6.4.1-6.4.2 平面向量在几何与物理中的应用讲义（知识梳理+7题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1-6.4.2 平面向量在几何与物理中的应用 讲义 基础知识梳理 1.平面几何中的向量方法 （1）核心思想 将几何问题转化为向量运算问题，通过向量的线性运算和数量积来解决平行、垂直、长度、夹角等几何关系。 （2）常用结论与方法 ①平行关系： 向量共线 ⇔ 线段平行或共线： 证明线段平行：证明对应向量共线，且无公共点。 ②垂直关系： 向量垂直 ⇔ 线段垂直： ③长度与距离： 线段长度： 两点距离：若 ，则 ④夹角问题： 向量夹角公式：，可用于求两线段夹角。 ⑤三点共线： 若存在实数 ，使得 ，则 三点共线。 或若 且 ，则 三点共线。 （3）解题步骤 建系或选基底：建立平面直角坐标系，或选取不共线向量作为基底。 向量表示：将几何图形中的点、线段用向量或坐标表示。 向量运算：利用向量的加减、数乘、数量积运算，将几何关系转化为代数关系。 回归几何：将向量运算的结果转化为几何结论。 2.向量在物理中的应用举例 （1）核心思想 将物理中的矢量（如力、速度、位移）用向量表示，利用向量的合成与分解（平行四边形法则、三角形法则）解决问题。 （2）常见物理模型与向量方法 ①力的合成与分解： 合力： 力的分解：将一个力分解为两个互相垂直的分力，，其中 ，。 ②速度的合成与分解： 合速度： 小船渡河问题：船速 ，水速 ，合速度 。 ③功的计算： 力 使物体产生位移 ，所做的功 ，其中 是 与 的夹角。 典例精讲 模块一：平面几何中的向量方法 典例1（证明平行四边形） 题目：在四边形 中，，求证：四边形 是平行四边形。 【解析】由 ，可得 且 。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形 是平行四边形。 变式1在四边形 中，，判断四边形 的形状。 【解析】由 ，可得 且 。 一组对边平行且不相等的四边形是梯形，故四边形 是梯形。 典例2（证明垂直） 题目：在 中，， 是 的中点，用向量方法证明 。 【解析】设 ，。 因为 是 的中点，所以 。 。 计算数量积：。 因为 ，所以 ，故 ，即 。 变式2在 中，，，用向量方法求 边上的高 的长。 【解析】设 ，，则 ，。 ，解得 。 是 中点，。 ，故 。 典例3（求线段长度） 题目：在 中，已知 ，，，求 的长。 【解析】。 。 代入数值：。 所以 。 变式3在 中，已知 ，，，用向量方法求 。 【解析】。 。 。 典例4（重难拓展：三点共线问题） 题目：在 中， 是 上一点，且 ， 是 上一点，且 ， 与 交于点 。用向量方法证明 三点共线。 【解析】设 ，。 则 ，。 设 （三点共线性质），但更直接的是设 ，。 ，。 。 。 由向量相等，对应系数相等：，解得 ，。 所以 。 因为 ，所以 三点共线。 模块二：向量在物理中的应用 典例5（力的合成） 题目：两个力 ， 作用于同一点，求合力 的大小。 【解析】合力 。 大小：。 变式4三个力 ，， 作用于同一点，求合力 的大小。 【解析】合力 。 大小：。 典例6（功的计算） 题目：一个物体在力 的作用下，从点 移动到点 ，求力 所做的功。 【解析】位移向量 。 功 。 变式5一个物体在力 的作用下，位移为 ，求力 所做的功。 【解析】功 。 典例7（重难拓展：小船渡河问题） 题目：小船在静水中的速度为 ，水流速度为 ，河宽为 。 (1) 若小船船头垂直河岸行驶，求小船渡河的时间和到达对岸的位置。 (2) 若小船要垂直到达对岸，求小船船头的方向和渡河时间。 【解析】(1) 船头垂直河岸时，渡河时间 。 沿水流方向的位移 ，即到达对岸下游 处。 (2) 要垂直到达对岸，合速度需垂直河岸。设船速与河岸夹角为 ， 则船速的水平分量需抵消水速：，解得 ，，即船头与河岸上游夹角为 。 船速的垂直分量为 ， 渡河时间 s。 变式6小船在静水中的速度为 ，水流速度为 ，河宽为 。若小船要以最短时间渡河，求渡河时间和到达对岸的位置。 【解析】最短时间渡河时，船头垂直河岸，渡河时间 。 沿水流方向的位移 ，即到达对岸下游 处。 【核心技巧】 （1）平面几何中的向量方法 · 基底选择：优先选择互相垂直或长度已知的向量作为基底，简化计算。 · 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量转化为坐标运算，直观且不易出错。 · 数量积优先：涉及垂直、夹角、长度问题，优先使用数量积公式。 （2）物理中的向量应用 · 矢量合成：严格遵循平行四边形法则或三角形法则，注意方向。 · 分解技巧：将矢量分解到互相垂直的方向（如水平、竖直），分别计算后再合成。 · 功的计算：明确力和位移的夹角，注意功的正负（力做正功或负功）。 【易错提醒】 1. 向量共线与线段平行混淆：向量共线包括线段平行和共线两种情况，证明线段平行时需排除共线情况。 2. 数量积运算律误用：数量积不满足结合律，即 。 3. 物理矢量方向忽略：力、速度等矢量是有方向的，计算时必须考虑方向，不能只看大小。 4. 小船渡河问题误区：最短时间渡河是船头垂直河岸，最短位移渡河是合速度垂直河岸（船速大于水速时）。 5. 功的正负判断：当力与位移夹角大于 时，力做负功，功的数值为负。 题型一：利用向量证明平行或垂直问题 1．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 2．（多选）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据点，，，，得到的坐标，然后逐项判断. 【详解】因为点，，，， 所以， 因为 ，所以，故正确； 因为 ，所以，故正确； 因为，所以，故错误； 因为，所以不成立，故错误. 故选：AB 3．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 5．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证 【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . （1）因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 题型二：利用向量线段或夹角问题 1．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 2．在△ABC中，，则AB边的长度为（       ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】B 【解析】由和平面向量数量积以及余弦定理可得，同理由可得，再将两个等式相加可求出结果. 【详解】 由得，即， 所以，所以， 同理由可得， 两个等式相加可得，解得， 所以AB边的长度为. 故选：B 3．已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 【答案】 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 4．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 5．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ． 【答案】 【知识点】用向量解决线段的长度问题、坐标计算向量的模 【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，    则，，即， ，即， 所以，故. 所以A，D两地距离为. 故答案为：. 6．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【分析】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【详解】（1）； ， ，故， . （2）， . 7．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 题型三：利用向量判断三角形形状 1．已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确答案. 【详解】， 由于，所以， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 2．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 3．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 题型四：利用向量解决平面图形的综合问题 1．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG⊥CB，结合G为△ABC重心可得△ABC为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC外接圆半径． 【详解】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1． 故选：B． 2．如图，在中，，其中，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积最大 D．当时， 【答案】ABC 【分析】利用条件及向量的加法运算可判断AC，利用数量积可判断BD. 【详解】∵， ∴即， ∴当时，，故A正确； 由可得，故B正确； 当时，，D与C重合，的面积最大，故C正确； 当时，， ∴ ，故D错误. 故选：ABC. 3．点为内一点，，则的面积之比是___________. 【答案】 【分析】先将已知的向量关系式化为，设为中点，为中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出，从而可知三点共线，且，进而得出，，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比. 【详解】解：因为，所以， 设为中点，为中点，为三角形的中位线，则， 因为， 可得，所以三点共线，且， 则，， 分别设， 由图可知，，， 则，所以，而，所以， 所以，， 所以， 即的面积之比等于. 故答案为：. 题型五：向量在物理中的力与平衡问题应用 1．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 2．在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 3．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ） A． N B．5 N C． N D．10 N 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、力的合成 【分析】因为合力与的夹角为，用两向量夹角的余弦公式列式求解 【详解】因为两个力，的夹角为，所以， 又因为它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为， 所以，解得. 故选：A. 4．（多选）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．夹角的余弦值为 D．夹角的余弦值为得 【答案】BC 【详解】由已知可知：， 所以． 设的夹角为，由，得， 所以，得解. 故选：BC 题型六：向量在物理中的速度、位移与航行问题应用 1．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 【答案】A 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合具体实际意义可得. 【详解】表示“向东走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km， 根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向东南走km. 故选：A． 2．某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小． 【详解】设石子的落地时间为，则，解得， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小． 故选：B    3．某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成、垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案． 【详解】解：设船的实际速度为，则， 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则， 所以， 即，解得， 故选：D． 4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 【解题思路】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解答过程】如图所示：    ，， ， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为， 则有所以有 ， 故选：B. 5．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 6．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形，则表示该船实际航行的速度；    （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 题型七 向量在物理中的功的计算应用 1．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 【答案】D 【知识点】功、动量的计算 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：D. 2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】D 【解析】解：对A，为定值， ， 解得：； 由题意知：时，单调递减， 单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A错误； 对B，当时，不满足题意，故B错误； 对C，当时，， ，故C错误； 对D，当时，， ，故D正确. 故选：D. 3．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为，是与小车位移方向相同的单位向量，则在小车位移上的投影向量为 ，力做的功为 .    【答案】 1000J 【解析】因为，且与小车的位移方向的夹角为， 所以在小车位移上的投影向量为. 又力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移， 所以力做的功. 故答案为：；1000J. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1-6.4.2 平面向量在几何与物理中的应用 讲义 基础知识梳理 1.平面几何中的向量方法 （1）核心思想 将几何问题转化为向量运算问题，通过向量的线性运算和数量积来解决平行、垂直、长度、夹角等几何关系。 （2）常用结论与方法 ①平行关系： 向量共线 ⇔ 线段平行或共线： 证明线段平行：证明对应向量共线，且无公共点。 ②垂直关系： 向量垂直 ⇔ 线段垂直： ③长度与距离： 线段长度： 两点距离：若 ，则 ④夹角问题： 向量夹角公式：，可用于求两线段夹角。 ⑤三点共线： 若存在实数 ，使得 ，则 三点共线。 或若 且 ，则 三点共线。 （3）解题步骤 建系或选基底：建立平面直角坐标系，或选取不共线向量作为基底。 向量表示：将几何图形中的点、线段用向量或坐标表示。 向量运算：利用向量的加减、数乘、数量积运算，将几何关系转化为代数关系。 回归几何：将向量运算的结果转化为几何结论。 2.向量在物理中的应用举例 （1）核心思想 将物理中的矢量（如力、速度、位移）用向量表示，利用向量的合成与分解（平行四边形法则、三角形法则）解决问题。 （2）常见物理模型与向量方法 ①力的合成与分解： 合力： 力的分解：将一个力分解为两个互相垂直的分力，，其中 ，。 ②速度的合成与分解： 合速度： 小船渡河问题：船速 ，水速 ，合速度 。 ③功的计算： 力 使物体产生位移 ，所做的功 ，其中 是 与 的夹角。 典例精讲 模块一：平面几何中的向量方法 典例1（证明平行四边形） 题目：在四边形 中，，求证：四边形 是平行四边形。 变式1在四边形 中，，判断四边形 的形状。 典例2（证明垂直） 题目：在 中，， 是 的中点，用向量方法证明 。 变式2在 中，，，用向量方法求 边上的高 的长。 典例3（求线段长度） 题目：在 中，已知 ，，，求 的长。 变式3在 中，已知 ，，，用向量方法求 。 典例4（重难拓展：三点共线问题） 题目：在 中， 是 上一点，且 ， 是 上一点，且 ， 与 交于点 。用向量方法证明 三点共线。 模块二：向量在物理中的应用 典例5（力的合成） 题目：两个力 ， 作用于同一点，求合力 的大小。 变式4三个力 ，， 作用于同一点，求合力 的大小。 典例6（功的计算） 题目：一个物体在力 的作用下，从点 移动到点 ，求力 所做的功。 变式5一个物体在力 的作用下，位移为 ，求力 所做的功。 典例7（重难拓展：小船渡河问题） 题目：小船在静水中的速度为 ，水流速度为 ，河宽为 。 (1) 若小船船头垂直河岸行驶，求小船渡河的时间和到达对岸的位置。 (2) 若小船要垂直到达对岸，求小船船头的方向和渡河时间。 变式6小船在静水中的速度为 ，水流速度为 ，河宽为 。若小船要以最短时间渡河，求渡河时间和到达对岸的位置。 【核心技巧】 （1）平面几何中的向量方法 · 基底选择：优先选择互相垂直或长度已知的向量作为基底，简化计算。 · 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量转化为坐标运算，直观且不易出错。 · 数量积优先：涉及垂直、夹角、长度问题，优先使用数量积公式。 （2）物理中的向量应用 · 矢量合成：严格遵循平行四边形法则或三角形法则，注意方向。 · 分解技巧：将矢量分解到互相垂直的方向（如水平、竖直），分别计算后再合成。 · 功的计算：明确力和位移的夹角，注意功的正负（力做正功或负功）。 【易错提醒】 1. 向量共线与线段平行混淆：向量共线包括线段平行和共线两种情况，证明线段平行时需排除共线情况。 2. 数量积运算律误用：数量积不满足结合律，即 。 3. 物理矢量方向忽略：力、速度等矢量是有方向的，计算时必须考虑方向，不能只看大小。 4. 小船渡河问题误区：最短时间渡河是船头垂直河岸，最短位移渡河是合速度垂直河岸（船速大于水速时）。 5. 功的正负判断：当力与位移夹角大于 时，力做负功，功的数值为负。 题型一：利用向量证明平行或垂直问题 1．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 2．（多选）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 5．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 题型二：利用向量线段或夹角问题 1．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，则AB边的长度为（       ） A．1 B．3 C．5 D．9 3．已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 4．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 . 5．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ． 6．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 7．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 题型三：利用向量判断三角形形状 1．已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 2．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 3．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型四：利用向量解决平面图形的综合问题 1．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 2．如图，在中，，其中，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积最大 D．当时， 3．点为内一点，，则的面积之比是___________. 题型五：向量在物理中的力与平衡问题应用 1．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 2．在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 3．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ） A． N B．5 N C． N D．10 N 4．（多选）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．夹角的余弦值为 D．夹角的余弦值为得 题型六：向量在物理中的速度、位移与航行问题应用 1．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 2．某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 3．某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 5．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 6．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 题型七 向量在物理中的功的计算应用 1．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 3．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为，是与小车位移方向相同的单位向量，则在小车位移上的投影向量为 ，力做的功为 .    学科网（北京）股份有限公司 $