专题12 认识多面体与旋转体 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题12 认识多面体与旋转体 一、知识梳理 （1）多面体 如图所示的几何体都是由若干个平面多边形围成的，我们把这样的几何体称为多面体. 多面体中，每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的棱，棱和棱的公共点称为多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线. （2）旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面，由封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体，其中的定直线称为旋转体的轴． 由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的，这样的几何体称为组合体. 二、题型精练 题型1 多面体 【典例1】．请写出下图多面体的顶点数、面数和棱数. 【答案】顶点数为8，面数为6，棱数为. 【分析】根据已知多面体的图像即可解得. 【详解】由题可知，该多面体顶点数为，面数为，棱数为 题型2 旋转体 【典例1】．下列几何体是旋转体的是（ ） A．正三棱柱 B．正四棱台 C．圆锥 D．正六棱锥 【答案】C 【分析】根据旋转体和多面体的概念即可解答. 【详解】正三棱柱，正四棱台，正六棱锥均为多面体，故A,B,D错误， 圆锥为旋转体，故C正确， 【典例2】. 正方形绕其一条对角线所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．两个共底的圆锥 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念直观想像即可得到结果. 【详解】由题可知：正方形绕其一条对角线所在的直线旋转一周， 所得的几何体是两个共底的圆锥. 三、知识检测 1. 下列哪个空间图形是通过旋转一个直角三角形得到的（ ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】C 【分析】根据多面体及旋转体的定义即可得解. 【详解】选项，长方体为多面体，不能通过旋转得到，故错误； 选项，圆柱是以矩形的一边所在的直线为轴旋转一周得到的几何体， 所以圆柱不能通过旋转一个直角三角形得到，故错误； 选项，圆锥是以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体，故正确； 选项，球是一个半圆以直径所在的直线为轴旋转一周形成的几何体， 所以球不能通过旋转一个直角三角形得到，故错误； 2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个半球和一个圆柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 【答案】C 【分析】根据圆柱和球的特征即可判断. 【详解】由图形知，该几何体由一个半球和一个圆柱组成的简单组合体． 3．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成（ ） A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥 C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥 【答案】D 【分析】根据题中信息画出几何体即可解得. 【详解】如图所示， 由图知：将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，得到一个圆柱和两个圆锥. 4．经过旋转可以得到图中几何体的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，根据圆锥和圆台是由直角三角形、直角梯形绕着相应的轴旋转而来判断. 【详解】上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以一直角边所在的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形以垂直于两底的腰所在的直线为轴旋转一周得到，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A符合. 故选A. 【点睛】平面图形绕着某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后分析旋转体的结构和组成. 5．下列几何体是由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义，直角三角形绕其直角边为轴旋转一周，形成圆锥，即可解答. 【详解】由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的圆锥， 6．正方形绕其一条对角线所在的直线旋转一周，所得的几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．两个共底的圆锥 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念直观想像即可得到结果. 【详解】由题可知：正方形绕其一条对角线所在的直线旋转一周， 所得的几何体是两个共底的圆锥. 7．充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合旋转体的形成过程和车轮内胎的形状即可求解. 【详解】对A，旋转后得到的是空心球，故A错误. 对B，C，旋转后得到的是环状几何体，即车轮的形状， 又因为忽略轮胎厚度不计，故B错误，C正确. 对D，旋转后得到的是球，故D错误. 8．直角中，，以为轴旋转一周，得到的旋转体的形状是（    ） A．一个圆锥，一个半球 B．一个圆锥，一个圆柱 C．一个圆台，一个圆锥 D．两个圆锥的组合体 【答案】D 【分析】由旋转体的应用即可得解. 【详解】以斜边为轴旋转一周，得到的是有共同底面的两个圆锥的组合体. 9．下列结论正确的是（    ） A．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有几何体的表面都能展开成平面图形 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 D．一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥 【答案】D 【分析】对于选项ABC举出反例或者找出矛盾即可判断是错误的，由圆锥定义即可得D正确. 【详解】对于A，根据正三棱锥的性质可知，底面是正三角形，且顶点投影必须在底面正三角形的中心， 只是底面是正三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，故A错误； 对于B，球体的表面不能展开成平面图形，所以B错误； 对于C，由正六边形性质可知，其中心到顶点的距离与边长相等， 因此由勾股定理可知正六棱锥的侧棱长必然大于其底面边长，即C错误； 对于D，根据圆锥定义即可判断D正确. 10．下列几何体是旋转体的是（   ） A．正三棱柱 B．正四棱台 C．圆锥 D．正六棱锥 【答案】C 【分析】根据旋转体和多面体的概念即可解答. 【详解】正三棱柱，正四棱台，正六棱锥均为多面体，故A,B,D错误， 圆锥为旋转体，故C正确， 11．下列图形是立体图形的是（    ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．长方体 【答案】D 【分析】由平面图形和立体图形的定义判断即可. 【详解】三角形、平行四边形、梯形为平面图形，故A、B、C项错误； 长方体为立体图形，故D项正确. 12. 如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 A.由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.有12条棱、6个顶点 C.有8个面,并且各面均为三角形 D.有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形 【答案】D 【分析】由平面图形和立体图形的定义判断即可. 【详解】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形． 所以选项A、B、C正确，选项D错误；故选D． 13. 一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是（ ） A．三棱柱 B．三棱台 C．五棱锥 D．四面体 【答案】D 【分析】由平面图形和立体图形的定义判断即可. 【详解】对于A, 三棱柱是上下两个三角形，有6个顶点，满足题意； 对于B，三棱台是上下两个三角形，有6个顶点，满足题意； 对于C，五棱锥是底面为五边形及一个顶点，有6个顶点，满足题意； 对于D，四面体的顶点个数为4个，不满足题意；故选D. 14. 一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【答案】C 【分析】由平面图形和立体图形的定义判断即可. 【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于C，五棱锥有6个顶点，满足题意； 对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，不满足题意； 15．由多面体、旋转体等基本几何体 而成的几何体称为组合体．组合体可以通过将其分解为基本几何体来研究． 【答案】组合 【分析】由组合体的定义即可得出结果. 【详解】由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的几何体称为组合体． 故答案为：组合 16．一条 曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面，由 的旋转面围成的几何体称为旋转体，其中的定直线称为旋转体的轴． 【答案】 平面 封闭 【分析】根据旋转面和旋转体的定义即可得出结果. 【详解】根据旋转面和旋转体的定义可知： 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面； 由封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. 17.一个多面体至少有______个面． 【答案】4 【分析】由平面图形和立体图形的定义判断即可. 【详解】多面体定义：若干平面围成的几何体，且最少为四面体，所以一个多面体至少有4个面；故答案为：4. 18．是一个正三角形和它的内切圆，将阴影部分绕直线l旋转180°，请说出所得几何体的结构特征. 【答案】得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球的简单组合体 【解析】正三角形绕直线l旋转180°得到圆锥，圆绕直线l旋转180°得到的是球体，所以阴影为三角形挖去圆旋转得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球的简单组合体. 【详解】正三角形绕直线l旋转180°得到圆锥， 圆绕直线l旋转180°得到的是球体， 所以旋转得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球的简单组合体. 【点睛】本题考查圆锥、球的性质，考查空间想象能力，属于基础题. 19．已知将如图①所示的立方体木块按不同的方式切割得到如图②、图③、图④、图⑤所示的多面体木块． (1)图①中的立方体木块有8个顶点、12条棱和6个面，请将图②、图③、图④、图⑤中的顶点数、棱数和面数分别填入下表中． 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ (2)观察上表，归纳上述各多面体的顶点数、棱数面数之间存在的数量关系，这种数量关系是______． (3)如果一个多面体有90条棱、60个顶点，运用你归纳的结论得出此多面体的面数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)32个面 【分析】（1）观察多面体的特征，即可求解； （2）观察多面体的顶点数、棱数、面数，总结规律，即可求解； （3）根据题意，结合多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系，代入即可求解. 【详解】（1） 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 9 14 7 ⑤ 10 15 7 （2）通过观察表格数据，可得规律，顶点数面数棱数． （3）根据多面体木块的顶点数、棱数和面数之间存在的数量关系可得，得， 所以此多面体有32个面． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 认识多面体与旋转体 一、知识梳理 （1）多面体 如图所示的几何体都是由若干个平面多边形围成的，我们把这样的几何体称为多面体. 多面体中，每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的棱，棱和棱的公共点称为多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线. （2）旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面，由封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体，其中的定直线称为旋转体的轴． 由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的，这样的几何体称为组合体. 二、题型精练 题型1 多面体 【典例1】．请写出下图多面体的顶点数、面数和棱数. 题型2 旋转体 【典例1】．下列几何体是旋转体的是（ ） A．正三棱柱 B．正四棱台 C．圆锥 D．正六棱锥 【典例2】. 正方形绕其一条对角线所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．两个共底的圆锥 三、知识检测 1. 下列哪个空间图形是通过旋转一个直角三角形得到的（ ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个半球和一个圆柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 3．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成（ ） A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥 C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥 4．经过旋转可以得到图中几何体的是（ ） A． B． C． D． 5．下列几何体是由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球 6．正方形绕其一条对角线所在的直线旋转一周，所得的几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．两个共底的圆锥 7．充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（ ） A． B． C． D． 8．直角中，，以为轴旋转一周，得到的旋转体的形状是（    ） A．一个圆锥，一个半球 B．一个圆锥，一个圆柱 C．一个圆台，一个圆锥 D．两个圆锥的组合体 9．下列结论正确的是（    ） A．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有几何体的表面都能展开成平面图形 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 D．一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥 10．下列几何体是旋转体的是（   ） A．正三棱柱 B．正四棱台 C．圆锥 D．正六棱锥 11．下列图形是立体图形的是（    ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．长方体 12. 如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 A.由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.有12条棱、6个顶点 C.有8个面,并且各面均为三角形 D.有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形 13. 一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是（ ） A．三棱柱 B．三棱台 C．五棱锥 D．四面体 14. 一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 15．由多面体、旋转体等基本几何体 而成的几何体称为组合体．组合体可以通过将其分解为基本几何体来研究． 16．一条 曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面，由 的旋转面围成的几何体称为旋转体，其中的定直线称为旋转体的轴． 17.一个多面体至少有______个面． 18．是一个正三角形和它的内切圆，将阴影部分绕直线l旋转180°，请说出所得几何体的结构特征. 19．已知将如图①所示的立方体木块按不同的方式切割得到如图②、图③、图④、图⑤所示的多面体木块． (1)图①中的立方体木块有8个顶点、12条棱和6个面，请将图②、图③、图④、图⑤中的顶点数、棱数和面数分别填入下表中． 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ (2)观察上表，归纳上述各多面体的顶点数、棱数面数之间存在的数量关系，这种数量关系是______． (3)如果一个多面体有90条棱、60个顶点，运用你归纳的结论得出此多面体的面数． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $