专题11 分式方程实际应用中的等量关系建模（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题11 分式方程实际应用中的等量关系建模 目录 典例详解 类型一、行程问题中的分式方程建模 类型二、工程问题中的分式方程建模 类型三、利润与经济问题中的分式方程建模 压轴专练 类型一、行程问题中的分式方程建模 1. 基本等量关系 ① 路程 = 速度 × 时间； ② 时间 = 路程 ÷ 速度； ③ 速度 = 路程 ÷ 时间。 2. 常见题型特征 ① 水流问题：顺流速度 = 静水速度 + 水速，逆流速度 = 静水速度 - 水速； ② 相遇追及问题：时间相等或路程相等； ③ 提前或延迟到达问题：时间差关系。 【重要性质】 ① 设合适的未知数（通常设速度或时间）； ② 用表格整理已知量、未知量、等量关系； ③ 根据“时间相等”或“时间差”列分式方程； ④ 解方程并检验是否符合实际（速度、时间为正数）。 例1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 变式1-1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 【答案】方案二需要的时间为分钟． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为，根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的倍”列出方程即可解答． 【详解】解：设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为，列方程得 ， 方程两边乘，得，， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为：， 答：方案二需要的时间为78分钟． 变式1-2．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）一小艇顺流航行24到达目的地，然后逆流返回至出发地，航行时间共6小时．已知水流速度是，求小艇在静水中速度． 【答案】小艇在静水中的速度为9千米/小时 【分析】设小艇在静水中的速度为x千米/小时，由题意得：，解方程即可． 【详解】解：设小艇在静水中的速度为x千米/小时，由题意得： ， 经检验，，均为原分式方程的解，但不符合题意，故舍去， ∴ 答：小艇在静水中的速度为9千米/小时． 类型二、工程问题中的分式方程建模 常见应用场景 ① 分配问题：若干人分若干物，每人分若干件； ② 范围控制问题：如温度、浓度、速度等需在某一区间； ③ 方案选择问题：在满足多个条件下选择最优方案。 【重要性质】 ① 通常需从题意中提取两个或以上不等关系； ② 解出不等式组后，要结合实际情况筛选合理答案； ③ 边界值需特别判断是否符合题意。 例2．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）某校开展劳动实践活动，七年级承包了一项劳动任务，1班单独劳动1小时后，为了加快进度，2班也加入劳动，这样共用3小时完成了任务．已知2班单独劳动需要4小时完成． (1)求1班单独完成此项劳动任务需要多少小时？ (2)若两个班从一开始就合作完成此项劳动任务，求需要多少小时完成劳动任务？ 【答案】(1)6小时 (2)2.4小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． （1）设1班单独完成此项劳动任务需要小时，总任务为“1”，分别计算出两个班级的工作效率，据此列方程． （2）设两班从一开始就合作，则需要小时，由题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设1班单独完成此项劳动任务需要小时，由题意， 得， 解得， 检验：是原方程的解且符合题意． 答：1班单独完成此项劳动任务需要6小时； （2）解：设两班从一开始就合作，则需要小时，由题意， 得 解得， 答：两班从一开始就合作完成此项劳动任务需要2.4小时． 变式2-1．（2025·安徽池州·三模）某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高，这样就可提前天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ 【答案】仍可比计划提前13天完成此项工程 【分析】本题主要考查了运用分式方程解决实际问题，设原计划天完成该项任务，则一天完成的任务是，因为每天的工作效率能比原计划提高，所以每天的实际工作效率是，可以列出分式方程：，解方程求出原计划用天完成工作，再根据实际工作效率只比计划提高了，计算出实际少用的天数． 【详解】解：设原计划天完成该项任务， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， （天）， 答：仍可比计划提前天完成此项工程． 变式2-2．（2025·四川成都·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时 (2)小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 类型三、利润与经济问题中的分式方程建模 1. 基本等量关系 ① 单价 = 总价 ÷ 数量； ② 利润 = 售价 - 成本； ③ 利润率 = 利润 ÷ 成本。 2. 常见题型特征 ① 打折销售问题； ② 提价降价问题； ③ 平均价格、平均成本问题。 【重要性质】 ① 选择合适未知量设为未知数； ② 根据等量关系列方程； ③ 注意单位统一，价格、数量均为正数； ④ 检验结果是否符合实际（如人数、件数为整数）。 例3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）“如果你有时间，一定要来一趟芜湖，吹吹十里江湾的晚风，逛逛灯火璀璨的鸠兹古城，看看奇幻瑰丽的方特”．节假日里，芜湖吸引了国内外很多游客，方特王国和古城游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，古城景区非物质文化芜湖捏面人王师傅的小摊上“拉布布”、“水豚噜噜”等面人精美可爱，被不少顾客分享至网络，意外“走红”，他用500元购进的款粘土和用750元购进的款更稳定的改良粘土的数量相同，每份款改良粘土的进价比款粘土的进价多5元． (1)求，两款粘土每份的进价； (2)王师傅的摊位上既有成品，也接受带图定制，但多数顾客愿意等待，亲眼见证形象从无到有的诞生过程．王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进这两款粘土共100份制作成面人进行销售，求款改良粘土最多购进多少份？ 【答案】(1)款粘土每份的进价是10元，则款改良粘土每份的进价是15元 (2)最多可以购进64份款改良粘土 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键． （1）设款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款粘土份，则购进款改良粘土份；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 元 答：款粘土每份的进价是10元，则款改良粘土每份的进价是15元 （2）解：设购进份款改良粘土，则购进份款粘土， 由题意得： 解得： 答：最多可以购进64份款改良粘土． 变式3-1．（24-25九年级下·重庆开州·月考）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 变式3-2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元，小亮妈妈购买蜜枣的数量是肉粽数量的倍． 素材3 永恒超市根据平时消费者购买情况，在“端午节”当天，将肉粽的单价提高，蜜枣粽单价降低，节日当天总销售量是400个，超市想要当天粽子销售总额不低于1800元，至少销售多少个肉粽． 问题解决 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出小亮妈妈在超市两种粽子各买了多少． 任务2 探究 按素材要求确定端午节当天肉粽的销售情况． 请同学们根据以上素材完成探究任务． 【答案】任务1：肉棕买了20个，蜜枣粽买了30个；任务2：端午节当天至少销售100个肉粽 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意累出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设肉粽买了x个，则蜜枣棕买了个，根据肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元建立方程组求解即可； 任务2：根据任务1所求可得原来肉粽的单价的为6元，蜜枣的单价为4元，设购买肉棕a个，则购买蜜枣棕个，根据当天粽子销售总额不低于1800元建立不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设肉粽买了x个，则蜜枣棕买了个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：肉棕买了20个，蜜枣粽买了30个． 任务2：由任务1得：原来肉粽的单价的为（元）， 原来蜜枣的单价为：（元） 设购买肉棕a个，则购买蜜枣棕个 由题意可得： 解得：， 答：端午节当天至少销售100个肉粽． 一、解答题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某汽车评估机构对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．（续航里程一般指汽车油箱加满或电池满电时，跑到完全不能继续移动时一共跑过的里程数．）相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为S千米． (1)燃油车每千米行驶费用为 元，纯电新能源车每千米行驶费用为 元；（用含S的代数式表示） (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，列代数式等知识． （1）根据总的油价和电价分别除以续航里程S即可得出答案． （2）根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元列出关于S的分式方程，解分式方程即可得出S，再进一步求各自的每千米行驶费用即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：元， 纯电新能源车每千米行驶费用为：元， （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为， ∴（元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元． 2.（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 【答案】(1)嘉琪从张庄到李庄所用的时间 (2)方程见解析，嘉琪和爸爸二人的速度各是和 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据甲同学所列方程即可得到结论； （2）根据题意列分式方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示嘉琪所用时间； 故答案为：嘉琪所用时间； （2）解：设嘉琪的速度为，则爸爸的速度为， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：嘉琪和爸爸二人的速度各是和． 3.（2024七年级下·安徽·专题练习）李明到离家千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距聚会还有分钟，于是分立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校，已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了分钟． (1)李明步行的速度是多少米分？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 【答案】(1)李明步行的速度是米/分 (2)李明能在联欢会开始前赶到学校 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设李明步行的速度是米分，根据李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了分钟列出方程，即可得出答案； （2）求出李明赶到学校所用的时间，再与分钟比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设李明步行的速度是米分，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解； 答：李明步行的速度是米分； （2）解：， 李明能在联欢会开始前赶到学校． 4.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求黄老师驾车的平均速度； (2)据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量． 【答案】(1)54千米/小时 (2)千克 【分析】本题主要考查分式方程的应用以及有理数乘法在生活中的应用． （1）可设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解； （2）由（1）可得黄老师开车的平均速度，再计算黄老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克． 【详解】（1）解：设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时， 依题意有：， 解得，经检验，是原方程的解． 则， 故黄老师驾车的平均速度为54千米/小时； （2）由（1）可得黄老师驾车的平均速度为54千米/小时， （千克）． 故可以减少碳排放量千克． 5.（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？ 【答案】27千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小王用自驾方式上班平均每小时行驶千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶千米，根据“乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的”列出分式方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设小王用自驾方式上班平均每小时行驶千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶千米， 由题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合实际， 答：小王用自驾方式上班平均每小时行驶27千米． 6.（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队合作3天 (2)C方案，理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用； （1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程，可知方案C中“星号”部分为：若甲、乙两队合作3天； （2）根据题意先求得规定的天数，然后算出两种方案的费用之后，再根据题意选择节省工程款的方案． 【详解】（1）解：根据题意得出的方程为，则条件为：若甲、乙两队合作3天； 故答案为：若甲、乙两队合作3天; （2）解：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解，所以规定的工期为9天 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： B方案：（万元）； C方案： （万元）， ∵， ∴C方案更省钱. 7.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【答案】(1)90天 (2)20天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量的三分之二，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工，根据总工程款甲队工作时间乙队工作时间，结合工程款不超过195万元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作30天． 8.（24-25七年级下·安徽六安·期末）为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找准数量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间总工作量工作效率，结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设应安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用每天费用工作时间结合这次的绿化总费用不超过7万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成绿化面积为平方米，则甲工程队每天完成绿化面积为平方米，根据题意： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以 答：甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米． （2）解：设安排甲工程队工作天，则安排乙工程队工作天，根据题意： ， ， 解得：， 答：至少应安排甲工程队工作10天． 9.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）假期将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍． (1)小华同学列的方程是，你知道代表什么吗？ (2)请你用不同于（1）中小华的方法，求用320元购买种花卉的数量． (3)插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，求的值． 【答案】(1)代表每枝种花卉的单价 (2)用320元购买种花卉的数量为16枝 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意以及，易得代表每枝种花卉的单价，即可作答． （2）根据题意，列出分式方程，解得，最后要验根，即可作答． （3）根据完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，得，解得，最后要验根，即可作答． 【详解】（1）解：∵采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍，且， ∴代表每枝种花卉的单价． （2）解：设用320元购买种花卉的数量为枝， 则每枝种花卉的单价为元，每枝种花卉的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：用320元购买种花卉的数量为16枝． （3）解：由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴． 10.（25-26八年级上·安徽黄山·期末）数学源于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某学校计划购进《趣味数学》和《数学史话》若干套，已知《数学史话》的单价是《趣味数学》单价的2倍，用4000元购买《趣味数学》的数量比购买《数学史话》多50套． (1)求《趣味数学》每套的价格； (2)学校计划用不超过3500元购进这两套书共60套，此时正赶上书店8折销售所有书籍，求《数学史话》最多能买几套？ 【答案】(1)每套《趣味数学》的价格为40元； (2)《数学史话》最多能买49套． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，准确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《趣味数学》的价格为x元，则每套《数学史话》价格为元．用4000元购买《趣味数学》的数量比购买《数学史话》多50套，据此列出方程并解方程即可； （2）设购买《数学史话》y套，则购买《趣味数学》套．学校计划用不超过3500元购进这两套书共60套，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设每套《趣味数学》的价格为x元，则每套《数学史话》价格为元． 根据题意得： 解得 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 答：每套《趣味数学》的价格为40元； （2）解：由（1）可知每套《趣味数学》的价格为40元，每套《数学史话》的价格为元． 书店8折销售，则打折后《趣味数学》每套元，《数学史话》每套元． 设购买《数学史话》y套，则购买《趣味数学》套． 根据题意得： 解得≤=49 因为y为书的套数，应为整数，所以y的最大值为49． 答：《数学史话》最多能买49套． 11.（24-25八年级上·安徽淮南·期末）某商店用3000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了9900元． (1)请求出第一批每只书包的进价； (2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包； (3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 【答案】(1)第一批每只书包的进价为元； (2)该商店第一批和第二批分别购进了只和只书包； (3)全部售出后，商店共盈利元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设第一批每只书包的进价为元，则第二批每只书包的进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列分式方程求解即可； （2）根据价格金额单价，求出该商店第一批购进书包的数量，再根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”，求出第二批购进书包的数量即可； （3）用两批书包的总销售金额减去两次购买费用，即可求出盈利． 【详解】（1）解：设第一批每只书包的进价为元，则第二批每只书包的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批每只书包的进价为元； （2）解：该商店第一批购进书包的数量为（只）， 则第二批购进书包的数量为（只）； 答：该商店第一批和第二批分别购进了只和只书包； （3）解：（元）， 答：全部售出后，商店共盈利元． 12.（24-25七年级下·安徽池州·期末）近日，在经济高质量发展大会上，创始人戴着一副眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“眼镜”也瞬间成为网络热词，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同． 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元． 问题解决 任务1 求每副“灵眸X”和“智视”眼镜的标价； 任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？ 【答案】任务1：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视”眼镜的标价为800元；最多能购买11副“灵眸X” 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 任务1：设每副“灵眸X”的标价为x元，则“智视”眼镜的标价为元，根据用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； 任务2：设能购买m副“灵眸X”，则能购买副“智视”，根据商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元，预算为20000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：设每副“灵眸X”的标价为元，则“智视”眼镜的标价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视”眼镜的标价为800元； 任务2：设能购买副“灵眸X”，则能购买副“智视”， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为11， 答：最多能购买11副“灵眸X”． 13.（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在校园创客空间建设中，学校需采购两类智能设备用于3D打印和编程控制实验．以下是采购信息，探索解决任务： 智能设备采购方案设计 信息1 类设备单价比类设备单价高150元 信息2 用3000元购买类设备的数量与用1500元购买类设备的数量相同 信息3 学校计划采购类设备共80套，总预算不超过21000元． 问题解决 任务1 确定智能设备单价 类设备，类设备的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要类设备尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：类设备单价是300元，类设备单价是150元；任务2：购买类设备60套，类设备20套 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程和一元一次不等式成为解题的关键． 任务1：设类设备单价是元，类设备单价是元，然后根据题意列分式方程求解即可； 任务2：设购买类设备套，购买类设备套，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设类设备单价是元，类设备单价是元， 根据题意得：， 解得： 经检验，是原方程的根， ∴ 答：类设备单价是300元，类设备单价是150元； 任务2：设购买类设备套，购买类设备套， ∴， 解得：， 又∵类设备尽可能的多， ∴取最大值60，此时， 答：满足条件的购买方案是：购买类设备60套，类设备20套． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 分式方程实际应用中的等量关系建模 目录 典例详解 类型一、行程问题中的分式方程建模 类型二、工程问题中的分式方程建模 类型三、利润与经济问题中的分式方程建模 压轴专练 类型一、行程问题中的分式方程建模 1. 基本等量关系 ① 路程 = 速度 × 时间； ② 时间 = 路程 ÷ 速度； ③ 速度 = 路程 ÷ 时间。 2. 常见题型特征 ① 水流问题：顺流速度 = 静水速度 + 水速，逆流速度 = 静水速度 - 水速； ② 相遇追及问题：时间相等或路程相等； ③ 提前或延迟到达问题：时间差关系。 【重要性质】 ① 设合适的未知数（通常设速度或时间）； ② 用表格整理已知量、未知量、等量关系； ③ 根据“时间相等”或“时间差”列分式方程； ④ 解方程并检验是否符合实际（速度、时间为正数）。 例1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 变式1-1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 变式1-2．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）一小艇顺流航行24到达目的地，然后逆流返回至出发地，航行时间共6小时．已知水流速度是，求小艇在静水中速度． 类型二、工程问题中的分式方程建模 常见应用场景 ① 分配问题：若干人分若干物，每人分若干件； ② 范围控制问题：如温度、浓度、速度等需在某一区间； ③ 方案选择问题：在满足多个条件下选择最优方案。 【重要性质】 ① 通常需从题意中提取两个或以上不等关系； ② 解出不等式组后，要结合实际情况筛选合理答案； ③ 边界值需特别判断是否符合题意。 例2．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）某校开展劳动实践活动，七年级承包了一项劳动任务，1班单独劳动1小时后，为了加快进度，2班也加入劳动，这样共用3小时完成了任务．已知2班单独劳动需要4小时完成． (1)求1班单独完成此项劳动任务需要多少小时？ (2)若两个班从一开始就合作完成此项劳动任务，求需要多少小时完成劳动任务？ 变式2-1．（2025·安徽池州·三模）某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高，这样就可提前天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ 变式2-2．（2025·四川成都·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 类型三、利润与经济问题中的分式方程建模 1. 基本等量关系 ① 单价 = 总价 ÷ 数量； ② 利润 = 售价 - 成本； ③ 利润率 = 利润 ÷ 成本。 2. 常见题型特征 ① 打折销售问题； ② 提价降价问题； ③ 平均价格、平均成本问题。 【重要性质】 ① 选择合适未知量设为未知数； ② 根据等量关系列方程； ③ 注意单位统一，价格、数量均为正数； ④ 检验结果是否符合实际（如人数、件数为整数）。 例3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）“如果你有时间，一定要来一趟芜湖，吹吹十里江湾的晚风，逛逛灯火璀璨的鸠兹古城，看看奇幻瑰丽的方特”．节假日里，芜湖吸引了国内外很多游客，方特王国和古城游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，古城景区非物质文化芜湖捏面人王师傅的小摊上“拉布布”、“水豚噜噜”等面人精美可爱，被不少顾客分享至网络，意外“走红”，他用500元购进的款粘土和用750元购进的款更稳定的改良粘土的数量相同，每份款改良粘土的进价比款粘土的进价多5元． (1)求，两款粘土每份的进价； (2)王师傅的摊位上既有成品，也接受带图定制，但多数顾客愿意等待，亲眼见证形象从无到有的诞生过程．王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进这两款粘土共100份制作成面人进行销售，求款改良粘土最多购进多少份？ 变式3-1．（24-25九年级下·重庆开州·月考）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 变式3-2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元，小亮妈妈购买蜜枣的数量是肉粽数量的倍． 素材3 永恒超市根据平时消费者购买情况，在“端午节”当天，将肉粽的单价提高，蜜枣粽单价降低，节日当天总销售量是400个，超市想要当天粽子销售总额不低于1800元，至少销售多少个肉粽． 问题解决 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出小亮妈妈在超市两种粽子各买了多少． 任务2 探究 按素材要求确定端午节当天肉粽的销售情况． 请同学们根据以上素材完成探究任务． 一、解答题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某汽车评估机构对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．（续航里程一般指汽车油箱加满或电池满电时，跑到完全不能继续移动时一共跑过的里程数．）相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为S千米． (1)燃油车每千米行驶费用为 元，纯电新能源车每千米行驶费用为 元；（用含S的代数式表示） (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请求出这两款车的每千米行驶费用． 2.（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 3.（2024七年级下·安徽·专题练习）李明到离家千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距聚会还有分钟，于是分立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校，已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了分钟． (1)李明步行的速度是多少米分？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 4.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求黄老师驾车的平均速度； (2)据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量． 5.（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？ 6.（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 7.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 8.（24-25七年级下·安徽六安·期末）为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 9.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）假期将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍． (1)小华同学列的方程是，你知道代表什么吗？ (2)请你用不同于（1）中小华的方法，求用320元购买种花卉的数量． (3)插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，求的值． 10.（25-26八年级上·安徽黄山·期末）数学源于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某学校计划购进《趣味数学》和《数学史话》若干套，已知《数学史话》的单价是《趣味数学》单价的2倍，用4000元购买《趣味数学》的数量比购买《数学史话》多50套． (1)求《趣味数学》每套的价格； (2)学校计划用不超过3500元购进这两套书共60套，此时正赶上书店8折销售所有书籍，求《数学史话》最多能买几套？ 11.（24-25八年级上·安徽淮南·期末）某商店用3000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了9900元． (1)请求出第一批每只书包的进价； (2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包； (3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 12.（24-25七年级下·安徽池州·期末）近日，在经济高质量发展大会上，创始人戴着一副眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“眼镜”也瞬间成为网络热词，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同． 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元． 问题解决 任务1 求每副“灵眸X”和“智视”眼镜的标价； 任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？ 13.（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在校园创客空间建设中，学校需采购两类智能设备用于3D打印和编程控制实验．以下是采购信息，探索解决任务： 智能设备采购方案设计 信息1 类设备单价比类设备单价高150元 信息2 用3000元购买类设备的数量与用1500元购买类设备的数量相同 信息3 学校计划采购类设备共80套，总预算不超过21000元． 问题解决 任务1 确定智能设备单价 类设备，类设备的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要类设备尽可能的多，求满足条件的购买方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $