学易金卷：七年级数学下学期3月学情自测卷01（新教材北师大版，范围：七年级下册第1～2章）

2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2．下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 4．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．已知，与互补，则 ． 8．安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为 ． 9．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °． 10．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 11．若，则的值为 ． 12．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．计算： (1) (2) 14．先化简，再求值：，其中a，b满足 15．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 16．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 17．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 19．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 20．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 22．某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1[/1 一、 选择题：本题共6小题， 每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.A][BJ[C][D] 4.A1[B][C1[D] 5.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7 9 12. 三、 (本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13.(6分) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(6分) 16.(6分) 17.(6分) D 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) “A A D -C B4 /0 0 E 图① 图② 20.(8分) B 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21.(9分) 99 0 97 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) 花 a 草 步道 道￥ 图1 图2 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23.(12分) D 62 图1 图2 D MMM A 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 2．下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 4．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故A选项结论正确，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角至少有3个， 故B选项结论正确，不符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线， 故C选项结论错误，符合题意； ，， ， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键． 5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先计算，合并同类项以后，计算需要的张数即可． 本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片， 共需要张， 故选：C． 6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．已知，与互补，则 ． 【答案】/127度 【分析】本题考查求一个角的补角，根据互补的定义，两个角之和为，则这两个角互补，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意； 故答案为： 8．安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键； 将小数0.002用科学记数法表示，使系数在1到10之间，并确定10的指数即可． 【详解】解：∵0.002的小数点向右移动3位得到2， ∴指数为，即， 故答案为：． 9．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 11．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将等式两边化为同底数形式，通过指数相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：3． 12．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度计算，注意进行分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴； 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握相关运算法则为解题关键； （1）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂计算各项再算加减法即可； （2）先算括号内的，再算积的乘方，最后算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 15．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键． （1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角； （2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、． 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：． 16．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 17．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 19．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）由（1）、（2）的结论即可得到结果． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴． ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 20．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)是， (3)证明见解析 (4)5000 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． （3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （4）解： ． 22．某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 【答案】(1)，， (2)108 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）通过不同图形分割方式得到草坪面积的不同表达式，从而验证完全平方公式； （2）由题意可得：，，得到草区域的面积，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为， 故答案为：，，． （2）解：由题意得：，， ∴， ∴种草区域的面积， ∵，， ∴， 即种草区域面积和为108． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①55°；②125°； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7._______________ 10. ________________ 8. ___________ 11. _______________ 9. _________________ 12.________________ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（6分） 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15． （6分） 16． （6分） 17． （6分） 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （8分） 20．（8分） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2．下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 4．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．已知，与互补，则 ． 8．安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为 ． 9．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °． 10．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 11．若，则的值为 ． 12．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．计算： (1) (2) 14．先化简，再求值：，其中a，b满足 15．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 16．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 17．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 19．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 20．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 22．某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23．综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期3月学情自测卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D A C C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．/127度 8． 9． 10．（或或） 11． 12．或或 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13． 【详解】（1）解：原式 ；................3分 （2）解：原式 ．................6分 14． 【详解】解： ，................3分 ， ，， 解得：，， 当，时，原式................6分 15． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、．................3分 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：．................6分 16． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ................2分 （2）解：如图，即为所求； ................4分 （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ................5分 ∵垂线段最短， ∴，， ∴．................6分 17． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70；................2分 （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴；................4分 （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴．................6分 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18． 【详解】（1）解：∵， ∴；................2分 （2）解：∵， ∴；................5分 （3）解：∵， ∴， 即．................8分 19． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴．................3分 （2）． 理由如下：∵， ∴． ， ∴， ∴．................6分 （3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行．................8分 20． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：．................2分 （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线．................5分 （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值，................8分 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11．................2分 （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差．................5分 （3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数．................7分 （4）解： ．................9分 22． 【详解】（1）解：由题意知，两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为， 故答案为：，，．................3分 （2）解：由题意得：，， ∴， ∴种草区域的面积， ∵，， ∴， 即种草区域面积和为108．................9分 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；................4分 （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ；................8分 （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：．................12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $