专题19 用频率估计概率 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题19 用频率估计概率 一、知识梳理 1. 古典概型的特征 1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个 1. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等 将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型 1. 古典概型的概率公式 一般的，设事件E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中m个样本点，则定义事件A的概率P(A)= =。其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数。 二、题型精练 题型1 判断古典概型 【典例1】．下列是古典概型的是 ( ) ①从三名同学中选一人担任班长； ②扔一枚硬币，观察向上一面的正反情况； ③在若干整数中选一个； ④选择题的A、B、C、D四个选项选一个. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④ 【典例2】．下列选项中，不是古典概型的是 ( ) A．在装有红球的袋子中，任意取出1个球 B.三杯奶茶中，任选一杯 C.2篇英语范文中选一篇背诵 D．数学、语文、英语和历史4门课任选一门完成作业 题型2 求古典概率 【典例1】．一只口袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两球，摸出的两个球恰好颜色不同的概率是多少？ 【典例2】. 连续抛掷3枚硬币，恰好有2枚正面朝上的概率是 ( ) A. B. C. D. 三、知识检测 1.下列试验中，是古典概型的个数为(　　)． ①种下一粒花生，观察它是否发芽； ②向上抛一枚质地不均的硬币，观察正面向上的概率； ③向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合； ④从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ⑤在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 2、下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 3．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 4．（2022·山东春季高考）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动．若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是 ( ) A. B. C. D. 5．（2019山东春考）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是 ( ) A. B. C. D. 6．抛一枚骰子点数为偶数的概率为 ( ) A. B. C. D. 7．古代“五行”学说认为：“物质分为金、木水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 ( ) A. B. C. D. 8．从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率为( ) A. B. C. D. 9．袋中有6个小球，5个白球，1个红球，从中任取一个，取到红球的概率为( ) A. B. C. D. 10．从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率为( ) A. B. C. D. 11．抛掷3枚硬币，3枚硬币都是同一面的概率是 ( ) A. B. C. D. 12．甲、乙、丙三人在假期3天值班，每人一天，其中甲恰好在第三天值班的概率为 ( ) A. B. C. D. 13．将卷号为1至3的三卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右卷号为1,2,3的概率为 ( ) A. B. C. D. 14.3件产品中有2件次品a,b,1件正品c，从中不放回的取出两件，其中恰有一件次品的概率是 ( ) A. B. C. D. 15．有高中课本政治、物理、化学、历史、生物各一本，从中取一本书，取出的是理科书的概率是 16．由1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，是奇数的概率为 17．抛掷3枚硬币，观察硬币的正、反情况，求出下列事件的古典概率． （1）事件A=｛两枚反面朝上，一枚正面朝上｝； （2）事件B=｛至少有一枚正面朝上｝. 18．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，求这个两位数是偶数的概率． 19．把3枚均匀的硬币一起抛出，则出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是 . 20．一个口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球。从中一次随机摸出2个球，试求： （1）2个球都是红球的概率； （2）2个球同色的概率； （3）“恰有1个球是白球的概率”是“2个球都是白球的概率”的多少倍？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 用频率估计概率 一、知识梳理 1. 古典概型的特征 1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个 1. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等 将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型 1. 古典概型的概率公式 一般的，设事件E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中m个样本点，则定义事件A的概率P(A)= =。其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数。 二、题型精练 题型1 判断古典概型 【典例1】．下列是古典概型的是 ( ) ①从三名同学中选一人担任班长； ②扔一枚硬币，观察向上一面的正反情况； ③在若干整数中选一个； ④选择题的A、B、C、D四个选项选一个. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④ 答案：A 分析：古典概型要求： 1. 试验中所有可能的基本事件只有有限个； 2. 每个基本事件出现的可能性相等。 详解： ① 从三名同学中选一人担任班长： 可能结果有限（3个），如果每个同学被选中的机会相等（比如随机选举），那么是古典概型 ② 扔一枚硬币：有限结果（正、反），等可能，是古典概型。 ③ 在若干整数中选一个： 整数个数无限多，不满足有限个基本事件，不是古典概型。 ④ 选择题的 A、B、C、D 四个选项选一个：有限（4个），假设随机选时每个选项等可能，是古典概型。 【典例2】．下列选项中，不是古典概型的是 ( ) A．在装有红球的袋子中，任意取出1个球 B. 三杯奶茶中，任选一杯 C. 2篇英语范文中选一篇背诵 D．数学、语文、英语和历史4门课任选一门完成作业 答案：A 分析：古典概型要求： 1. 有限个基本事件； 2. 每个基本事件等可能发生。 详解： A. 在装有红球的袋子中，任意取出 1 个球 · 如果袋子中全是红球，取出的球必然是红球，结果只有 1 个，不是等可能地有不同结果，不满足“等可能的多个结果”特征。严格说，如果只有一种球，只有一个可能结果（必然事件），古典概型一般要求基本事件数至少 2 个且等可能。 · 因此 A 不符合古典概型 通常的典型定义（虽然样本点有限，但只有 1 个结果，失去随机性，一般教材不把它列为古典概型例子）。 B. 三杯奶茶任选一杯：有限且等可能，是古典概型。 C. 2 篇英语范文中选一篇：有限且等可能，是古典概型。 D. 4 门课任选一门：有限且等可能，是古典概型。 题型2 求古典概率 【典例1】．一只口袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两球，摸出的两个球恰好颜色不同的概率是多少？ 答案：概率为  分析：从 5 个球中一次摸出两个球，先列出所有可能的组合，再从中数出颜色不同的组合数。 详解：设 3 个白球为 ，2 个黑球为 。 一次摸出两个球的所有可能结果如下（共 10 种）： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 其中颜色不同的组合为一白一黑，即上面第 4 到第 9 种，共 6 种。 因此概率为： 【典例2】. 连续抛掷3枚硬币，恰好有2枚正面朝上的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案：C 分析：抛 3 枚硬币，总共有  种等可能结果。 恰有 2 枚正面朝上的情况有 3 种：正正反、正反正、反正正。 详解：总结果： 其中恰好 2 枚正面朝上的是： 共 3 种。 概率： 三、知识检测 1.下列试验中，是古典概型的个数为(　　)． ①种下一粒花生，观察它是否发芽； ②向上抛一枚质地不均的硬币，观察正面向上的概率； ③向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合； ④从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ⑤在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 分析：古典概型要求： 1. 有限个基本事件。 2. 每个基本事件出现的可能性相等。 详解： ① 种下一粒花生，观察是否发芽：结果只有“发芽”或“不发芽”，但概率不一定相等，不是古典概型（发芽率不是 1/2）。 ② 硬币质地不均，正面向上的概率不等于 1/2，不是等可能，不是古典概型。 ③ 向正方形内任抛一点 P，点 P 与点 C 重合：正方形内有无限多个点，能与 C 重合的概率为 0，且基本事件无限，不是古典概型。 ④ 从 1,2,3,4 中任取两个数，共  种等可能的组合，有限且等可能，是古典概型。 ⑤ 在线段  上任取一点：基本事件无限，不是古典概型。 2、下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 答案: C 分析： 古典概型条件： 1. 基本事件有限个； 2. 每个基本事件等可能发生。 详解： A. 掷两枚骰子，点数之和作为样本点： 样本点有 2,3,…,12 共 11 种结果，但这些结果不是等可能的（例如和为 2 只有 (1,1)，和为 7 有 6 种），不满足等可能性，不是古典概型。 B. 取任意正整数，平方的个位数字是 1 的概率： 正整数无限多，基本事件无限，不是古典概型。 C. 从 n 条路线中选一条，正好选中最短路线： n 条路线有限，且每条路线被选中的概率相等（假设随机选择），是古典概型。 D. 抛硬币首次出现正面为止： 可能需要抛 1 次、2 次、… 理论上可能无限次，基本事件无限，不是古典概型。 3．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 答案: C 分析：古典概型需满足： 1. 有限个基本事件； 2. 每个基本事件等可能。 详解：A. 口袋有 2 白 3 黑球，基本事件设为{取中白球}和{取中黑球}： 这两个结果概率不相等（概率分别为  和 ），不是等可能，不满足古典概型的等可能性。 B. 在区间上取实数 ： 基本事件无限，不是古典概型。 C. 抛一枚均匀硬币，结果{正面}与{反面}等可能，且基本事件只有两个，是古典概型。 D. 射击中靶或不中靶： 概率一般不相等（比如某人命中率 0.9），不满足等可能，不是古典概型。 4．（2022·山东春季高考）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动．若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析：甲、乙各有 3 种等可能选择（合唱、舞蹈、书画），且相互独立。 总共有  种等可能结果。 两人都选择舞蹈只有 1 种情况。 详解：设活动为 ，其中  表示舞蹈。 甲的选法：3 种 乙的选法：3 种 总结果数： 两人都选舞蹈的组合是 ，只有 1 种。 概率： 5．（2019山东春考）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案：D 分析：卡片总数为  张，其中黑色 6 张。 等可能任取一张，概率为黑色张数除以总张数。 详解： 6．抛一枚骰子点数为偶数的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案：C 分析：骰子点数可能为 ，其中偶数有 ，共 3 种。 总共有 6 种等可能结果。 详解： 7．古代“五行”学说认为：“物质分为金、木水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案：C 分析：五种属性 ，随机抽取两种，总共有  种等可能组合。 按照相克关系：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金（缺火克金？其实五行相克为：金→木→土→水→火→金，循环）。 列出所有相克对（有序循环）： 金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。 对应的无序对： {金,木}, {木,土}, {土,水}, {水,火}, {火,金} 共 5 对。 不相克的组合数 = 。 详解： 总结果数： 相克组合数：5（恰好每个属性出现在两个相克对中，但计算时直接按循环相克有 5 对） 不相克组合数： 概率： 8．从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率为( ) A. B. C. D. 答案：A 分析：有放回取两次，总共有  种等可能结果。 两次取得同一张牌：即第一次任取一张（5种可能），第二次必须与第一次相同（1种可能），共  种。 详解： 设 5 张牌为 。 两次抽牌结果有序对 。 总结果数： 两次相同的结(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),(E,E)，共 5 种。 9．袋中有6个小球，5个白球，1个红球，从中任取一个，取到红球的概率为( ) A. B. C. D. 答案：A 分析：袋中共 6 个球，其中红球 1 个，等可能任取一个。 详解： 10．从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率为( ) A. B. C. D. 答案：A 分析：有放回取两次，总共有  种等可能结果。 两次取得同一张牌的情况： 第一次取任一张（5 种可能），第二次必须与第一次相同（1 种可能），所以有  种。 详解： 总结果数： 有利结果数： 11．抛掷3枚硬币，3枚硬币都是同一面的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析： 抛 3 枚硬币，总共有  种等可能结果。 “同一面”有两种情况：全是正面，或全是反面。 详解：全部结果： 同一面的情况： 全是正面： 全是反面： 共 2 种。 概率： 12．甲、乙、丙三人在假期3天值班，每人一天，其中甲恰好在第三天值班的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案：A 分析：3天，每天一人值班，共有 3 天 × 分配人员。可以用树状图或列表法，但直接思考：甲值班有 3 天等可能（第1天、第2天、第3天），“甲在第三天”只是 3 天中的 1 天。 详解： 甲的值班日期是随机的，有 3 种等可能： · 第1天值班 · 第2天值班 · 第3天值班 这 3 种可能性概率相等。 所以甲恰好在第三天值班的概率 = 。 13．将卷号为1至3的三卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右卷号为1,2,3的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案： B 分析：卷 1、卷 2、卷 3 任意排列。 列出所有可能的 6 种顺序： 1. 1,2,3 2. 1,3,2 3. 2,1,3 4. 2,3,1 5. 3,1,2 6. 3,2,1 共有 6 种等可能排列。 自左到右为 1,2,3 只有第 1 种情况。 详解：概率 =  14.3件产品中有2件次品a,b,1件正品c，从中不放回的取出两件，其中恰有一件次品的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案：D 分析：3 件产品：（次品），（次品），（正品）。 不放回取两件，列出所有可能结果，再数出恰有一件次品的结果数。 详解： 可能的所有结果（无序）： 1. 2. 3. 共 3 种等可能结果。 其中恰有一件次品的是： 共 2 种。 概率： 15．有高中课本政治、物理、化学、历史、生物各一本，从中取一本书，取出的是理科书的概率是 答案：概率为 。 分析：一共有 5 本书：政治（文科）、物理（理科）、化学（理科）、历史（文科）、生物（理科）。 理科书有 3 本（物理、化学、生物）。 详解： 总书数：5 本 理科书本数：3 本 16．由1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，是奇数的概率为 答案：  分析：由数字 1,2,3,4,5 组成五位数，每个位置随机等可能吗？不是直接等可能，但我们可以这样想： 每个五位数等可能地出现（因为数字不同且无重复）。 奇偶性由个位数字决定，个位可以是 1,2,3,4,5 之一，且由于所有排列是随机的，个位出现每个数字的概率相等。 个位是奇数：数字 1,3,5 共 3 种可能；个位是偶数：数字 2,4 共 2 种可能。 每个数字出现在个位的概率相等，因此概率 = 。 详解： 数字 1,2,3,4,5 无重复排列时，个位数字是等概率从这 5 个数字中选取的（对称性）。 奇数数字有 3 个（1,3,5），所以是奇数的概率： 17．抛掷3枚硬币，观察硬币的正、反情况，求出下列事件的古典概率． （1）事件A=｛两枚反面朝上，一枚正面朝上｝； （2）事件B=｛至少有一枚正面朝上｝. 答案：（1） （2） 分析：抛掷 3 枚硬币，每枚硬币有正（H）、反（T）两种结果，共  种等可能结果。全部列出： 1. HHH 2. HHT 3. HTH 4. HTT 5. THH 6. THT 7. TTH 8. TTT 详解： （1）事件  = 两枚反面朝上，一枚正面朝上。 查找上面列表中 只有一枚 H 的情况： HTT、THT、TTH 共 3 种。 （2）事件  = 至少有一枚正面朝上。 “至少有一枚正面”的反面是“一枚正面都没有”，即 TTT。 除了 TTT 外，其他 7 种都符合。 18．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，求这个两位数是偶数的概率． 答案：概率为 。 分析：从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字作两位数（十位与个位不同，且十位不为 0），先列出所有可能的两位数（共 20 个），再从中找出偶数（个位为 2 或 4）。 详解： 列出所有两位数（十位、个位不同）： · 十位 1：12, 13, 14, 15 · 十位 2：21, 23, 24, 25 · 十位 3：31, 32, 34, 35 · 十位 4：41, 42, 43, 45 · 十位 5：51, 52, 53, 54 共  种等可能结果。 偶数的条件：个位是 2 或 4。 个位 2：十位可为 1,3,4,5 → 12, 32, 42, 52 （4 个） 个位 4：十位可为 1,2,3,5 → 14, 24, 34, 54 （4 个） 偶数共  个。 19．把3枚均匀的硬币一起抛出，则出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是 . 答案：概率为 。 分析：三枚硬币每枚结果独立，每枚出现正面（H）或反面（T）的概率都是 。 列出所有可能的结果，共  种等可能情况。 找出其中恰有 2 枚正面朝上、1 枚反面朝上的情况数。 详解： 所有可能的结果（按第一、二、三枚顺序）： 1. HHH 2. HHT 3. HTH 4. HTT 5. THH 6. THT 7. TTH 8. TTT 恰好两枚正面的情况是： HHT、HTH、THH 共 3 种。 20．一个口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球。从中一次随机摸出2个球，试求： （1）2个球都是红球的概率； （2）2个球同色的概率； （3）“恰有1个球是白球的概率”是“2个球都是白球的概率”的多少倍？ 答案（1）：  分析：见解析 解析：红球共 2 个，同时摸出这 2 个的组合数：。 答案（2）：  分析：见解析 解析：同色有三种情况：2 白、2 红、2 黄。 · 2 白： 种 · 2 红：1 种 · 2 黄：1 种 同色总情况数： 种 答案（3）： 8 倍 分析：见解析 解析：事件 A： 恰有 1 个球是白球 · 1 白 1 非白：白球选 1 个（ 种选法），非白球有 4 个（红 2 + 黄 2），选 1 个：。 · 情况数： 事件 B： 2 个球都是白球 情况数：1 倍数： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $