专题14 圆柱、圆锥、球 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题14圆柱、圆锥、球 一、知识梳理 一．圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 有关 概念 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 图形 表示法 用表示它的轴的字母，即表示两底面圆心的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱OO’ 规定 圆柱和棱柱统称为柱体 注意：圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等. (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示. (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示. 二．圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图形 有关 概念 如上图所示，轴为SO，底面为⊙O，SA为母线.另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径 表示法 圆锥用表示它的轴的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥SO 规定 棱锥与圆锥统称为锥体 注意：圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等. (2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示. (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示. 三．球 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 有关 概念 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 图形 表示法 球常用表示球心的字母表示，如上图中的球记作球O 规定 球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为小圆。球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离。 二、题型精练 题型1 正确理解空间几何体的概念 【典例1】．下列命题中，正确的个数是 ( ) ①圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形； ②圆柱的轴截面是全等的矩形； ③直棱柱的侧面都是全等的矩形； ④球的轴截面都是全等的圆. A．1 B．2 C．3 D. 4 【典例2】．下列命题正确的有 · ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱； ⑤以半圆直径为轴旋转一周所成的曲面是球面； ⑥到定点距离等于定长的所有点的集合是球； ⑦所有圆柱的轴截面都是矩形. 题型2 旋转体的简单计算 【典例1】．如图所示，在底面半径为8cm，母线长为10cm的圆锥中内接一个圆柱，这个圆柱的底面半径为4cm，求这个内接圆柱的高． 【典例2】. 在底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥中内接一个圆柱，这个圆柱的高为3cm，求这个内接圆柱的底面半径. 题型2 球的简单计算 【典例1】．在半径为10cm的球面上有一点A，过A的小圆的圆心与球心O的距离为6cm，求该小圆的面积． 【典例2】.已知球O的小圆圆心，小圆的半径为，球的半径为3，求球心到截面圆的距离 的大小. 三、知识检测 1．下列四个命题中，正确的是 ( ) A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥 C.以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球 D.一个等腰三角形绕着底边旋转一周形成的旋转体叫做圆锥 2．关于空间几何体的特征，下列说法不正确的是 ( ) A. 的侧棱长都相等 B. 棱锥的侧棱长都相等 C. 圆柱的高和母线相等 D. 球的截面半径不相等 3.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高和底面边长之比为 ( ) A.1:2 B.2:1 4．圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则圆柱的母线为 ( ) A.3 B.9 C. D. 5．过球面上任意两点的大圆有 ( ) A.1个 B.2个 C.1个或无数个 D.无数个 6．对于下面四个命题，其中正确命题的个数是( ) ①圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个； ②底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； ③圆锥的所有的轴截面是全等的等腰三角形； ④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 A.1 B.2 C.3 D.4 7 . 一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则母线与底面所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.无法确定 8 .知圆锥的底面直径为，其轴截面是等腰直角三角形，则母线长为 ( ) A.1 B.2 C.2 D. 9．若圆锥的轴截面是一个等边三角形，其高为，则圆锥的母线长为 . 10. 已知圆柱的底面半径为4cm，轴截面面积为48c㎡，则这个圆柱的母线长为 11. 已知圆柱的母线长为6cm，轴截面的面积为24c㎡，则圆柱的底面半径长为 ． 12. 已知圆锥的底面半径为4cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥的轴截面的面积 13. 在底面半径为2，母线长为4的圆锥中有一个高为的内接圆柱，求这个圆柱的底面半径。 14. 已知圆柱的底面半径为8cm，轴截面面积为32，则这个圆柱的母线长是多少？ 15. 已知圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则这个圆锥的底面半径是多少？ 16. 设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大面积是多少？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14圆柱、圆锥、球 一、知识梳理 一．圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 有关 概念 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 图形 表示法 用表示它的轴的字母，即表示两底面圆心的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱OO’ 规定 圆柱和棱柱统称为柱体 注意：圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等. (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示. (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示. 二．圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图形 有关 概念 如上图所示，轴为SO，底面为⊙O，SA为母线.另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径 表示法 圆锥用表示它的轴的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥SO 规定 棱锥与圆锥统称为锥体 注意：圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等. (2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示. (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示. 三．球 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 有关 概念 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 图形 表示法 球常用表示球心的字母表示，如上图中的球记作球O 规定 球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为小圆。球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离。 二、题型精练 题型1 正确理解空间几何体的概念 【典例1】．下列命题中，正确的个数是 ( ) ①圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形； ②圆柱的轴截面是全等的矩形； ③直棱柱的侧面都是全等的矩形； ④球的轴截面都是全等的圆. A．1 B．2 C．3 D. 4 答案： B 分析：根据旋转体、直棱柱的定义和性质逐一判断。 详解： ① √ （同一个圆锥，不同过轴的平面截得的等腰三角形全等） ② × （斜圆柱时轴截面不是矩形） ③ × （直棱柱侧面不一定全等） ④ √ （球的轴截面是全等圆） 【典例2】．下列命题正确的有 · ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱； ⑤以半圆直径为轴旋转一周所成的曲面是球面； ⑥到定点距离等于定长的所有点的集合是球； ⑦所有圆柱的轴截面都是矩形. 答案： ② 分析：根据几何体的定义逐条判断。 详解： ① 直平行六面体就是长方体 直平行六面体：侧棱垂直于底面，底面是平行四边形。只有当底面是矩形时才是长方体。❌ ② 有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 两相邻侧面为矩形 ⇒ 它们的交线（侧棱）垂直于底面 ⇒ 所有侧棱垂直于底面 ⇒ 直棱柱。✔ ③ 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 棱锥要求其余各面有公共顶点，可能无公共顶点（如两个棱锥底对底），不一定是棱锥。❌ ④ 底面是正方形的棱柱是正棱柱 正棱柱要求底面是正多边形且侧棱垂直于底面，底面是正方形但侧棱不一定垂直底面（斜棱柱）。❌ ⑤ 以半圆直径为轴旋转一周所成的曲面是球面 应是以半圆直径所在直线为轴旋转半圆得到球面。表述“半圆直径为轴”不严谨，通常判为❌。 ⑥ 到定点距离等于定长的所有点的集合是球 应是球面（不包括内部），球包括内部空间。❌ ⑦ 所有圆柱的轴截面都是矩形 圆柱包括斜圆柱，斜圆柱轴截面是平行四边形，不一定是矩形。❌ 题型2 旋转体的简单计算 【典例1】．如图所示，在底面半径为8cm，母线长为10cm的圆锥中内接一个圆柱，这个圆柱的底面半径为4cm，求这个内接圆柱的高． 答案： 3cm 分析：利用相似三角形的性质，根据圆锥与内接圆柱的底面半径关系求出内接圆柱的高。 详解： 1 找出相似三角形 在圆锥中，大圆锥和内接圆柱的上底面圆锥构成相似三角形。设圆锥的高为内接圆柱的高为圆锥底面半径R=8cm,.内接圆柱底面半径r=4cm。 2 根据相似三角形性质列比例式 由相似三角形对应边成比例可知， 。 3 计算圆锥的高 先求圆锥的高，根据圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，由勾股定理可得 4 计算内接圆柱的高 将R=8cm, r=4cm代入，即，进而求解 由，即，解得 【典例2】. 在底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥中内接一个圆柱，这个圆柱的高为3cm，求这个内接圆柱的底面半径. 答案：内接圆柱的底面半径为  分析：圆锥内接圆柱（两者轴线重合），纵截面是等腰三角形内接矩形。设圆锥高 、底面半径 ，圆柱高 、底面半径 ，利用相似三角形比例关系  求解。 详解： 1. 圆锥的高 母线长 ，底面半径 ， 2. 相似三角形比例 纵截面中，顶点在上，圆柱在下，圆柱高 。 相似关系（顶点到圆柱上底的高 ）： 或者用常见比例式： 代入 h=3，H=4，， 题型2 球的简单计算 【典例1】．在半径为10cm的球面上有一点A，过A的小圆的圆心与球心O的距离为6cm，求该小圆的面积． 答案：小圆的面积为  cm2 分析：球半径 ，球心  到小圆圆心  的距离为 ，小圆半径  满足 （其中 ），由此求  再求面积。 详解： 由球的垂径关系，小圆半径  满足： 其中 ，。 小圆面积： cm2 【典例2】.已知球O的小圆圆心，小圆的半径为，球的半径为3，求球心到截面圆的距离 的大小. 答案：球心到截面圆的距离为  分析：由球的垂径关系：球半径 ，截面圆半径 ，球心到截面距离  满足 ，由此解出 。 详解： 已知 ，，由公式： 三、知识检测 1．下列四个命题中，正确的是 ( ) A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥 C.以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球 D.一个等腰三角形绕着底边旋转一周形成的旋转体叫做圆锥 答案： C 分析： 根据棱柱、棱锥、球、圆锥的严格定义逐项判断。 详解： A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不一定是棱柱（反例：将两个相同斜棱柱底对底拼合，各面也是平行四边形，但不是棱柱）。❌ B. 其余各面是三角形，但必须有一个公共顶点才是棱锥。❌ C. 符合球的定义。✔ D. 必须是直角三角形绕一条直角边旋转才能得到圆锥，等腰三角形绕底边旋转得到的是两个共底的圆锥。❌ 2．关于空间几何体的特征，下列说法不正确的是 ( ) A. 的侧棱长都相等 B. 棱锥的侧棱长都相等 C. 圆柱的高和母线相等 D. 球的截面半径不相等 答案： B 分析：逐项判断几何体性质。 详解： A. 棱柱的侧棱长都相等 ✅ 正确（定义）。 B. 棱锥的侧棱长都相等 ❌ 错误，只有正棱锥才相等，一般棱锥侧棱不一定等长。 C. 圆柱的高和母线相等 ✅ 正确，对直圆柱而言母线长就是高。 D. 球的截面半径不相等 ✅ 正确，不同位置的截面半径不同。 3.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高和底面边长之比为 ( ) A.1:2 B.2:1 答案： D 分析：正四棱锥的侧面是正三角形 ⇒ 侧棱长 = 底面边长，设为 。 底面为正方形，边长 ，中心到顶点距离为对角线一半。 利用侧棱长、高、底面中心到顶点距离的直角三角形求高，再求比值。 详解： 设底面边长 ，侧棱长也为 。 底面正方形对角线的一半： 高  满足： 所以： 4．圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则圆柱的母线为 ( ) A.3 B.9 C. D. 答案：A 分析：圆柱的轴截面是正方形，说明高等于底面直径。设母线（高）为 ，底面直径为 ，轴截面面积 = 。 详解： 由题意： 母线长为 。 5．过球面上任意两点的大圆有 ( ) A.1个 B.2个 C.1个或无数个 D.无数个 答案：C 分析：若两点不是球直径的端点，则有且仅有一个大圆过这两点。 若两点是球的一条直径的两个端点，则过这两点的大圆有无数个（因为任何过这条直径的平面都会截出大圆）。 详解：当两点是直径端点时，无数个；当两点不是直径端点时，唯一一个大圆。 因此共有 1 个或无数个。 6．对于下面四个命题，其中正确命题的个数是( ) ①圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个； ②底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； ③圆锥的所有的轴截面是全等的等腰三角形； ④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 A.1 B.2 C.3 D.4 答案： C 分析：根据旋转体、多面体的定义和性质逐条判断。 详解： 1. ①圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的一个 过母线的截面（即含一条母线且垂直于底面的截面）中，矩形截面面积等于 （ 底半径， 高）。倾斜截面会变窄（底边投影变短），所以轴截面面积最大。✅ 2. ②底面是正三角形的棱锥是正三棱锥 正三棱锥还需满足顶点在底面正三角形的正上方（投影是中心），否则只是底面正三角形的棱锥。❌ 3. ③圆锥的所有的轴截面是全等的等腰三角形 同一个圆锥的不同轴截面都是全等的（母线相同，底面直径相同）。✅ 4. ④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 两个大圆交于两点，这两点的连线是球的一条直径（因为两个大圆面都过球心，交线过球心）。✅ 7 . 一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则母线与底面所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.无法确定 答案：C 分析：圆锥底面半径 ，母线 ，母线与底面所成角  满足 。 详解： 8 .已知圆锥的底面直径为，其轴截面是等腰直角三角形，则母线长为 ( ) A.1 B.2 C.2 D. 答案：A 分析：圆锥轴截面是等腰直角三角形，底面直径为底边，母线是腰。等腰直角三角形中，底边  与腰  的关系为 。 详解：底面直径 ， 解得 。 9．若圆锥的轴截面是一个等边三角形，其高为，则圆锥的母线长为 . 答案：母线长为 2。 分析：轴截面是等边三角形，高为 。设等边三角形边长为 ，则高为 ，母线长即边长 。 详解： 母线长为 。 10. 已知圆柱的底面半径为4cm，轴截面面积为48c㎡，则这个圆柱的母线长为 答案：母线长为 6 cm。 分析：圆柱轴截面是矩形，高（母线）为 ，底面直径为 。轴截面面积 = 直径 × 高。 详解： 底面半径 ，直径 。 设母线长 ， cm 11. 已知圆柱的母线长为6cm，轴截面的面积为24c㎡，则圆柱的底面半径长为 ． 答案：圆柱的底面半径为 2 cm。 分析：圆柱轴截面是矩形，母线长 ，底面直径 。轴截面面积 。 详解：设底面半径 ，则 ， 已知 ， cm 12. 已知圆锥的底面半径为4cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥的轴截面的面积 答案：圆锥轴截面的面积为 cm2 分析：圆锥的轴截面是等腰三角形，底面半径为底边的一半，顶角 ，所以此等腰三角形两腰（母线）与底边的关系可由等腰三角形的性质得出，再用三角形面积公式计算。 详解： 轴截面 ， 为底面直径，。 顶角 ，所以  是等边三角形（等腰且顶角  则三边相等）。 因此 。 等边三角形面积公式： cm2 13. 在底面半径为2，母线长为4的圆锥中有一个高为的内接圆柱，求这个圆柱的底面半径。 答案：圆柱的底面半径为 1 分析： 圆锥底面半径 ，母线长 ，则高 。 设圆柱高 、半径 ，利用相似三角形比例  求解。若题中圆柱高  已知，可直接算 。圆柱高 ，则： 得 。 详解： 1. 圆锥高： 2. 相似比例（顶点在上，圆柱在下）： ，则： 14. 已知圆柱的底面半径为8cm，轴截面面积为32，则这个圆柱的母线长是多少？ 答案：圆柱的母线长为 cm 分析：圆柱轴截面是矩形，高即母线长 ，底面直径 。轴截面面积 。 详解： 底面半径 ，直径 。 轴截面面积： 已知 ，cm 15. 已知圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则这个圆锥的底面半径是多少？ 答案：圆锥的底面半径为 cm 分析：圆锥母线 ，高 ，底面半径  满足 。 详解：由勾股定理：cm 16. 设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大面积是多少？ 答案：最大面积是  分析：过球面上任意两点的截面圆，当截面过球心时（即截面为大圆）面积最大，半径为 。 详解： 截面圆面积 ，其中  为截面圆半径，满足 。 当截面过球心时，，面积最大： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $