专题20 概率的加法公式 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题20 概率的加法公式 1、 知识梳理 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B ) 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥关系 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立关系 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝ 或A＝ 若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立 二、题型精练 题型1 互斥事件的判断 【典例1】．衣柜里有5件衬衫、6件外套，从中任取两件，指出下列事件哪些是互斥事件： （1）事件A=｛取出的两件都是衬衫｝与事件B=｛取出的两件都是外套｝； （2）事件C=｛恰有一件是衬衫｝与事件D=｛至少一件是外套｝； （3）事件E=｛至少一件是衬衫｝与事件F=｛至多一件是外套｝. 【典例2】．已知10名学生中有3名男生，7名女生，从中任意选出2名学生，指出下列事件哪些是互斥事件. （1）全部都是女生和全部都是男生； （2)1名男生1名女生和至少有一名女生； （3）至少有一名女生和全部都是女生； （4）全部都是女生和1名男生1名女生． 题型2 互斥事件的概率加法公式的运算 【典例1】．在一个不透明的盒子里有红色小球5个、黄色小球7个、蓝色小球10个，现从中随机拿出一个小球，事件A=｛取到红色小球｝，事件B={取到黄色小球｝，求事件C={取到的不是蓝色小球｝的概率. 【典例2】. 盒子中有10个球，其中2个白球，3个红球，2个黄球，3个黑球，从中任取1球，事件A={取到的是红球｝，事件B={取到的是黄球｝，事件C={取到的是黑球｝，求事件D={取到的是红球、黄球或黑球｝的概率. 三、知识检测 1．甲、乙、丙是一场辩论赛中同一代表队的三位辩手，下列选项为互斥事件的是( ) A.“甲为一辩手”与“乙为一辩手” B.“甲为二辩手”与“乙为一辩手” C.“丙为三辩手”与“甲为二辩手” D.“丙为一辩手”与“甲为三辩手” 2．某城市有“X城日报”“X城晚报”“X城生活报”三种报纸供居民订阅，且一位居民只能订阅一种报纸，小李是该城市的居民，事件A=｛小李订阅X城日报｝，事件B=｛小李订阅X城晚报｝，事件C={A小李订阅X城生活报｝，则下列选项中错误的 ( ) A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件A与事件C是互斥事件 C.事件B与事件C是互斥事件 D.以上选项都不对 3．盒子中有六个小球，分别标着0,1,2,3,4,5六个号码，现从中随机抽取一个，那么下列选项错误的是 ( ) A．“随机抽取一个号码为0”与“随机抽取一个号码为2”是互斥事件 B．“随机抽取一个号码为3”与“随机抽取一个号码为5”是互斥事件 C．“随机抽取一个号码为4”与“随机抽取一个号码为1”是互斥事件 D．“随机抽取一个号码为3”与“随机抽取一个号码为奇数”是互斥事件 4．如果事件A、B互斥，记、分别为事件A、B的对立事件，那么(　　)． A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与一定不互斥 5. 从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ） A.① B．②④ C．③ D．①③ 3、某人打靶时，连续射击两次，事件A=“至少有一次中靶”，B=“两次都不中靶”，则（ ） A.AB B. BA C.AB= D.B= 5．抽查10件产品，设试验的样本空间为，A=“至多有1件次品”，B=“至少有两件次品”，则（ ） A.AB B. BA C.AB D.AB=且AB= 6．已知互斥事件A,B的概率分别是和，则事件A与B的和事件的概率是 ( ) A. B. C. D.1 7．小高同学的数学成绩不太稳定，其高一上学期的数学成绩在60~80分之间的概率是0.5，80~100分之间的概率是0.2，那么小王的成绩在60~100分之间的概率是（　　） A.0.7 B.0.9 C.0.3 D.0.1 8．若A,B为对立事件，且P（A）=0.3，则P（B）等于（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．1 9．已知甲乙两人下棋时，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲乙两人下成和棋的概率为（    ） A．10% B．30% C．50% D．60% 10．已知从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么取出的球质量不小于4.8g且小于4.85g的概率是 ) A.0.02 B.0.38 C.0.62 D.0.68 11．已知事件A,B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.1，则P(A+B)= 12．已知事件A与事件B是互斥事件，且P(A)=0.2,P(B)=0..4,若事件C=A∪B，则P(C)的值为 . 13．某随机试验的结果有A,B两种，且事件A,B之间是互斥的，若事件B发生的概率是0.51，那么事件A不发生的概率是 14．射击运动员小李的射击成绩低于9环的概率是0.19,9~9.5环的概率是0.47,9.5~9.8环的概率是0.23，那么小李的射击成绩在9.8环以下的概率是 15．已知某随机试验一共有A,B,C三种结果，记为事件A、事件B和事件C，且事件A,B,C之间两两互斥，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，则事件C不会发生的概率是 16．甲、乙、丙三人参加某田径比赛的决赛，争夺冠军，若甲获得第一名的概率是0．2，乙获得第一名的概率是0.5，求事件C=｛丙没有获得第一名｝的概率. 17.从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件？ 1. “取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”； 1. “取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”； 1. “取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”。 18. 某同学的笔袋内装有同款但颜色不同的中性笔，已知这些笔分别是红色、黑色和蓝色，从中任取1支，取出红色中性笔的概率为0.46，取出黑色中性笔的概率是0.24，如果红色中性笔有23支，求： （1）取出蓝色中性笔的概率； （2）笔袋中一共有多少支中性笔？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 概率的加法公式 1、 知识梳理 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B ) 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥关系 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立关系 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝ 或A＝ 若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立 二、题型精练 题型1 互斥事件的判断 【典例1】．衣柜里有5件衬衫、6件外套，从中任取两件，指出下列事件哪些是互斥事件： （1）事件A=｛取出的两件都是衬衫｝与事件B=｛取出的两件都是外套｝； （2）事件C=｛恰有一件是衬衫｝与事件D=｛至少一件是外套｝； （3）事件E=｛至少一件是衬衫｝与事件F=｛至多一件是外套｝. 答案： （1） 是互斥事件。 分析：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空集。根据定义逐一判断三个小题中给出的两个事件是否可能同时发生。 详解： （1）事件 A 要求两件都是衬衫。 事件 B 要求两件都是外套。 由于衬衫和外套是不同的服装类别，两件不可能同时都是衬衫又都是外套，因此 A 与 B 不可能同时发生，它们的交集为空集。 结论： A 与 B 互斥。 （2）事件 C 表示一件衬衫、一件外套（因为恰有一件衬衫，则另一件必然是外套）。 事件 D 表示至少有一件外套，包括两种可能：① 一件衬衫和一件外套，② 两件都是外套。 显然，C 中的情况（一件衬衫、一件外套）也包含在 D 中，所以 C 与 D 可以同时发生（当 C 发生时 D 必然发生），它们的交集就是 C 本身，非空。 结论： C 与 D 不互斥。 （3）事件 E 包括：① 一件衬衫和一件外套，② 两件都是衬衫。 事件 F 表示外套的数量 ≤ 1，包括：① 没有外套（两件都是衬衫），② 一件外套（一件衬衫和一件外套）。 可见，E 中的两种情况恰好都在 F 中，因此 E 与 F 同时发生（E 发生时 F 必发生），它们的交集就是 E，非空。 结论： E 与 F 不互斥。 【典例2】．已知10名学生中有3名男生，7名女生，从中任意选出2名学生，指出下列事件哪些是互斥事件. （1）全部都是女生和全部都是男生； （2)1名男生1名女生和至少有一名女生； （3）至少有一名女生和全部都是女生； （4）全部都是女生和1名男生1名女生． 答案： (1) 和（4）是互斥事件。 分析：互斥事件指两个事件不能同时发生（交集为空）。根据学生性别分类（男生 3 名，女生 7 名），列出每个事件的含义，并判断它们是否可能同时发生。 详解：已知：共 10 人（3 男，7 女），随机选 2 人。 (1) A：2 人全是女生。 B：2 人全是男生。 显然 A 与 B 不可能同时发生，因为 2 人不可能既全是女生又全是男生。 结论： 互斥。 (2) C：一男一女。 D：至少一名女生 → 包括：一男一女、两女。 C 发生时 D 必然发生，二者可同时发生（交集为 C）。 结论： 不互斥。 (3) D：至少一名女生 → 一男一女、两女。 A：两女。 A 是 D 的一部分，A 发生时 D 必发生，交集为 A（非空）。 结论： 不互斥。 (4) A：两女。 C：一男一女。 A 与 C 不可能同时发生（选两人要么两女，要么一男一女，要么两男，不会既是两女又是一男一女），所以 A 与 C 交集为空 → 互斥。 题型2 互斥事件的概率加法公式的运算 【典例1】．在一个不透明的盒子里有红色小球5个、黄色小球7个、蓝色小球10个，现从中随机拿出一个小球，事件A=｛取到红色小球｝，事件B={取到黄色小球｝，求事件C={取到的不是蓝色小球｝的概率. 答案：事件 C 的概率为 。 分析：盒子里小球总数：红 5 个 + 黄 7 个 + 蓝 10 个 = 22 个。 事件  = “取到的不是蓝色小球” = 取到红色或黄色小球，即 ，且  与  互斥。 详解：红球数 = 5，黄球数 = 7 【典例2】. 盒子中有10个球，其中2个白球，3个红球，2个黄球，3个黑球，从中任取1球，事件A={取到的是红球｝，事件B={取到的是黄球｝，事件C={取到的是黑球｝，求事件D={取到的是红球、黄球或黑球｝的概率. 答案：事件 D 的概率为 。 分析：总球数： 个。 事件 D = 取到红球或黄球或黑球 = 。 因为  两两互斥（颜色不同），所以概率直接相加。 详解： 三、知识检测 1．甲、乙、丙是一场辩论赛中同一代表队的三位辩手，下列选项为互斥事件的是( ) A.“甲为一辩手”与“乙为一辩手” B.“甲为二辩手”与“乙为一辩手” C.“丙为三辩手”与“甲为二辩手” D.“丙为一辩手”与“甲为三辩手” 答案： A 分析：互斥事件是两个事件不能同时发生。 一场辩论赛中，一位辩手只能担任一个位置，不能有两个辩手同时担任同一个辩位。 详解： A. “甲为一辩手”与“乙为一辩手”： 同一个辩位（一辩）不能同时由两人担任，所以这两个事件不可能同时发生 → 互斥。 B. “甲为二辩手”与“乙为一辩手”： 可以同时发生（甲是二辩，乙是一辩） → 不互斥。 C. “丙为三辩手”与“甲为二辩手”： 可以同时发生（丙三辩、甲二辩） → 不互斥。 D. “丙为一辩手”与“甲为三辩手”： 可以同时发生（丙一辩、甲三辩） → 不互斥。 因此只有 A 互斥。 2．某城市有“X城日报”“X城晚报”“X城生活报”三种报纸供居民订阅，且一位居民只能订阅一种报纸，小李是该城市的居民，事件A=｛小李订阅X城日报｝，事件B=｛小李订阅X城晚报｝，事件C={A小李订阅X城生活报｝，则下列选项中错误的 ( ) A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件A与事件C是互斥事件 C.事件B与事件C是互斥事件 D.以上选项都不对 答案： D 分析：由于一位居民只能订阅一种报纸，所以订阅“X城日报”“X城晚报”“X城生活报”这三者中的任意两个事件都不能同时发生，因此事件  两两互斥。 详解： · A：事件  与事件  互斥 ✅（不能同时订阅两种报） · B：事件  与事件  互斥 ✅ · C：事件  与事件  互斥 ✅ 由于 A、B、C 都正确，则“以上选项都不对”是错误的。 因此错误的是 D。 3．盒子中有六个小球，分别标着0,1,2,3,4,5六个号码，现从中随机抽取一个，那么下列选项错误的是 ( ) A．“随机抽取一个号码为0”与“随机抽取一个号码为2”是互斥事件 B．“随机抽取一个号码为3”与“随机抽取一个号码为5”是互斥事件 C．“随机抽取一个号码为4”与“随机抽取一个号码为1”是互斥事件 D．“随机抽取一个号码为3”与“随机抽取一个号码为奇数”是互斥事件 答案： D 分析：互斥事件是指两个事件不能同时发生。 每次只随机抽取一个小球，只有一个号码。 详解： A. “号码为 0” 与 “号码为 2” → 不能同时发生 → 互斥 ✅ B. “号码为 3” 与 “号码为 5” → 不能同时发生 → 互斥 ✅ C. “号码为 4” 与 “号码为 1” → 不能同时发生 → 互斥 ✅ D. “号码为 3” 与 “号码为奇数” → “号码为奇数” 包括 1,3,5。 “号码为 3” 发生时，必然也满足“号码为奇数”，因此这两个事件可以同时发生 → 不是互斥 ❌ 4．如果事件A、B互斥，记、分别为事件A、B的对立事件，那么 (　　)． A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与一定不互斥 答案： B 分析： 互斥 ⇒ ，即  与  不能同时发生。 详解： A.  是必然事件吗？不一定，因为还可能发生  与  都不发生的情况，所以  不一定为必然事件 ❌ B. 。 由于 ，所以 （样本空间），因此 ，是必然事件 ✅ C.  与  一定互斥吗？不一定，例如样本空间只有两个互斥事件  且  时， 与  有交集。更一般地，如果 ，则 ，因此  与  不互斥 ❌ D.  与  一定不互斥吗？也未必，例如  且  互斥时，，它们是互斥的，所以“一定不互斥”也不对 ❌ 5. 从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ） A.① B．②④ C．③ D．①③ 答案：C 分析：对立事件：两事件互斥且它们的并集等于全部可能结果（必然事件）。 详解： 设奇数集 （5个奇数） 偶数集 （4个偶数） 两数的可能类型： 1. 两奇数 2. 两偶数 3. 一奇一偶 ① “恰有一个偶数” = “一奇一偶”（因为两数中恰有一个偶，则另一个为奇） “恰有一个奇数” = “一奇一偶” 两者是同一事件，不是对立。 ② “至少有一个奇数” 包括：一奇一偶、两奇。 “两个都是奇数” 是它的子集，不互斥，所以不对立。 ③ “至少有一个奇数” 包括：一奇一偶、两奇。 “两个都是偶数” 是余下的情况。 这两个事件互斥且并集为全部可能结果，因此是对立事件。 ④ “至少有一个奇数” 与 “至少有一个偶数” 交集是“一奇一偶”，不互斥，所以不对立。 4. 某人打靶时，连续射击两次，事件A=“至少有一次中靶”，B=“两次都不中靶”，则（ ） A.AB B. BA C.AB= D.B= 答案：C  分析：连续射击两次。 事件  = 至少有一次中靶（包括：第一次中，第二次中，或两次都中）。 事件  = 两次都不中靶。 详解： ·  与  的关系：  发生 ⇒ 两次都不中靶，这与“至少有一次中靶”不可能同时发生，因此  与  互斥，且 （要么至少一次中靶，要么两次都不中靶）。 所以： 5．抽查10件产品，设试验的样本空间为，A=“至多有1件次品”，B=“至少有两件次品”，则（ ） A.AB B. BA C.AB D.AB=且AB= 答案： D 分析： 抽查 10 件产品，事件 A = “至多有 1 件次品”（次品数 0 或 1）。 事件 B = “至少有两件次品”（次品数 2,3,…,10）。 详解： · A 与 B 互斥：不可能同时满足“至多有 1 件次品”和“至少有两件次品”。 · A 与 B 的并集覆盖了次品数的所有可能情况（0 到 10），因此 （必然事件）。 因此： 即 A 与 B 互为对立事件。 6．已知互斥事件A,B的概率分别是和，则事件A与B的和事件的概率是 ( ) A. B. C. D.1 答案：B 分析： 与  互斥 ⇒  由概率加法公式： 详解： 7．小高同学的数学成绩不太稳定，其高一上学期的数学成绩在60~80分之间的概率是0.5，80~100分之间的概率是0.2，那么小王的成绩在60~100分之间的概率是（　　） A.0.7 B.0.9 C.0.3 D.0.1 答案：A 分析：事件： ·  = 成绩在 60~80 分之间， ·  = 成绩在 80~100 分之间， 因为分数段 60~80 与 80~100 是不重叠且互斥的（80分是边界，严格来说不重叠），所以 。 详解： 成绩在 60~100 分之间 = ， 8．若A,B为对立事件，且P（A）=0.3，则P（B）等于（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．1 答案：C 分析： 为对立事件 ⇒ 。 详解： 9．已知甲乙两人下棋时，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲乙两人下成和棋的概率为（    ） A．10% B．30% C．50% D．60% 答案：C 分析：设： · 甲获胜的概率  · 甲不输的概率  甲不输 = 甲胜 + 和棋（互斥事件）。 详解： 即 50%。 10．已知从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么取出的球质量不小于4.8g且小于4.85g的概率是 ) A.0.02 B.0.38 C.0.62 D.0.68 答案：B 分析：设：事件  = 质量小于 4.8 g， 事件  = 质量不小于 4.85 g， 所求事件  = 质量不小于 4.8 g 且小于 4.85 g 则  两两互斥，且 。 详解： 11．已知事件A,B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.1，则P(A+B)= 答案： 分析：事件  互斥 ⇒ 。 详解： 12．已知事件A与事件B是互斥事件，且P(A)=0.2,P(B)=0..4,若事件C=A∪B，则P(C)的值为 . 答案： 分析：互斥 ⇒ ， 详解： 13．某随机试验的结果有A,B两种，且事件A,B之间是互斥的，若事件B发生的概率是0.51，那么事件A不发生的概率是 答案：事件  不发生的概率是 0.51 分析：试验结果只有  两种，且互斥 ⇒  与  对立。 因此 。 事件“A 不发生” = ，所以概率就是 。 详解： 14．射击运动员小李的射击成绩低于9环的概率是0.19,9~9.5环的概率是0.47,9.5~9.8环的概率是0.23，那么小李的射击成绩在9.8环以下的概率是 答案：概率为 0.89。 分析：事件： · ：成绩低于 9 环， · ：9 ~ 9.5 环， · ：9.5 ~ 9.8 环，  互斥（区间不重叠）， 成绩在 9.8 环以下 = 。 详解： 15．已知某随机试验一共有A,B,C三种结果，记为事件A、事件B和事件C，且事件A,B,C之间两两互斥，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，则事件C不会发生的概率是 答案：事件  不会发生的概率是  分析：  两两互斥且 （必然事件）。 事件“C 不会发生” = 。 详解： 由 “C 不会发生”的概率： 16．甲、乙、丙三人参加某田径比赛的决赛，争夺冠军，若甲获得第一名的概率是0．2，乙获得第一名的概率是0.5，求事件C=｛丙没有获得第一名｝的概率. 答案：事件  的概率为 0.7 分析： 三人中必有一人得第一名，且互斥。 事件“丙没有获得第一名” = 甲或乙获得第一名。 详解： 设  = 甲得第一， = 乙得第一， = 丙得第一。 则  互斥，且 。 已知 ，， 事件  = 丙没有获得第一名 = ， 或者 17.从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件？ 1. “取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”； 1. “取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”； 1. “取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”。 答案：（1）互斥且对立 （2）互斥但不对立 （3）不互斥 分析：袋中 5 红球、5 白球，共 10 个球。一次取 3 个球。 定义事件：  = “取出 3 个红球”  = “取出 3 个球中至少有 1 个白球”  = “取出 2 个红球和 1 个白球”  = “取出的球中至少有 1 个红球” 判断互斥：两事件能否同时发生。 判断对立：互斥且它们的并集为样本空间。 详解： (1)  与  · ：全是红球 → 白球数 0 · ：至少一个白球 → 白球数 ≥ 1 二者不可能同时成立 → 互斥。 又因为取 3 个球要么“全是红球”，要么“至少有一个白球”，没有其他情况，所以  覆盖所有可能结果 → 对立。 (2)  与  · ：2 红 1 白 · ：3 红 二者不可能同时发生（因白球数不同） → 互斥。 但  不等于样本空间（例如还有“1 红 2 白”“3 白”等情况） → 不对立。 (3)  与  · ：3 红 · ：至少 1 个红球 若  发生，则  必然发生，二者可以同时发生（交集为  非空） → 不互斥，也不对立。 18. 某同学的笔袋内装有同款但颜色不同的中性笔，已知这些笔分别是红色、黑色和蓝色，从中任取1支，取出红色中性笔的概率为0.46，取出黑色中性笔的概率是0.24，如果红色中性笔有23支，求： （1）取出蓝色中性笔的概率； （2）笔袋中一共有多少支中性笔？ 答案：（1）取出蓝色中性笔的概率为 。 （2）笔袋中一共有  支中性笔。 分析：笔的颜色只有红、黑、蓝三种，取出一支笔，颜色必然是三者之一，因此概率和为 1。已知红色笔概率与支数，可以求出总笔数，进而得到蓝色笔的概率与支数。 详解： （1）设取出蓝色中性笔的概率为  由概率和为 1： 代入已知 ，： （2）设总笔数为  已知红笔有 23 支，概率为 0.46，即 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $