专题15 空间几何体的三视图与直观图 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题15 空间几何体的三视图与直观图 一、知识梳理 （1）空间几何体的主视图与直观图 1）在投影中，若投影线相互平行，这样的投影我们称为平行投影.其中，投影线倾斜于投影面的称为斜投影，投影线垂直于投影面称为正投影. 2）三视图，直观图 a）三视图包括主视图、左视图、俯视图． b）三视图的位置关系 ①主视图在上方； ②俯视图在主视图的正下方； ③左视图在主视图的正右方. c）三视图的投影关系（简称长对正，高平齐，宽相等） ①长对正：主视图与俯视图一样长； ②高平齐：主视图与左视图一样高； ③宽相等：俯视图与左视图一样宽. d）三视图的方位关系 ①主视图反映物体上、下、左、右； ②左视图反映物体上、下、前、后； ③俯视图反映物体左、右、前、后. e）直观图：当投影线和投影面成适当的角度时，一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以直观地表示这个空间图形.用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图. （2）用斜二侧画法作水平放置的平面图形的直观图 1）一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下： a）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点把x轴和y轴画成对应的x＇轴和y＇轴，使（或135°),x＇轴和轴确定的平面表示水平平面. b）已知图形中与y轴平行（或重合）的线段，在直观图中分别画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来的一半. c）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴和y轴平行（或重合）的线段. 2）一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下： a）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留轴和轴）. b）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴，过x＇轴与轴的交点，作z轴对应的z＇轴，且z＇轴垂直于x＇轴. 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连接有关线段. c）擦去有关辅助线，并把被面遮挡成的线段改成虚线（或擦除）. 二、题型精练 题型1 空间几何体的直观图 【典例1】．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【典例2】．若一个几何体的主视图为三角形，则这个几何体不可能是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．四棱柱 题型2 空间几何体的斜二测画法 【典例1】．如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，若，则的形状是（    ） A．等腰锐角三角形 B．不等腰的锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【典例2】. 用斜二测画法画平面图形的直观图，下列对其中的线段说法错误的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 三、知识检测 1．用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是 ( ) A.①② B.① C.③④ D.①②③④ 2．若某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．四棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 3．若一个几何体的三视图如图所示，则组成该组合体的简单几何体是（    ） A.四棱柱和圆锥 B.长方体和圆柱 C.圆柱和圆锥 D.正方体和圆锥 4．下列几何体中，正视图、左视图和俯视图都相同的是 （ ） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.球 5．关于斜二测画法，下列说法不正确的是（ ） A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x＇轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y＇轴，长度变为原来的 C.画与直线坐标系xOy对应的时，必须是45° D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 6．如图，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图（    ） A．2 B．1 C． D．2（1+ 7．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为 ( ) A．1 B． C． D．2 8.（2023年山东省春季高考）几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（ ） A. 棱柱 B．圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 9．已知一几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 .    10．如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为 . 11．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是 12．已知ΔABC是边长为a的正三角形，那么ΔABC平面直观图的面积是 . 13．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是 .    14． 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰与上底均为 的等腰梯形，则原来这个平面图形的面积是 ． 15．一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ______。 16．如图是一个平面图形的直观图，斜边，求原平面图形的面积．    17． 一个菱形的边长为4cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，求此菱形的直观图的面积. 18．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 空间几何体的三视图与直观图 一、知识梳理 （1）空间几何体的主视图与直观图 1）在投影中，若投影线相互平行，这样的投影我们称为平行投影.其中，投影线倾斜于投影面的称为斜投影，投影线垂直于投影面称为正投影. 2）三视图，直观图 a）三视图包括主视图、左视图、俯视图． b）三视图的位置关系 ①主视图在上方； ②俯视图在主视图的正下方； ③左视图在主视图的正右方. c）三视图的投影关系（简称长对正，高平齐，宽相等） ①长对正：主视图与俯视图一样长； ②高平齐：主视图与左视图一样高； ③宽相等：俯视图与左视图一样宽. d）三视图的方位关系 ①主视图反映物体上、下、左、右； ②左视图反映物体上、下、前、后； ③俯视图反映物体左、右、前、后. e）直观图：当投影线和投影面成适当的角度时，一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以直观地表示这个空间图形.用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图. （2）用斜二侧画法作水平放置的平面图形的直观图 1）一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下： a）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点把x轴和y轴画成对应的x＇轴和y＇轴，使（或135°),x＇轴和轴确定的平面表示水平平面. b）已知图形中与y轴平行（或重合）的线段，在直观图中分别画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来的一半. c）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴和y轴平行（或重合）的线段. 2）一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下： a）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留轴和轴）. b）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴，过x＇轴与轴的交点，作z轴对应的z＇轴，且z＇轴垂直于x＇轴. 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连接有关线段. c）擦去有关辅助线，并把被面遮挡成的线段改成虚线（或擦除）. 二、题型精练 题型1 空间几何体的直观图 【典例1】．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】作出三个几何体的三视图即可判断. 【详解】①正方体的三视图： ②圆锥的三视图： ③正四棱锥的三视图： 所以，①正方体的三个视图都一样，②圆锥的主视图与左视图一样，③正四棱锥的主视图与左视图一样． 【典例2】．若一个几何体的主视图为三角形，则这个几何体不可能是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．四棱柱 【答案】D 【分析】根据简单几何体的三视图逐个分析即可. 【详解】当三棱柱的底面对着观测者时，主视图为三角形，故A不符合题意； 底面水平放置的三棱锥的主视图为一个三角形，故B不符合题意； 底面水平放置的圆锥的主视图为一个三角形，故C不符合题意； 四棱柱的主视图无论如何放置均不是三角形，故D符合题意. 题型2 空间几何体的斜二测画法 【典例1】．如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，若，则的形状是（    ） A．等腰锐角三角形 B．不等腰的锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据题意，结合斜二测画法，即可求解. 【详解】因为，又， 所以在中，，且， 所以该三角形为直角三角形． 【典例2】. 用斜二测画法画平面图形的直观图，下列对其中的线段说法错误的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的概念判断即可. 【详解】根据斜二测画法可知，在原图中平行或相交的线段，在直观图中也平行或相交，但相对应的角度会改变． 三、知识检测 1．用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是 ( ) A.①② B.① C.③④ D.①②③④ 【答案】A。 【分析】斜二测画法是一种空间图形的直观图画法，平行性保持，但角度和长度会改变。据此判断各图形的直观图类型。 【详解】 三角形在斜二测画法中仍是三角形（三点仍为三点，不会变成其他多边形），①正确。 平行四边形两组对边平行，斜二测保持平行性，因此画出来仍是平行四边形，②正确。 正方形直角在斜二测中可能不再是直角，所以直观图不一定是正方形，③错误。 菱形对角线垂直的特征在斜二测中不一定保持，且邻边相等也可能不保持，因此直观图不一定是菱形，④错误。 2．若某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．四棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据圆柱结构特征和三视图特征求解即可. 【详解】由俯视图可知该几何体不可能是四棱柱，故选项A错误，由主视图和左视图可知，该几何体不可能是球，圆锥，故选项B、D错误。 3．若一个几何体的三视图如图所示，则组成该组合体的简单几何体是（    ） A.四棱柱和圆锥 B.长方体和圆柱 C.圆柱和圆锥 D.正方体和圆锥 【答案】A 【分析】根据四棱柱和圆锥结构特征和三视图特征求解即可. 【详解】由三视图可知，该组合体的上部分为圆锥，下部分为四棱柱。 4．下列几何体中，正视图、左视图和俯视图都相同的是 （ ） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.球 【答案】D 【分析】三视图的形状取决于几何体的对称性，若各方向轮廓相同，三视图就相同。球在任何方向投影都是圆，所以三视图相同。 【详解】 A. 圆柱：正视图和左视图是矩形（可能相同，但俯视图是圆，与矩形不同）。 B. 圆锥：正视图和左视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心点或不带，取决于是否画顶点），不相同。 C. 三棱锥：三视图一般不同，可能有两个视图是三角形但形状不同，俯视图可能是带对角线的三角形或其它形状。 D. 球：所有方向投影都是圆，因此三视图相同。 5．关于斜二测画法，下列说法不正确的是（ ） A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x＇轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y＇轴，长度变为原来的 C.画与直线坐标系xOy对应的时，必须是45° D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 【答案】C 【分析】斜二测画法的规则：平行于 x 轴的线段在直观图中平行于 x′ 轴且长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中平行于 y′ 轴且长度减半；x′O′y′ 可以是 45°，也可以是 135°，不一定是 45°；选轴不同可能得到不同的直观图。 【详解】 A. 正确，符合“横不变”的规则。 B. 正确，符合“纵减半”的规则。 C. 不正确，因为 ∠x′O′y′ 可以是 45°，也可以是 135°（在斜二测中通常用 45° 或 135°）。 D. 正确，坐标系 x′O′y′ 选取不同，直观图方向不同，但符合斜二测比例关系即可。 6．如图，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图（    ） A．2 B．1 C． D．2（1+ 【答案】A 【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积. 【详解】由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以，对应原图形平行四边形的高为： , 所以原图形的面积为： 7．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为 ( ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据斜二测画法，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，即可求出原图形的面积. 【详解】法一：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，设原来梯形的上底为a，下底为b，高为h， 则直观图中等腰梯形的高为 因为直观图的面积为 ，所以 所以原梯形的面积为2 法二：由原图与直观图的面积关系可得S原图 8.（2023年山东省春季高考）几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（ ） A. 棱柱 B．圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥结构特征和三视图特征求解即可. 【详解】由三视图可知，该几何体为圆锥。 9．已知一几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 .    【答案】 【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，再利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】根据三视图可知，该几何体为三棱锥， 底面为直角三角形，底为，高为，所以底面积为； 又由主视图和左视图可知，该三棱锥的高为， 所以该几何体的体积为， 10．如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为 . 【答案】 【分析】根据斜二次画法还原图形，再由梯形面积公式计算即可解得. 【解析】 因为，， ， 所以，， 所以． 11．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是 、 【答案】 【分析】根据斜二次画法还原图形，再由平行四边形面积公式计算即可解得. 【解析】由直观图可知，在直观图中,正方形的对角线长为，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示 所以原图图形为平行四边形，底面边长为，位于轴的对角线长为， 所以原来图形的面积为 12．已知ΔABC是边长为a的正三角形，那么ΔABC平面直观图的面积是 . 【答案】直观图的面积为 。 【分析】原正三角形边长为 ，面积为 。斜二测画法中，水平放置的平面图形的直观图面积与原面积关系为 。代入计算即可。 【详解】原正三角形面积： 直观图面积公式： 13．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是 .    【答案】 【分析】根据长方体结构特征和三视图特征求解即可. 【详解】由长方体的主视图可知，长方体的长为4，高为2， 由左视图可知，长方体宽为3，高为2 长方体的俯视图可看出长方体的长和宽， 即俯视图长为4，宽为3，面积为. 14． 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰与上底均为 的等腰梯形，则原来这个平面图形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据斜二次画法还原图形，再由梯形面积公式计算即可解得. 【详解】该图形斜二测画法如下： 由题可知，该图形的斜二测直观图梯形的底角为， 由斜二次画法可知，斜二测直观图长不变，宽变为一半，变为， 则该图形水平放置的图形为直角梯形，且上底为，高为， 腰与底边形成角，腰长为，则底边增加，下底为， 故直观图的面积为. 15．一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ______。 【答案】原平面图形的面积为 。 【分析】直观图是底角 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形。先由直观图尺寸画出图形并求出直观图的面积，再由斜二测画法面积比例（）求原图形面积。 【详解】 设直观图  为等腰梯形，上底 ，腰 ，底角 。 1. 求直观图的尺寸 过  作  于 ，则 。 。 同理从  作垂线，下底 。 2. 直观图面积 3. 原图面积 斜二测画法中，水平放置的平面图形原面积与直观图面积关系为： 16．如图是一个平面图形的直观图，斜边，求原平面图形的面积．    【答案】 【分析】根据斜二测画法将图像进行还原进而求解. 【详解】由直观图还原可得原图形是以点为直角顶点的直角三角形． 由题意得， ∴原直角三角形的直角边长，， ∴原直角三角形的面积是． 17． 一个菱形的边长为4cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，求此菱形的直观图的面积. 【答案】直观图的面积为 cm2 【分析】菱形边长 4 cm，内角 60°，可得原面积 。斜二测画法中，水平放置的平面图形的直观图面积与原面积关系为 ，代入计算即可。 【详解】 原菱形面积： 斜二测画法的面积比例： cm2 18．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积． 【答案】见解析 【分析】根据斜二测画法将图像进行还原进而求解. 【详解】如图 (1),在等边三角形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点.在图 (2)中,画相应的轴与轴,两轴相交于点,使. (2)在图 (2)中,以为中点,在轴上取,在轴上取. (3)连接,并擦去辅助线轴和轴,便获得等边三角形水平放置的直观图(图 (3)). 由题意在平面直角坐标系中，三角形是边长为2的正三角形 ∴，边上的高为， 在三角形中，， ∴, 边上的高， 故 ，故直观图面积cm2 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $