专题13 棱柱、棱锥 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题13棱柱、棱锥 一、知识梳理 1、空间几何体 (1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． 类别 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴。 2、棱柱、棱锥的结构特征 1.棱柱的结构特征 (1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，过棱柱上一个底面的任何一个顶点，作另一个面的垂线所得到的线段称为棱柱的高。 （2）分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱… 按侧棱是否垂直与底面分为直棱柱、斜棱柱、三棱柱（或正棱柱）。 （3）图形及记法： （4）特殊的棱柱： 直棱柱：侧棱垂直于底面 斜棱柱：侧棱不垂直于底面 正棱柱：底面是正多边形 ： 2.棱锥的结构特征 （1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段称为棱锥的高。 （2）分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥…… （3）图形及记法： 记作：棱锥S­ABCD （4）特殊的棱锥： 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，且侧棱长度相等的棱锥 正棱锥的斜高：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，斜高是指侧面等腰三角形底边上的高。 二、题型精练 题型1 正确理解空间几何体的概念 【典例1】．下列说法错误的是 ( ) A.棱柱的两个底面互相平行 B.有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 C.圆锥的轴截面是一个等腰三角形 D.平行于底面的截面截圆锥得到的是一个圆 答案： B 分析：根据棱柱、圆锥的定义及性质，逐项判断正误。 详解： A. 棱柱的两个底面是全等多边形且互相平行，正确。 B. 直棱柱定义是侧棱垂直于底面，而非有一个侧面垂直于底面（侧面是矩形，但底面仍是多边形，侧面垂直于底面时，侧棱不一定垂直于底面），错误。 C. 圆锥的轴截面是以母线为腰、底面直径为底的等腰三角形，正确。 D. 平行于底面的截面截圆锥得到的是一个圆（与底面平行的圆），正确。 【典例2】．下列命题正确的有 · ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱； 答案：② 分析：根据几何体的定义逐个判断。 详解： ① 直平行六面体底面为平行四边形，不一定是矩形，故不一定是长方体。❌ ② 两相邻侧面为矩形 ⇒ 侧棱垂直底面 ⇒ 直棱柱。✔ ③ 其余各面为三角形但不一定有公共顶点，不一定是棱锥。❌ ④ 底面是正方形但侧棱不一定垂直底面，不一定是正棱柱。❌ 题型2 多面体的简单计算 【典例1】．已知一个长方体的长是12cm，宽是9cm，高是8cm，求这个长方体对角线的长（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 答案： C 分析：长方体对角线公式：，其中  分别为长、宽、高。 详解：长 ，宽 ，高 。 对角线： 【典例2】. 如图所示一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体的对角线长等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D. 答案： D  分析：设共一个顶点的三条棱长分别为 ，则三个面的面积为 。解出 ，再求对角线 。 详解： 由相乘得 ，故 。 分别除以已知方程： 对角线： 三、知识检测 1．对于下列命题： ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱. 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案： B 分析：根据几何体的定义逐条判断 详解： 1. ①直平行六面体就是长方体 直平行六面体：底面是平行四边形，侧棱垂直底面。只有当底面是矩形时才是长方体。❌ 错误。 2. ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 两相邻侧面为矩形 ⇒ 它们交线（侧棱）垂直于底面 ⇒ 所有侧棱都垂直于底面 ⇒ 直棱柱。✔ 正确。 3. ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 棱锥要求其余各面有公共顶点，这里只说“是三角形”，可能无公共顶点（如两个棱锥底对底），不一定是棱锥。❌ 错误。 4. ④底面是正方形的棱柱是正棱柱 正棱柱要求底面是正多边形且侧棱垂直于底面。底面是正方形但侧棱不一定垂直底面（如斜棱柱）。❌ 错误。 2．下列命题正确的是 ( ) A.有两个相邻侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 B.所有的侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D.底面是正方形的棱柱是正棱柱 答案： A 分析：根据几何体定义逐项判断。 详解： A. 两个相邻侧面与底面垂直 ⇒ 它们的交线（侧棱）与底面垂直 ⇒ 所有侧棱与底面垂直 ⇒ 直棱柱。✔ B. 侧面是全等的等腰三角形，但底面不一定是正多边形（例如棱锥顶点在底面外但不在中心），则不是正棱锥。❌ C. 其余各面是三角形，但必须共一个顶点才是棱锥，否则不是。❌ D. 底面是正方形但侧棱不一定垂直于底面，不一定是正棱柱。❌ 3．棱长为a的正方体，其对角线长等于 ( ) A. B. D. 答案： B 分析：正方体棱长为 ，体对角线公式为 。 详解：正方体体对角线公式 。 4．一个正方体的内切球和外接球的半径之比是( ) B.1:2 D.1:3 答案：C 分析：设正方体棱长为 ，则内切球半径 ，外接球半径 ，求比值 。 详解：正方体棱长 。 内切球直径等于棱长，半径 。 外接球直径等于体对角线，半径 。 5．若正方体的表面积为24，则它的对角线的长为 ( ) A. B.12 C.6 D.6 答案：A 分析：正方体表面积 ，已知 ，可求出棱长 ，再求体对角线 。 详解：  得 。 体对角线： 6．过长方体的一个顶点的三条棱长分别为1，2,3，则长方体的一条对角线的长为 ( ) A. B. C.5 D.6 答案： 分析：长方体三条共顶点的棱长为 ，体对角线公式 。 详解： 7．若四棱柱的侧面都是正方形，则棱柱是（　　） A.正棱柱 B.直棱柱 C.正方体 D.长方体 答案：B 分析侧面都是正方形 ⇒ 侧棱长 = 底面边长，且侧棱垂直于底面（因为正方形邻边互相垂直，侧棱垂直底面边）。 详解： 侧面是正方形 ⇒ 侧棱长等于底面多边形边长，且侧棱垂直于底面（正方形相邻边垂直，一条是侧棱，一条是底面边，所以侧棱垂直于底面所有边，从而垂直于底面）。 因此是直棱柱，但底面不一定是正多边形，所以不一定是正棱柱。 也不一定是长方体或正方体，因为底面可以是任意多边形（但四棱柱底面为四边形，侧面正方形 ⇒ 侧棱垂直底面且侧棱长=底面边长，但底面可以是菱形，不一定是矩形，所以不一定是长方体；若底面是正方形且高等于边长，才是正方体） 8．下列关于正四棱柱的表述正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱 B．底面是正方形，侧棱垂直于底面的棱柱 C．底面是菱形的棱柱 D．每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 答案： B 分析：正四棱柱的定义：底面是正方形，侧棱垂直于底面的直四棱柱。 详解： A. 有两个侧面是矩形的棱柱不一定侧棱垂直底面，因此不一定是正四棱柱（可能是斜棱柱）。❌ B. 符合定义：底面是正方形，侧棱垂直底面 ⇒ 正四棱柱。✔ C. 底面是菱形 ⇒ 不是正方形，不是正四棱柱。❌ D. 每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 ⇒ 底面是菱形（不一定是正方形），不一定是正四棱柱。❌ 9．正方体的对角线长为a，则它的表面积为( ) A． B． C． D． 答案：B 分析：设正方体棱长为 ，体对角线 ，求出 ，再求表面积 。 详解：由  得 ， 表面积： 10．如图所示，三棱锥S-ABC中，E,F,G分别是棱AB,BC,SC的中点，则此三棱锥中与平面EFG平行的棱的条数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 分析：本题主要考察几何图形中平行线的性质，特别是中位线定理的应用。通过分析三棱锥中各棱与平面EFG 的关系，找出与平面EFG平行的棱。 详解： 1 理解中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 根据题目条件，E、F、G分别是棱AB、BC、S C的中点，根据中位线定理，EF平行于AC,FG 平行于SB,EG平行于AB。 2 分析与平面EFG平行的棱，利用平行线的性质判断。 由于EF平行于AC,FG平行于SB,EG平行于AB，根据平行线的性质，AC和SB这两条棱与平面EFG平行。 11． 一个棱柱至少有 个面，面数最少的棱锥有 个顶点。 答案：棱柱至少有 5 个面，面数最少的棱锥有 4 个顶点。 分析： · 棱柱至少是三棱柱，有两个底面（三角形）和三个侧面，共 5 个面。 · 面数最少的棱锥是三棱锥（四个面），有四个顶点。 详解： 1. 棱柱面数最少时为三棱柱：底面三角形（2个） + 侧面矩形（3个） = 5个面。 2. 棱锥面数最少时为三棱锥（四面体）：底面三角形（3个顶点） + 一个顶点 = 4个顶点。 12. 已知长方体的长、宽、高为，所有棱长之和为24cm，则长方体的宽为多少？ 答案：宽为 。 分析：长、宽、高成等差数列：有棱长之和：，等于 24。 详解： 13. 正四棱锥的所有棱长都相等，求这个棱锥的棱长与高的比值. 答案棱长与高的比值为 。 分析：正四棱锥的所有棱长相等，设棱长为 ，则底面是边长为  的正方形，侧面是等边三角形。高  可通过底面中心到顶点的距离及棱长利用勾股定理求得。 详解：设棱长为 ，底面正方形边长也是 。 底面中心到顶点（底面顶点）的距离为对角线的一半：。 正四棱锥的顶点在底面中心的投影是中心，因此由高 、中心到顶点距离、侧棱  构成直角三角形： 所以： 14. 三棱锥的底面边长是6cm，侧棱长是5cm，求该棱锥的高和斜高. 已知以长方体的一个顶点为端点的三条棱长分别为a，b，c，求它的体对角线： （1）a=3，b=4，c=5； （2）a=7，b=11，c=4. 答案：(1)  (2)  分析：见详解 详解： （1） （2）对线公式：。 15.正四棱锥S-ABCD的底面边长是4cm是8cm，求这个棱锥的高和斜高. 答案：高为 ，斜高为 。 分析：正四棱锥  底面边长 ，侧棱 。 底面中心 ，连接  为底面中心到顶点的距离（正方形对角线的一半）。 斜高是侧面等腰三角形的高。 详解： 底面中心到顶点的距离  底面正方形边长 ，对角线 ，一半： 高  ，由勾股定理： 斜高   为  中点，，： 16. 正四棱锥的所有棱长都相等，求这个棱锥的高与斜高的比值。 答案：高与斜高的比值为 。 分析：正四棱锥的所有棱长相等，设棱长为 。 底面为边长  的正方形，侧面为边长为  的等边三角形。 可分别求出高  和斜高 ，再求比值。 详解： 设棱长 。 1. 斜高   为  中点，， 2. 高  底面中心  到顶点  的距离： 正方形对角线长 ，故 。 在直角三角形  中： 3. 比值  1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13棱柱、棱锥 一、知识梳理 1、空间几何体 (1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． 类别 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴。 2、棱柱、棱锥的结构特征 1.棱柱的结构特征 (1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，过棱柱上一个底面的任何一个顶点，作另一个面的垂线所得到的线段称为棱柱的高。 （2）分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱… 按侧棱是否垂直与底面分为直棱柱、斜棱柱、三棱柱（或正棱柱）。 （3）图形及记法： （4）特殊的棱柱： 直棱柱：侧棱垂直于底面 斜棱柱：侧棱不垂直于底面 正棱柱：底面是正多边形 ： 2.棱锥的结构特征 （1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段称为棱锥的高。 （2）分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥…… （3）图形及记法： 记作：棱锥S­ABCD （4）特殊的棱锥： 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，且侧棱长度相等的棱锥 正棱锥的斜高：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，斜高是指侧面等腰三角形底边上的高。 二、题型精练 题型1 正确理解空间几何体的概念 【典例1】．下列说法错误的是 ( ) A.棱柱的两个底面互相平行 B.有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 C.圆锥的轴截面是一个等腰三角形 D.平行于底面的截面截圆锥得到的是一个圆 【典例2】．下列命题正确的有 · ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱； 题型2 多面体的简单计算 【典例1】．已知一个长方体的长是12cm，宽是9cm，高是8cm，求这个长方体对角线的长（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【典例2】. 如图所示一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体的对角线长等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.6 三、知识检测 1．对于下列命题： ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱. 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2．下列命题正确的是 ( ) A.有两个相邻侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 B.所有的侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D.底面是正方形的棱柱是正棱柱 3．棱长为a的正方体，其对角线长等于 ( ) A. B. D. 4．一个正方体的内切球和外接球的半径之比是( ) B.1:2 D.1:3 5．若正方体的表面积为24，则它的对角线的长为 ( ) A. B.12 C.6 D.6 6．过长方体的一个顶点的三条棱长分别为1，2,3，则长方体的一条对角线的长为 ( ) A. B. C.5 D.6 7．若四棱柱的侧面都是正方形，则棱柱是（　　） A.正棱柱 B.直棱柱 C.正方体 D.长方体 8．下列关于正四棱柱的表述正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱 B．底面是正方形，侧棱垂直于底面的棱柱 C．底面是菱形的棱柱 D．每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 9．正方体的对角线长为a，则它的表面积为( ) A． B． C． D． 10．如图所示，三棱锥S-ABC中，E,F,G分别是棱AB,BC,SC的中点，则此三棱锥中与平面EFG平行的棱的条数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11． 一个棱柱至少有 个面，面数最少的棱锥有 个顶点。 12. 已知长方体的长、宽、高成等差数列，所有棱长之和为24cm，则长方体的宽为多少？ 13. 正四棱锥的所有棱长都相等，求这个棱锥的棱长与高的比值. 14. 三棱锥的底面边长是6cm，侧棱长是5cm，求该棱锥的高和斜高. 已知以长方体的一个顶点为端点的三条棱长分别为a，b，c，求它的体对角线： （1）a=3，b=4，c=5； （2）a=7，b=11，c=4. 15.正四棱锥S-ABCD的底面边长是4cm，侧棱长是8cm，求这个棱锥的高和斜高. 16. 正四棱锥的所有棱长都相等，求这个棱锥的高与斜高的比值。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $