7.1.2 两条直线垂直七大题型 习题（ 学生版+教师版）2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题7.1.2 两条直线垂直(举一反三) 【题型1 垂线的定义】 1 【题型2 垂线的画法】 3 【题型3 垂线的性质】 5 【题型4 垂线段及其性质】 6 【题型5 点到直线的距离】 8 【题型6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】 9 【题型7 利用垂直的定义求角】 11 知识点1 垂直的定义 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【例1垂线定义】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，，垂足为O，直线经过点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【变式1-3】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点2 垂直的画法 过一点画已知直线的垂线: （1）用三角尺画: 步骤 画法 图示 一靠 将三角尺的一条直角边靠在已知直 线上,使其与已知直线重合 (1)点A在直线l上 (2)点B在直线l外 B l 二过 沿已知直线移动三角尺,使三角尺 的另一条直角边经过已知点 三画 沿已知点所在的直角边画直线,这 条直线就是已知直线的垂线 （2）用量角器画，如图所示. 【题型2 垂线的画法】 【例2垂线的画法】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【变式2-2】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【变式2-3】如图，点是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的垂线，交于点． 知识点3 垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型3 垂线的性质】 【例3垂线性质】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式3-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 知识点4 垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【题型4 垂线段及其的性质】 【例4垂线段及其性质】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【变式4-1】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【变式4-3】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 知识点5 点到直线的距离 文字语言 符号语言 图示 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离 如图,为直线外一点,于点，则线段的长度就是点到直线的距离 特别提醒：“垂线段”和“点到直线的距离”的区别：垂线段是一条线段，是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量. 【题型5 点到直线的距离】 【例5点到直线的距离】（25-26七年级上·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【变式5-3】（2024七年级上.全国.专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【题型6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】 【例6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，请说明：． 【变式6-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：． 【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式6-3】（24-25七年级下.全国.课后作业）如图O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线 ①求∠COD的度数. ②判断OD与AB的位置关系，并说明理由. 【题型7 利用垂直的定义求角】 【例7 利用垂直的定义求角】（22-23七年级下.全国.期中）在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是 ． 【变式7-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 【变式7-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【变式7-3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 专题7.1.2 两条直线垂直(举一反三) 【题型1 垂线的定义】 1 【题型2 垂线的画法】 4 【题型3 垂线的性质】 7 【题型4 垂线段及其性质】 9 【题型5 点到直线的距离】 12 【题型6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】 14 【题型7 利用垂直的定义求角】 18 知识点1 垂直的定义 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【例1垂线定义】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，，垂足为O，直线经过点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差、垂直，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先求出，再根据垂直的定义可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵直线经过点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查垂直定义、角的运算，根据垂直定义得到，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 【变式1-3】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的相关计算．先根据，设，，由算出和，进而算出，再根据平分得，最后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 知识点2 垂线的画法 过一点画已知直线的垂线: （1）用三角尺画: 步骤 画法 图示 一靠 将三角尺的一条直角边靠在已知直 线上,使其与已知直线重合 (1)点A在直线l上 (2)点B在直线l外 B l 二过 沿已知直线移动三角尺,使三角尺 的另一条直角边经过已知点 三画 沿已知点所在的直角边画直线,这 条直线就是已知直线的垂线 （2）用量角器画，如图所示. 【题型2 垂线的画法】 【例2垂线的画法】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【变式2-2】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【答案】见解析 【分析】根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画垂线，熟知画垂线的方法是解题的关键． 【变式2-3】如图，点是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的垂线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【点睛】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础 知识点3 垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型3 垂线的性质】 【例3垂线性质】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了平面内垂线的基本性质，掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据平面内垂线的基本性质，判断过直线外一点作已知直线垂线的数量． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 因此，只能画出1条垂线． 故选：A． 【变式3-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】此题考查垂线的性质，根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行解答即可． 【详解】解：由画图过程可知，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答． 【详解】解：若，，则、、三点共线，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 知识点4 垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【题型4 垂线段及其的性质】 【例4垂线段及其性质】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：该女生获得满分但未加分， ， 选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求， 又， 选项C错误，不符合题目要求． 故选：D． 【变式4-1】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查的知识点是直线外一点到这条直线中，垂线段最短，解题的关键是熟练的掌握直线外一点到这条直线连接的所有线段中，根据垂线段最短的性质可知，为了节省材料，应从村庄P向主管道作垂线． 【详解】解：根据从直线外一点到这条直线连接的所有线段中，垂线段最短， 所以沿图中线段修建可使用料最省． 故答案为：垂线段最短． 【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式4-3】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 知识点5 点到直线的距离 文字语言 符号语言 图示 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离 如图,为直线外一点,于点，则线段的长度就是点到直线的距离 特别提醒：“垂线段”和“点到直线的距离”的区别：垂线段是一条线段，是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量. 【题型5 点到直线的距离】 【例5点到直线的距离】（25-26七年级上·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】点到直线的距离 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-3】（2024七年级上.全国.专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 【题型6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】 【例6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）依据角平分线的定义，得到，根据垂直的定义得到． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． （2）平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式6-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、邻补角的定义理解 【分析】本题主要考查垂直的判定，角平分线的定义，平角的概念及性质，由角平分线的定义得到，，然后由邻补角得到，进而求解即可． 【详解】证明：是的平分线（已知）， （角平分线的定义）． 是的平分线（已知）， （角平分线的定义）． ， ， 即， （垂直的定义） 【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角和角平分线， 对于（1），先根据平角定义和已知条件，求出，再根据角平分线的定义求出和，最后根据，求出答案即可； 对于（2），先根据已知条件和（1）中的结论，求出和，再根据角平分线的定义求出，从而求出，最后根据，求出答案即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：由（1）可知：∴， 即， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25七年级下.全国.课后作业）如图O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线 ①求∠COD的度数. ②判断OD与AB的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）45°（2）OD⊥AB．理由见试题解析． 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、邻补角的定义理解 【详解】（1）∵OC平分∠AOD，设∠AOC＝∠COD＝x°，则∠AOD＝2x° ∵∠AOC＝∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴x°＋3x°＝180°， 解得x＝45， ∴∠COD＝45°． （2）OD⊥AB． 理由如下：由（1）知，∠AOD＝2x°＝90°， ∴OD⊥AB． 【题型7 利用垂直的定义求角】 【例7 利用垂直的定义求角】（22-23七年级下.全国.期中）在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【详解】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，计算的度数即可． 【解答】解：当在直线同侧时，如图： ∵； ∴； 当在直线异侧时，如图： ∵； ∴． 故答案为：或． 【变式7-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，根据角平分线的定义和已知条件可推出，则由平角的定义可求出的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 【变式7-3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【知识点】垂线段最短、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $