角边分别为 3 米和 4 米， 所以底面直角三角形斜边为米， 所以底面三角形的面积为平方米， 侧面积为平方米， 所以总面积为平方米. 18. 已知圆锥的底面周长为6，高为4，一个球与该圆锥的体积相等，求球的表面积. 答案：球的表面积为 （或 ）。 分析：由圆锥底面周长求半径，进而求体积。设球半径 ，根据球体积与圆锥体积相等列方程解出 ，再代入球表面积公式。 详解： 圆锥体积底面周长 ，高 。 圆锥体积： 球半径设球半径 ，体积 。 球表面积 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 空间几何体的表面积 一、知识梳理 （1）空间几何体的表面积 1）多面体的表面积 a )平面展开图：多面体沿着它的一些棱剪开（保持连接）而形成平面图形，这个平面图形就是多面体的平面展开图. b )直棱柱的表面积 ①直棱柱的侧面积：直棱柱的侧面展开图是矩形.这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h.直棱柱的侧面积是S直棱柱侧= ch ②直棱柱的表面积：S=S直棱柱侧+2S底 c）正棱锥的表面积 ①正棱锥的侧面积：正棱锥的底面周长为c，斜高为h’,则 . ②正棱锥的表面积：S=S正棱锥侧+ S底 2） 旋转体的表面积 a )圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽等于圆柱的母线长l，因此圆柱的侧面积是S圆柱侧= 2 . ②圆柱的表面积：S=S圆柱侧十 2S底. b）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径于圆锥的母线长l，因此圆锥的侧面积是：S圆锥侧. ②圆锥的表面积：S=S圆锥侧十 S底 . c）球的表面积若球的半径为R，则球的表面积是S= · 二、题型精练 题型1 求多面体的表面积 【典例1】．长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知一个正方体的表面积是150，则这个正方体的棱长是 . 题型2 求旋转体的表面积 【典例1】．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】.圆锥的母线长为3，将侧面展开后所成的扇形的圆心角等于60°，那么这个圆锥的底面积是 ( ) . A.4 B.2 C. D. 三、知识检测 1．已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的侧面积为 ( ) ． A.54 B.36 C.56 D.58 2．已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（    ） A．8 B． C． D． 3．在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．已知高为a的直四棱柱的底面是长为3a，宽为2a的矩形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．棱长都是2的三棱锥的表面积为（ ） A． B．     C． D． 6．一个长方体的通风管，长 8 米，横截面是边长为 米的正方形，做这个通风管至少需要多少平方米的铁皮（ ）. A． B． C． D． 7．正三棱锥底面边长为a，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点，则爬行的最短路线长为（ ） A． B． C． D． 9．正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，则这个正三棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 10．已知一个直四棱柱的底面周长为4cm，高为5cm，则此直四棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 11．圆锥的母线长为2，侧面展开图的中心角为90°，则圆锥的底面积是（    ） A．4 B．2 C． D． 12．一个正三棱锥的所有棱长都是1，则它的表面积是 . 13．等边圆柱（轴截面是正方形）的轴截面面积是2，则它的侧面积是 . 14．已知一个正四棱锥的高和底面边长都为4cm，它的侧面积是______。 15．已知一个与球心距离为2的平面截球所得的圆面面积是，这个球的表面积是 . 16． 若球的表面积扩大为原来的n倍，求它的半径比原来增加的倍数. 17．一个三棱柱形状的帐篷，底面是直角三角形，两条直角边分别为 3 米和 4 米，帐篷的高为 2.5 米. (1)求这个帐篷的占地面积（即底面面积）是多少平方米？ (2)若要给帐篷的侧面和上底面都铺上防水布，需要防水布的总面积是多少平方米？ 18. 已知圆锥的底面周长为6，高为4，一个球与该圆锥的体积相等，求球的表面积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $