8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 第八章 立体几何初步 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 平面 1 平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的 水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.（直观理解） 知识剖析 （1）平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量. （2）平面无厚薄、无大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延 展的，一个平面可以将空间分成两部分.（抽象理解） . . . . 6 2 平面的画法 （1）与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表 示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. （2）当平面水平放置时,如图8.4-1（1）所示,常把平行四边形的一边画成横向； 当平面竖直放置时，如图 8.4-1（2）所示,常把平行四边形的一边画成竖向. 图8.4-1 7 3 平面的表示方法 图8.4-2 我们常用希腊字母 , , 等表示平面，如平面 、平 面 、平面 等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个 角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相 对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图8.4-2 特别提醒 用希腊字母表示平面时，若题目条件已经说明平面 ,则题目后面的叙述 过程中可省略“平面”二字，只说 ，而其他几种表示方法则不能省略“平面”二字. 中的平面 ，也可以表示为平面、平面、平面、平面或者平面 . （可以用平面内不共线的三个点表示平面） . . . . 8 学思用·典例详解 例1-1 给出以下命题： ①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚. ②有一个平面的长是，宽是 . ③平面的形状是平行四边形. ④平面是绝对的平滑、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念. ⑤圆、椭圆等平面图形可以表示平面. ⑥空间图形中，后作的辅助线都是虚线. 其中真命题的个数为___. 2 9 【解析】平面是平滑、无厚度、可以无限延展的，故①②是假命题，④是真命题. 平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的，故③是假命题. 有时根据具体情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、椭圆、正方形等表示平 面，故⑤是真命题． 图8.4-8 在空间图形中，我们一般把看得见的线画成实线，把被遮住的线画 成虚线或不画，即眼见为实，不见为虚,如图8.4-8，故⑥是假命题. 10 辨析 平面与平面图形 1.几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，因此是无法度量的. 2.平面图形是几何图形的一种，指所有点都在同一平面内的图形，如直线、三角形、 平行四边形等都是基本平面图形. 3.通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的. 11 知识点2 点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直 线、平面都是点构成的集合.点与直线（平面）之间的位置关系用符号“ ”“ ”表示， 直线与平面之间的位置关系用符号“ ”“ ”表示.（【注意】与集合中的“ ”“ ”“ ”不同，注意区分） 点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下： 位置关系 符号表示 位置关系 符号表示 点在直线 上 点不在直线 上 点在平面 内 点不在平面 内 直线在平面 内 直线不在平面 内 直线与相交于点 平面 ， 相交于直线 . . 12 特别提醒 1.用集合语言描述位置关系时，“ , , ”等符号虽然来源于集合符号， 但在读法上却用几何语言.例如， 读作“点在平面 内”； 读作“直线 在平面 内”；读作“平面 ， 相交于直线 ”. 2.几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合符号略有 差异.例如，不用来表示直线,相交于点,而是简记为,这里的 既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素（点）的集合. 13 学思用·典例详解 例2-2 ［教材改编P131习题8.4T1］把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的 横线上. （1） ， ____． ③ （2）， ,且 ____． ④ （3） ， ____． ① （4），，， ____． ② 14 知识点3 三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论 1 三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 有且只有一个平面. ，，三点不共线 存在唯一的平面 使 ，， . 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一 个平面内，那么这条直线在这 个平面内. ， ，且 ， . 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线. ,且 ，且 . 15 知识剖析 对三个基本事实的理解 1.“不在一条直线上”和“三个点”是基本事实1的重点字眼，如果三个点在一条直 线上，那么过一条直线的平面不唯一；如果将“三个点”改成“四个点”，那么过四个 点不一定存在一个平面.由此可见，“不在一条直线上的三个点”是确定一个平面的恰 到好处的条件.这里的“有且只有”包括存在性和唯一性两个方面,“有”表示平面存在， “只有”表示平面唯一. 2.从集合的角度看基本事实2，即如果一条直线（集合）上有两个点（元素）属 于一个平面（集合），那么这条直线就是这个平面的真子集.这个结论阐述了两个观 点：一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内. 3.基本事实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一.从集合的 角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，那么公共点一定有无数个， 且这无数个点的集合构成一条直线，就是两平面的交线.#1.1.3 . . . . 16 2 三个基本事实的作用 基本事实 作用 基本事实1 ①确定一个平面；②判断两个平面重合； ③证明点、线共面. 基本事实2 ①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3 ①判断两个平面相交；②证明点共线； ③证明线共点. 17 3 基本事实1,2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外 一点，有且只有一个平面. 点与 共面于平 面 ,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只 有一个平面. 与 共面于平 面 ，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只 有一个平面. 直线 直线, 共面 于平面 ，且平面唯一. 注意 若无特殊说明，本书中的两条直线、两个平面均指不重合的直线、平面. 18 学思用·典例详解 例3-3 （1）如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么这条直线和这个平面有 ____个公共点. 一 【解析】这条直线和这个平面只有一个公共点.假如这条直线和这个平面有两个及以 上公共点，由基本事实2可得，这条直线上所有的点都在这个平面内，与已知矛盾， 这说明直线与这个平面有两个及以上公共点是不可能的，所以这条直线和这个平面 只有一个公共点. （2）若平面 与平面 相交，则平面 与平面 有______个公共点. 无数 【解析】根据基本事实3，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点， 所有这些公共点的集合是这两个平面的交线，故平面 与平面 有无数个公共点. 19 例3-4 若直线与平面 相交于点，，，， ，且，则， ， 三点的位置关系是______. 共线 图8.4-9 【解析】如图8.4-9，因为，所以， 确定一个平面， 设该平面为 ，则，，均在平面 内，因为点在直线 上， 所以点在平面 内.又点，，在平面 内，所以平面 ， 相交于,，三点所在直线（基本事实3），故，， 三 点共线. 20 例3-5 下列命题是真命题的是( ) D A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线确定一个平面 D.两两平行的三条直线确定一个或三个平面 21 图8.4-10 【解析】当三个点共线时，可作无数个平面，故A是假 命题.如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面，如 果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平 面，故B是假命题.三条直线可能交于同一点，如图8.4-10 两两平行的三条直线在同一个平面内时，可以确定一个平面，不在同一个平面内时， 可以确定三个平面，故D是真命题. （1）所示，也可能有三个不同的交点，如图8.4-10（2）所示.对于图8.4-10（1）， 由推论2知，可以确定一个或三个平面；对于图8.4-10（2），由推论2及基本事实1知， 可以确定一个平面.所以两两相交的三条直线确定一个或三个平面，故C是假命题. 22 知识点4 空间中直线与直线的位置关系 1 三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的 位置关系有三种： . . 23 2 异面直线的画法 为了表示异面直线, 不共面的特点,作图时，通常用一个或两个平面衬托,如图 8.4-3所示. 图8.4-3 24 知识剖析 理解异面直线时的两个关键点 1.异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件. 图8.4-4 2.不能把异面直线误认为只是分别在不同平面内的两条直线，如 图8.4-4中，虽然有 , ,即, 分别在两个不同的平面内， 但是因为,所以与 不是异面直线. 25 学思用·典例详解 图8.4-11 例4-6 [教材改编P131练习T2]如图8.4-11，观察正方体 ，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线 的位置关系是______； ②直线与直线 的位置关系是______； ③直线与直线 的位置关系是______； ④直线与直线 的位置关系是______. 平行 异面 相交 异面 26 【解析】直线与直线在平面 内，且没有交点，则两直线平行，所以 ①应该填“平行”. 直线与直线相交于点 ，所以③应该填“相交”. 点，，在平面内，而点不在平面内，则直线与直线 异面． 同理，直线与直线 异面，所以②④应该填“异面”． 27 知识点5 空间中直线与平面的位置关系 1 三种位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 28 2 用图形表示三种位置关系的技巧 一般地,直线在平面 内,应把直线画在表示平面 的平行四边形内;直线 与 平面 相交,应画成直线与平面 有且只有一个公共点,被平面 遮住的部分画成虚 线或不画;直线与平面 平行,应画成直线与表示平面 的平行四边形的一条边平 行,并画在表示平面 的平行四边形外. . . . . 29 学思用·典例详解 例5-7 在如图8.4-12所示的正方体 中， 图8.4-12 （1）与 所在直线平行的平面有___个； 2 【解析】与所在直线平行的平面有平面和平面 ； 30 （2）与 所在直线平行的平面有___个； 1 【解析】与所在直线平行的平面只有平面 ； （3）与 所在直线相交的平面有___个. 2 【解析】与所在直线相交的平面有平面和平面 . 31 知识点6 空间中平面与平面的位置关系 1 两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 2 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 32 3 相交平面的画法技巧 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把 被挡住的部分画成虚线或不画. 相交平面画法的具体步骤如下： （1）画两条相交线段,表示两个平行四边形（平行四边形表示平面）的两条边, 如图8.4-5（1）中的， . （2）画两个相交平面的交线,如图8.4-5（2）中的 . （3）过端点，，，分别画出与平行且相等的线段，，， ， 连接和,可以得到表示平面的两个平行四边形和 ,如图8.4-5（3）. . . . . 33 （4）把被平面挡住的部分改成虚线（或不画）,如图8.4-5（4）. 图8.4-5 34 学思用·典例详解 图8.4-13 例6-8 如图8.4-13,四棱台是由四棱锥 截得的. （1）判断平面与平面 的位置关系; 【解析】平面与平面 平行. （2）判断平面与平面 的位置关系. 【解析】平面与平面 相交. 35 例6-9 下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) D A. B. C. D. 36 释疑惑 重难拓展 知识点7 平面分空间问题 图 8.4-6 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢？三个平 面呢？（【教材深挖】此处是对教材第132页第7题的深挖） （1）两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分,如图8.4-6 （1）; ②当两个平面相交时，将空间分成四部分,如图8.4-6 （2）. 37 （2）三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分,如图8.4-7（1）； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分,如图8.4-7 （2）； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分,如图8.4-7（3）； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部 分,如图8.4-7（4）； 图8.4-7 ⑤当三个平面相交于三条直线，且三 条交线互相平行时，将空间分成七部分,如 图8.4-7（5）. 38 学思用·典例详解 例7-10 (2025·广东省广州市期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别 分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是 ( ) B A.25 B.26 C.28 D.30 39 【解析】先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线最多分一个平面为4部分， 图8.4-14 3条直线最多分一个平面为7部分，如图8.4-14（1）, 4条直线最多分一个平面为11部分，如图8.4-14（2）. 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个， 4个，8个区域， 第4个平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成 （个）区域， 第5个平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， （利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析） 所以5个平面最多可将空间分成 （个）区域. 40 题型解析 03 题型1 三种语言的转化 例11 [教材改编P131习题8.4 T1]根据下列符号表示的语句，说明点、直线、平面之 间的位置关系，并画出相应的图形： （1） , ; 【解析】点在平面 内，点不在平面 内. （2） ,, ; 【解析】直线在平面 内，直线与平面 相交于点，且点不在直线 上. 42 （3）, ,, . 【解析】直线经过平面 外一点和平面 内一点 . 图形分别如图8.4-15（1）（2）（3）所示. 图8.4-15 43 解决几何问题，三种语言之间的相互转换是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如 点与直线、点与平面之间的位置关系用“ ”或“ ”表示，直线与平面之间的位置关 系用“ ”或“ ”表示.用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，要注意实 线和虚线的区别. 44 【学会了吗丨变式题】 图8.4-16 1.［教材改编P130例1］(2025·广西南宁市第三十六中学月考)如图 8.4-16所示，点、直线、平面的位置关系用符号表示正确的是 ( ) A A., , B., , C., ,, D., ,, 【解析】平面 与平面 相交于直线,记作;直线在平面 内，记作 ;直线与直线相交于点,记作；点在直线上，也在直线 上， 记作, .故选A. 45 题型2 点、线共面问题 例12 如图8.4-17，已知直线，，， .求证：直线 ，，和 共面． 图8.4-17 46 【解析】 （辅助平面法） 因为,所以,确定一个平面 . （推论3） 因为,,所以 , . 又,,所以 . 因为,所以 , 所以直线与点同在平面 内. 因为,所以直线,确定一个平面 . 因为, ,所以 , 即直线与点同在平面 内. 由推论1，可得平面 和平面 重合，则 . 所以,,, 共面. . . 47 （纳入平面法） 因为,所以,确定一个平面 . 因为,,所以 , . 又,,所以 . 则,,都在平面 内, 即在, 确定的平面内. 同理可证在, 确定的平面内. 因为过与 只能确定一个平面, 所以,,,共面于, 确定的平面. 48 证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有： （1）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内. （2）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面 ，再证明其余点、线确定平面 ， 最后证明平面 , 重合; （3）反证法，假设不共面，结合题设推出矛盾. 49 题型3 点共线问题 例13 如图8.4-18，在正方体 中， 设与平面交于点,求证：,, 三点共 线. 【解析】如图8.4-19，连接, , 平面, 平面 , 平面 . 同理 平面 . 平面 平面 . 平面, 平面 . 又 平面, 平面 . 点在平面与平面 的交线上，即 ,故,, 三点共线. 50 证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明 常用以下两种方法： （1）先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3 知这些点都在这两个平面的交线上； （2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. 51 题型4 线共点问题 例14 三个平面 ， ， 两两相交于三条直线，即,, , 若直线和不平行，求证：,, 三条直线必相交于同一点. 图8.4-20 【解析】如图8.4-20，,, , . 直线和不平行，, 必相交. 设,则, . , , , ,又, . 故,, 三条直线必相交于同一点. 52 例15 在四面体中，,分别是,的中点，点在上，点在 上，且 .求证：,, 交于一点. 【解析】如图8.4-21，连接, . 图8.4-21 因为,分别是, 的中点， 所以, . 53 又,所以,,所以，,所以 , ,,四点共面，且四边形 是一个梯形. 延长和交于一点 ， 因为 平面， 平面 ， 所以 平面， 平面 ， 所以点 在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是,且交线只有这一条，所以点在直线 上. 所以，， 交于一点. 证明三线共点的方法 证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第 三条直线也过该点.常结合基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在 两个平面的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点. 55 题型5 平面的交线问题 例16 如图8.4-22，，分别是正方体的棱， 的中点,试画 出平面与平面 的交线. 56 【解析】如图8.4-23，在平面内，与不平行，分别延长与 ，则 与必相交,设交点为 . 因为，， 平面， 平面,所以 平面 平面 ， 又 平面 平面 ， 连接，则平面 平面 . 故直线 即所求两平面的交线. 57 找两个平面交线的突破口 基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点， 只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的 突破口是找到这两个平面的两个公共点. 找公共点的常用方法是：在两平面内分别取一条线，使这两条线满足共面不平行， 延长相交于一点，该点即为两平面的一个公共点. 58 题型6 直线与直线的位置关系 例17 (2025·上海市实验学校月考)若空间中四条两两不同的直线,,,满足 , , ,则下列结论一定正确的是( ) D A. B. C.与既不垂直也不平行 D.与 的位置关系不确定 59 图8.4-24 【解析】构造如图8.4-24所示的正方体 （借助熟悉的几何体（如正方体、长方体）模型来研究线线、线面 位置关系，培养模型意识）， 取为，为，为 ， 当取为时， ； 当取为时，与 异面； 当取为时，与 相交. 故与 的位置关系不确定. . . 60 例18 如图8.4-25，若是所在平面外一点，,,为垂足， 为 的中点，求证：与 为异面直线. 图8.4-25 61 【解析】 因为,,为垂足，是的中点，所以点与点 不重合. 因为 平面, 平面， 平面, （利用异面直线的判定 定理证明）,所以直线与 为异面直线. 假设与 不是异面直线，（利用反证法证明）则存在一个平 面 ，使得 , ,于是 , , , . 因为,,为垂足，是 的中点， 所以点与点 不重合. 因为 , ,所以直线 . 因为,,所以 , ，即,,,四点均在平面 内，这与点 在平面 外相矛盾.所以假设不成立. 故与 为异面直线. . . . . 62 判定或证明两条直线异面的常用方法 1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面. 2.与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.我们称其为异 面直线的判定定理. 3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异 面直线. 4.证明立体几何问题的一种重要方法（反证法） 第一步，提出与结论相反的假设； 第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的 命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的. 5.借助模型（如正方体、长方体）举反例也是解决这类问题的有效方法. 63 【学会了吗丨变式题】 2.已知两条直线均和两条异面直线相交，那么这两条直线的位置关系为( ) C A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 【解析】分两类进行讨论. （1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图D 8.4-1，直线与异面直线,分别相交于点, ， 直线与异面直线，分别相交于点,，那么 , （2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图D 8.4-2,两条直线相交. ,,四点不可能共面，否则与,异面矛盾，故直线与 异面； 64 图8.4-26 3.新定义 两点可视 (2025·河北省邢台市第一中学月考)如图8.4- 26，正方体中，,,,,分别为线段, , ,,的中点，连接,，对空间任意两点, ，若线 段与线段不相交或与线段不相交，则称, 两点可视， 下列选项中与点 不可视的为( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 65 【解析】对于A，如图D 8.4-3,连接,, ，因为 ,, 平面， 平面 ，且 ，所以直线与是异面直线，所以点 与点 可视，故A错误； 对于B，如图D 8.4-4，连接,,，得, 平面，且与 相交.连接,,，因为，，所以四边形 是平行四边 形，得与相交，所以点与点 不可视，故B正确； 66 对于C，如图D 8.4-5，连接,，，因为,, 平面， 平面 ，且，所以直线与是异面直线，所以点与点 可视，故C 错误； 对于D，如图D 8.4-6，连接，,因为,, 平面， 平面 ， 且，所以直线与是异面直线，所以点与点 可视，故D错误. 图D 8.4-5 图D 8.4-6 67 题型7 直线与平面的位置关系 例19 给出以下命题（其中,表示直线, 表示平面）: ①若 , ,则 ; ②若， ,则 ; ③若 , ,则 ; ④若 的同侧有两点,到平面 的距离相等,则 . 其中真命题的个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 68 69 【解析】如图8.4-27,在长方体中,平面,平面 , 但与 相交，故①错误; 图8.4-27 ,平面,但 平面 ,故②错误; 平面, 平面,但与 异面，故③错误; ④显然正确. 70 例20 已知直线， 平面.求证：直线与平面 相交. 【解析】如图8.4-28，因为，所以，确定一个平面，设该平面为 . 图8.4-28 因为 平面，所以平面 与 相交于过点的一条直线，设该直线为 . 因为在平面 内，和两条平行直线，中的直线相交，所以必和 相交，设交点 为，即 . 又直线不在平面 内（若直线在平面 内，则 与 过两相交直线和，因此 与 重合，则在 内，与已知矛盾），所以直线与平面 相交. 71 易错警示 解本题时易因对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面 相交就是直线和平面有公共点，从而缺少最后一步关于“直线不在平面 内”的说明， 导致解题不完整. 72 空间中直线与平面有且只有三种位置关系：直线在平面内（有无数个公共点），直 线与平面相交（有且只有一个公共点），直线与平面平行（无公共点）．判断空间 中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给 出证明. 73 题型8 平面与平面的位置关系 例21 已知 ， 是两个不重合的平面，下列说法中正确的是( ) D A.若平面 内有两条直线，都与平面 平行，则 B.若平面 内有无数条直线平行于平面 ，则 C.若直线与平面 和平面 都平行，则 D.若平面 内所有的直线都与平面 平行，则 思路点拨 从平面与平面平行的定义，即两平面没有公共点出发进行判断. 图8.4-29 【解析】A，B都不能保证 ， 无公共点，如 图8.4-29（1）所示；C中当 ， 时， 与 可能相交，如图8.4-29（2）所示；只有D能 保证 ， 一定无公共点． 74 两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系 的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换 成图形语言，借助空间图形进行判断. 75 【学会了吗丨变式题】 4.如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的 位置关系是( ) C A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不正确 图D 8.4-7 【解析】如图D 8.4-7，在正方体中， 平 面， 平面， 平面 ， ,但平面平面，平面 与平面 相交. 76 知识测评 04 1.(2025·陕西省西安市期末)下列说法正确的是( ) D A.任何一个平面图形都是一个平面 B.平面就是平行四边形 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 【解析】平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A，B错误； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，故C错误； 由平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，故D正确. 78 2.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的位置关系是( ) A A.相交 B.平行 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 【解析】延长各侧棱，将三棱台恢复成三棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在 直线与其对面所在的平面相交． 3.已知 , 是两个不同的平面，若点 平面 ， 平面 ，则 与 的位置 关系是( ) B A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 【解析】因为点 平面 ，点 平面 ，所以 与 相交于过点 的一条直线． 79 图8.4-1 4.(2025·湖北省广水市第一高级中学月考)如图8.4-1,, , ,, ,则平面与平面 的交线是( ) D A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 【解析】 ,, , .又 平面 ，故直线为平面与平面 的交线. 80 5.如果空间四点，，， 不共面，那么下列判断中正确的是( ) B A.，，，四点中必有三点共线 B.，，， 四点中不存在三点共线 C.直线与相交 D.直线与 平行 【解析】由空间四点，，，不共面可得,,,, 四点可看成一个三棱锥的四个 顶点．由此可得只有B正确． 81 6.对于任意的直线与平面 ，在平面 内必有直线，使与 ( ) C A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 【解析】对于任意的直线与平面 ,有三种位置关系: , ,与 相交.若与 相交, 平面 内一定不存在与平行的直线,排除A；若 ,则平面 内一定不存在 与直线异面的直线,排除D；若 ,则直线必不与平面 相交,即平面 内一定不 存在与 相交的直线，排除B.故选C. 82 7.(2025·江苏省南京市第一中学期末)直四棱柱的底面是边长为 的正方形，侧棱，,分别是,的中点，则过点,, 的平面截直四 棱柱 ，所得截面的面积为( ) D A. B. C. D. 图D 8.4-1 【解析】如图D 8.4-1，设直线分别交, 的延长线于点 ,，连接，交于点，连接，交于点 ，连接 ,，所以过点,,的平面截直四棱柱 的截面为五边形 . 由平行线分线段成比例可知， ，故 ， 故, 为等腰直角三角形，所以 83 ， 故，则， . 连接，易知 ， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形 两部分， 等腰梯形的高 ， 则等腰梯形的面积为 . 又 ， 所以五边形的面积为 . 图8.4-2 8.[多选题]如图8.4-2是正方体的展开图，则在这个正方体中，下 列说法正确的是( ) CD A.与平行 B.与 是异面直线 C.与是异面直线 D.与 是异面直线 图D 8.4-2 【解析】把正方体的平面展开图还原,如图D 8.4-2，由正方体的 结构特征可知，与 异面，故A错误； BM与 平行，故B错误； 平面， 平面， 平面， ， 故与 是异面直线，故C正确； 平面， 平面， 平面， ， 故与 是异面直线，故D正确． 85 图8.4-3 9.[多选题]如图8.4-3，在正方体中,为 的 中点,直线交平面于点 ,则( ) ABC A.,,三点共线 B.,,, 四点共面 C.,,,四点共面 D.,,, 四点共面 86 【解析】连接,，易知是与 的交点. 在选项A中， 直线交平面于点， 平面, 直线 ,又 平面, 平面，为,的中点, 平面 , 平面, 平面,且 平面,又 平面,且 平面,,,在平面与平面的交线上，,,三点共线， , ,,四点共面，,,,四点共面，故选项A，B,C正确;在选项D中，连接, 直线 平面,且,，与 是异面直线， ，,,四点不共面，故D错误.故选 . 87 10.如图8.4-4（1）（2）所示，是正方体，在图8.4-4（1）中，, 分别是,的中点.试分别画出图8.4-4（1）（2）中有阴影的平面与平面 的交线. 图8.4-4 88 图D 8.4-3 【答案】如图D 8.4-3所示，过点作交于点 ，连 接并延长交的延长线于点，连接,则 即为有阴影 的平面与平面 的交线. 图D 8.4-4 如图D 8.4-4所示，延长,过点作交 的延长线 于点，连接,则即为有阴影的平面与平面 的交线. 89 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 90 $