2026年河北省对口升学《数学高频考点冲刺卷》（四）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（四） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B． C． D．R 2．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．设，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．是的（    ）条件. A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若，，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数与的图像正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．若向量，则（   ） A． B． C． D． 10．计算 的值为（    ） A． B．2 C． D．6 11．设为等差数列，，是方程的两个根，那么前项的和为（   ） A．8 B． C． D． 12．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) A． B． C． D． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．在等比数列中，已知，，公比，则（　　） A． B． C． D． 15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 17．中国古乐中以“宫、商、角、羽”为五个基本音阶，故有“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成五音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻排法共有（     ） A．72种 B．36种 C．48种 D．24种 18．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（    ） A．176 B．182 C．184 D．186 19．直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C．3 D．6 20．下列说法错误的是（    ） A．函数的图象不关于y轴对称 B．函数在其定义域内是减函数 C．函数的图象关于原点对称 D．函数与函数不为同一函数 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知，则 . 22．计算： . 23．已知，则 . 24．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，在2，3，5，7，11这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是 ． 25．一个圆柱形水桶，底面半径为 10 厘米，桶内装有部分水，将一个半径为 5 厘米的铁球完全浸没在水中，水面上升的高度为 厘米. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1．2023年9月23日第19届亚运会在杭州成功举办，其吉祥物宸宸名字源于拱宸桥.作为大运河杭州段重要的遗产点之一，拱宸桥也是大运河到杭州的终点标志.若一拱桥横截面如图所示，跨度为16米.现以为坐标原点，在距该点水平距离为米的地点，拱桥距离水面高度为米.经过测量，得出了和的几组对应值，如下表： /米 0 3 6 10 13 /米 1.2 9 13.2 13.2 9 请结合表格数据和函数图像，解决问题: (1)桥墩露出水面的高度为__________米 (2)结合现有函数知识判断是的什么函数?求此函数的解析式 (3)现有一货船，水面上部分横截面是矩形，宽9米，高8米，试问该货船能否通过拱桥，请说明理由 2．已知数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设，求数列的前项和. 3．如图所示，已知正方体的棱长为2，为的中点．求：     (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 4．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？ (3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率. 5．已知直线是抛物线的准线方程，F为抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若点A是抛物线上的一动点，定点，则当的周长最小时，求点A的坐标及周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（四） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据集合的并集求解即可. 【详解】若，，则. 故选：D. 2．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，再根据补集的定义及运算，求解即可. 【详解】因为集合，全集， 所以， 故选：. 3．设，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则求出即可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点的坐标是， 故其对应点在第四象限， 故选：. 4．是的（    ）条件. A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义及对数函数的性质即可得解. 【详解】当时，没有意义，故不是的充分条件； 而在上单调递增， 所以当成立时，一定成立，故是的必要条件. 故选：B. 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：B. 6．若，，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】根据题意切化弦得到，，进而判断角所在象限． 【详解】解：由，， 得，， ∴是第一象限角． 故选：A． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用使得解析式有意义的取值范围进行求解即可. 【详解】函数有意义， 可得，且，可得， 即的定义域为. 故选：D. 8．函数与的图像正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和对数函数的图像与性质即可求解. 【详解】由一次函数单调递减，且过点，选项A、B排除， 观察C、D可知单调递增，所以，则选项C满足题意， 综上所述可知选项C正确. 故选：C. 9．若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，所以，， 则， 所以， 故选：A. 10．计算 的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】运用换底公式和幂的对数运算可得结果. 【详解】 . 故选：D 11．设为等差数列，，是方程的两个根，那么前项的和为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理求出的值，再由等差数列的性质结合前项和公式求值即可. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以， 又为等差数列， 所以， 故选：C. 12．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的概念，对比四个选项的正视图、左视图和俯视图即可得出正确答案． 【详解】A.正视图与俯视图与题意不符，故A错误， B. 三视图与题意相符，故B正确， C. 正视图与俯视图与题意不符，故C错误， D.左视图与题意不符，故D错误， 故选：B. 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，代入求值即可. 【详解】，，， 故选：B 14．在等比数列中，已知，，公比，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可； 【详解】已知，，公比， 所以，解得， 故选：C 15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据直线的位置关系以及平面之间的位置关系求解即可. 【详解】A选项，若，，直线相交、平行、异面都有可能，A错； B选项，若，则平面可能相交或平行，B错； C选项，若，则，C正确； D选项，若，则只能得到，D错. 故选：C. 16．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等轴双曲线方程特点设其方程为，代入点即可求解. 【详解】因为双曲线的实轴和虚轴等长，故所求双曲线是等轴双曲线， 设其方程为，将点代入方程，可得， 所以双曲线方程为，即， 故选：D. 17．中国古乐中以“宫、商、角、羽”为五个基本音阶，故有“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成五音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻排法共有（     ） A．72种 B．36种 C．48种 D．24种 【答案】A 【分析】根据插空法，首先排列其余三个音阶，再插入“宫”、“羽”即可. 【详解】将五个基本音阶中除去“宫”、“羽”两音阶的排法有种，形成了四个空位. “宫”、“羽”两音阶不相邻的排法有. 由乘法原理共有. 故选:A. 18．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（    ） A．176 B．182 C．184 D．186 【答案】B 【分析】根据已知条件求出随机变量X的分布列，利用分布列即可求出随机变量的X的均值. 【详解】依题意可得X的可能值为200，180，160. ，，， X的分布列为 200 180 160 0.4 0.3 0.3 所以. 故选：B. 19．直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案． 【详解】圆化为标准方程为， ，圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以弦长为． 故选：B． 20．下列说法错误的是（    ） A．函数的图象不关于y轴对称 B．函数在其定义域内是减函数 C．函数的图象关于原点对称 D．函数与函数不为同一函数 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，对称性，以及函数的概念，逐项判断. 【详解】A、函数为二次函数，二次函数关于轴对称的冲要条件为，而函数中，故图象不关于y轴对称，故A选项正确，不符合题意； B、函数为反比例函数，其在上为减函数，在上也为减函数，但不能说在定义域内为减函数，故B选项错误，符合题意； C、令，则故函数为奇函数，关于原点对称，故C选项正确，不符合题意； D、函数的定义域为R,函数的定义域为，二者定义域不同不为同一函数，故D选项正确，不符合题意； 故选:B. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质，代入自变量计算函数值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 22．计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、对数的运算性质进行化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 23．已知，则 . 【答案】 【分析】利用，由正切函数的两角和公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 24．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，在2，3，5，7，11这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是 ． 【答案】/0.7 【分析】求出基本事件个数，由古典概型概率公式计算即可. 【详解】从， 这5个素数中任取两个素数的基本事件为：，共10种， 其中两个数的和是合数的基本事件为： ，共7种， 由古典概型概率计算公式得，其和是合数的概率是. 故答案为：. 25．一个圆柱形水桶，底面半径为 10 厘米，桶内装有部分水，将一个半径为 5 厘米的铁球完全浸没在水中，水面上升的高度为 厘米. 【答案】 【分析】根据球和圆柱的体积公式即可得解. 【详解】铁球体积立方厘米. 根据圆柱体积公式， 水面上升高度厘米. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1．2023年9月23日第19届亚运会在杭州成功举办，其吉祥物宸宸名字源于拱宸桥.作为大运河杭州段重要的遗产点之一，拱宸桥也是大运河到杭州的终点标志.若一拱桥横截面如图所示，跨度为16米.现以为坐标原点，在距该点水平距离为米的地点，拱桥距离水面高度为米.经过测量，得出了和的几组对应值，如下表： /米 0 3 6 10 13 /米 1.2 9 13.2 13.2 9 请结合表格数据和函数图像，解决问题: (1)桥墩露出水面的高度为__________米 (2)结合现有函数知识判断是的什么函数?求此函数的解析式 (3)现有一货船，水面上部分横截面是矩形，宽9米，高8米，试问该货船能否通过拱桥，请说明理由 【答案】(1)1.2. (2)一元二次函数，. (3)货船能通过拱桥，理由见解析. 【分析】（）分析表格即可得出米. （）根据图像可知，函数为二次函数，设出函数的顶点式坐标，利用待定系数法即可得解. （）根据题意将代入函解析式中即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，在距该点水平距离为米的地点，拱桥距离水面高度为米， 则有表格可知，米. （2）函数为一元二次函数，由表可知对称轴为， 故设函数解析式为，将，代入解析式中得， ，解得， ，即. （3）货船水面上部分横截面是矩形，宽9米，高8米， 则将代入得， 货船能通过拱桥. 2．已知数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出等差数列的公差，进而求出通项公式. （2）先求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法求出的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为，因为在等差数列中，，， 所以有，解得. 所以数列的通项公式为. 又因为， 所以数列的前项和 （2）由（1）得，. 所以. 所以数列的前项和 . 3．如图所示，已知正方体的棱长为2，为的中点．求：     (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由线面垂直的性质，可得是三棱锥底面的高，据此可求解； （2）过作于，连接，由线面垂直的判定和性质可得，从而有是二面角的平面角，在直角中可求解. 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为为的中点，所以，， 所以平面，即是三棱锥底面的高， 所以三棱锥的体积； （2）过作于，连接， 因为平面，平面， 所以； 因为，在平面内， 所以平面； 又因为平面，所以， 所以是二面角的平面角. 在直角中，， 在直角中，， 即二面角的正切值为. 4．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？ (3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率. 【答案】(1)0.4 (2)1 (3)答案见解析 【分析】（1）根据频率公式计算即可； （2）根据分层抽样方法的概念求解； （3）根据古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）苹果的重量在的频率为. （2）根据分层抽样方法，重量在的有（个）. （3）设这4个苹果中重量在的有1个，记为1，重量在的有3个，分别记为2，3，4， 从中任取两个，可能的情况有：，共6种， 设任取2 个，重量在和中各有1个的事件为， 则事件包含有：，共3种， 所以． 5．已知直线是抛物线的准线方程，F为抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若点A是抛物线上的一动点，定点，则当的周长最小时，求点A的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线的标准方程. （2）首先判断点在抛物线的内部，再由抛物线的定义得，当点运动到过点作准线的垂线与抛物线交点时，的周长最小，由此分别求出三角形周长和点的坐标即可. 【详解】（1）已知抛物线， 由准线方程为，可得，即， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）可知，， 当时，，所以点在抛物线的内部， 由抛物线定义可知，当点运动到过点作准线的垂线与抛物线交点时， 的周长最小， 且点，准线， 所以， 又，， 所以， 此时点与点纵坐标相同， 所以，解得，即， 周长的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $