小升初奥数培优：余数的性质（同余）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 《余数的性质（同余）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们学习除法时，常常会遇到“不能整除”的情况，这时就会产生一个“余数”。比 如：17÷5=3余2。这个“余数”看似简单，却蕴含着丰富的数学规律。在奥数中，余 数不仅是计算工具，更是探索数的性质、解决复杂问题的“钥匙”。 本讲义将带你深入理解余数的性质，并初步接触“同余”的思想一一即两个数除以同一 个数所得余数相同，我们就说它们“同余”。这是数论中最基础也最重要的概念之一，广泛 应用于周期问题、密码学、校验码等领域。 学习本讲内容，你将学会： 如何巧妙利用余数分析问题； 掌握余数的运算规律； 解决与周期、分配、分组相关的奥数难题。 请记住：数学不是死记硬背，而是逻辑与思维的艺术。希望你能带着好奇与思考，认真 完成每一个例题和练习，在探索中感受数学的魅力 知识梳理 1、余数的基本概念 (1)定义 在整数除法中，被除数不能被除数整除时，会得到一个商和一个余数。 表达式：被除数=除数×商+余数（其中0≤余数<除数） 例如：23÷5=4余3，即23=5×4+3 (2)余数的范围 余数必须大于等于0，且小于除数。 如除数为7，则余数只能是0,12,3,4,5,6 2、余数的性质 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)可加性 若a÷m余I1,b÷m余r2,则(a+b)÷m的余数等于(r1+r2)÷m的余 数。 例如：10÷7余3,12÷7余5，(10+12)=22÷7余1，而（3+5)=8÷7也余 1。 (2)可乘性 若a÷m余r1,b÷m余r2,则(a×b)÷m的余数等于(r1×r2)÷m的余 数。 例如：8÷7余1,9÷7余2,8×9=72÷7余2，而1×2=2÷7余2。 (3)可减性 类似加法，(a-b)÷m的余数等于(r1一【2)÷m的余数（若结果为负，需加上除数 使其为正)。 例如：10÷7余3,12÷7余5，(10-12)=-2÷7，余数为-2+7=5 3、同余的概念 (1)定义 两个整数a和b,如果它们除以同一个正整数m所得的余数相同，就说a与b对 模m同余，记作：a=bm 读作：“a同余于b模m” (2)举例 17÷5余2,22÷5余2，所以17=225 30÷7余2,44÷7余2，所以30三447 (3)同余的性质 自反性：a三am 对称性：若a三bm,则b≡am 传递性：若a≡bm,b=cm,则a=cm 运算封闭性： 若a≡bm,c=dm,则： a+c≡b+dm 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-c=b-dm aXc≡bXdm 4、应用方向 周期问题（如星期、颜色循环） 数字谜题（如末位数、密码) 分组分配问题 判断整除性 例题讲解 【例题厅（余数的基本计算） 题目：计算37+48除以7的余数。 解析： 先分别求余数： 37÷7=5余2，所以37=27 48÷7=6余6，所以48=67 相加：2+6=8,8÷7=1余1 所以(37+48)÷7余1 答：余数是1。 【跟踪训练】 题目：计算52+39除以8的余数。 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【例题2】（余数的乘法性质） 题目：计算14×15除以6的余数。 解析： 14÷6=2余2→14≡26 15÷6=2余3→ 15=36 2×3=6,6÷6=1余0 所以14×15≡06 答：余数是0。 【跟踪训练】 题目：计算17×19除以5的余数。 【例题3】（同余判断与应用） 题目：判断47和62是否对模9同余。 解析： 47÷9=5余2→47=29 62÷9=6余8→62=89 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 余数不同，所以不同余 答：47和62不对模9同余。 【跟踪训练】 题目：判断35和50是否对模7同余。 【例题4】（周期问题应用） 题目：今天是星期三，再过25天是星期几？ 解析： 一周7天，求25÷7的余数 25÷7=3余4 从星期三开始往后推4天：星期四、星期五、星期六、星期日 所以是星期日 答：再过25天是星期日。 【跟踪训练】 题目：今天是星期一，再过30天是星期几？ 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 提升练习 1.计算28+35除以9的余数。 2.计算16×18除以7的余数。 3.判断44和59是否对模5同余。 4.今天是星期五，再过40天是星期几？ 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.一个数除以6余4，另一个数除以6余5，它们的和除以6余几？ 十模拟赛场 1.有二列数：1,3,5,7,9,1,35,7,9，.每5不数二循环。第2026个数是多少？- 2.23×27+15除以8的余数是多少？ 3.两个数除以7分别余3和5，它们的积除以7余几？ 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.今天是星期二，再过100天是星期几？ 5.若a=46,b=56,求（(a+b)×2÷6的余数。 6.一个自然数除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？（提示：枚举法） 《余数的性质（同余）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们学习除法时，常常会遇到“不能整除”的情况，这时就会产生一个“余数”。比如： 余 。这个“余数”看似简单，却蕴含着丰富的数学规律。在奥数中，余数不仅是计算工具，更是探索数的性质、解决复杂问题的“钥匙”。 本讲义将带你深入理解余数的性质，并初步接触“同余”的思想——即两个数除以同一个数所得余数相同，我们就说它们“同余”。这是数论中最基础也最重要的概念之一，广泛应用于周期问题、密码学、校验码等领域。 学习本讲内容，你将学会： 如何巧妙利用余数分析问题； 掌握余数的运算规律； 解决与周期、分配、分组相关的奥数难题。 请记住：数学不是死记硬背，而是逻辑与思维的艺术。希望你能带着好奇与思考，认真完成每一个例题和练习，在探索中感受数学的魅力！ 知识梳理 1、余数的基本概念 （1）定义 在整数除法中，被除数不能被除数整除时，会得到一个商和一个余数。 表达式：被除数 = 除数 × 商 + 余数（其中 ） 例如： 余 ，即 （2）余数的范围 余数必须大于等于0，且小于除数。 如除数为7，则余数只能是 2、余数的性质 （1）可加性 若 余 ， 余 ，则 的余数等于 的余数。 例如： 余3， 余5， 余1，而 也余1。 （2）可乘性 若 余 ， 余 ，则 的余数等于 的余数。 例如： 余1， 余2， 余2，而 余2。 （3）可减性 类似加法， 的余数等于 的余数（若结果为负，需加上除数使其为正）。 例如： 余3， 余5， ，余数为 3、同余的概念 （1）定义 两个整数 和 ，如果它们除以同一个正整数 所得的余数相同，就说 与 对模 同余，记作： 。 读作：“ 同余于 模 ” （2）举例 余2， 余2，所以 余2， 余2，所以 （3）同余的性质 自反性： 对称性：若 ，则 传递性：若 ， ，则 运算封闭性： 若 ， ，则： 4、应用方向 周期问题（如星期、颜色循环） 数字谜题（如末位数、密码） 分组分配问题 判断整除性 例题讲解 【例题1】（余数的基本计算） 题目：计算 除以7的余数。 解析： 先分别求余数： 余2，所以 余6，所以 相加： ， 余1 所以 余1 答：余数是1。 【跟踪训练】 题目：计算 除以8的余数。 答案及解析 余4 → 余7 → ， 余3 所以余数是3。 答：余数是3。 【例题2】（余数的乘法性质） 题目：计算 除以6的余数。 解析： 余2 → 余3 → ， 余0 所以 答：余数是0。 【跟踪训练】 题目：计算 除以5的余数。 答案及解析 余2 → 余4 → ， 余3 所以余数是3。 答：余数是3。 【例题3】（同余判断与应用） 题目：判断 和 是否对模9同余。 解析： 余2 → 余8 → 余数不同，所以不同余 答： 和 不对模9同余。 【跟踪训练】 题目：判断 和 是否对模7同余。 答案及解析 余0 → 余1 → 余数不同，所以不同余 答：不同余。 【例题4】（周期问题应用） 题目：今天是星期三，再过25天是星期几？ 解析： 一周7天，求 的余数 余4 从星期三开始往后推4天：星期四、星期五、星期六、星期日 所以是星期日 答：再过25天是星期日。 【跟踪训练】 题目：今天是星期一，再过30天是星期几？ 答案及解析 余2 从星期一往后推2天：星期二、星期三 答：再过30天是星期三。 提升练习 1.计算 除以9的余数。 2.计算 除以7的余数。 3.判断 和 是否对模5同余。 4.今天是星期五，再过40天是星期几？ 5.一个数除以6余4，另一个数除以6余5，它们的和除以6余几？ 答案及解析 1. 余1， 余8， 余0 → 余数0 答：0 2. 余2， 余4， 余1 → 余数1 答：1 3. 余4， 余4 → 余数相同 → 同余 答：是 4. 余5，星期五 + 5天 = 星期三 答：星期三 5. ， 余3 → 和除以6余3 答：余3 模拟赛场 1.有一列数：1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, … 每5个数一循环。第2026个数是多少？ 2. 除以8的余数是多少？ 3.两个数除以7分别余3和5，它们的积除以7余几？ 4.今天是星期二，再过 天是星期几？ 5.若 ， ，求 的余数。 6.一个自然数除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？（提示：枚举法） 答案及解析 1.周期为5， 余1 → 第1个数 → 1 答：1 2. ， ， ， 答：余数是4 3. ， 余1 → 余1 答：余1 4. 余2，星期二 + 2天 = 星期四 答：星期四 5. ， 答：余数是0 6.枚举除以5余2的数：2, 7, 12, 17, 22, … 检查除以6是否余3： 2 ÷ 6 余2 ✘ 7 ÷ 6 余1 ✘ 12 ÷ 6 余0 ✘ 17 ÷ 6 = 2 余5 ✘ 22 ÷ 6 = 3 余4 ✘ 27 ÷ 6 = 4 余3 ✅ 答：最小是27 学科网（北京）股份有限公司 $