2026年河北省对口升学《数学高频考点冲刺卷》（三）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第3卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（三） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据方程组求解写出方程交点的解集. 【详解】因为, 所以方程的解集为. 故选:C. 2．不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解法，得每个不等式的解并取交集，即可求不等式组的解. 【详解】不等式组为， 解得：， 不等式组的解集为. 故选：A. 3．若复数是纯虚数，则实数a的值为（（   ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【答案】B 【分析】根据复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零求解即可. 【详解】∵复数是纯虚数， ，即 由可得或； 由可得， ∴ 故选：B． 4．已知命题，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】已知命题，， 若是自然数，则一定是整数，即， 若是整数，则不一定是自然数，即， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 5．不等式 的解集是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可. 【详解】不等式可化为： ，即， 所以原不等式的解集为. 故选 ：D 6．若，且角的终边经过点，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式以及三角函数的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 又经过点，所以，解得. 又，所以角在第一象限或第四象限，故. 故选：B. 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式函数以及指数函数的单调性求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则，即 因为函数在上单调递增，所以不等式，解得. 因此函数的定义域为. 故选：A. 8．在同一坐标系中，函数与函数（，且）的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像特点识别即可. 【详解】一次函数与指数函数（，且）， 当时，一次函数与轴交点位于的上方，且为增函数， 指数函数为增函数，图像呈上升趋势，故BD错误. 当时，一次函数与轴交点位于的下方，且为增函数， 指数函数为减函数，图像呈下降趋势，故A错误，C正确. 故选：C. 9．已知向量，若与方向相反，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，且与方向相反， 所以，解得. 当时，，与方向相同，与已知不相符，故舍去； 当时，，与方向相反，符合题意. 综上所述，. 故选：C. 10．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和分数的运算性质逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：D 11．已知等差数列中，，则（  ） A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式可求. 【详解】等差数列中，， 所以， 所以； 故选：C. 12．如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案． 【详解】从正面看是一个上下平行， 左右大肚子的图形，故排除A，D； 由于几何体中部是空的，主视图需要画虚线． 故选：B． 13．如果二次函数图象的顶点是，并且它的图象经过点，那么这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数解析式（顶点式），利用待定系数法进行求解. 【详解】二次函数图象的顶点是，设该函数解析式为 图象经过点,代入,解得, 所以，这个二次函数解析式为 故选：B 14．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可求值. 【详解】已知为等比数列，已知， 则， 即，所以. 故选：B. 15．已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例，结合线面与面面的位置关系排除ABC，利用面面垂直的判定定理可判断D，从而得解. 【详解】因为两个平面，两条直线，满足， A选项，当时，有可能出现与异面的情况，故A错误； B选项，当时，有可能出现的情况，故B错误； C选项，如图，满足，但，故C错误；    D选项，由面面垂直的判定定理可知，当时，又，则，故D正确. 故选：D. 16．若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率公式求出值，求出渐近线方程，利用斜率的定义求出渐近线的倾斜角即可得解. 【详解】双曲线，则， 依题意离心率，解得或（舍）， 所以双曲线方程为， 则其中一条渐近线方程是，斜率为，对应的倾斜角为， 另一条渐近线方程是，斜率为，对应的倾斜角为， 因为，两条直线的夹角为锐角或直角， 所以两条渐近线的夹角为， 故选：B. 17．儒家五常是由孔子，孟子和董仲舒等人逐步提出的，儒家五常指的是“仁，义，礼，智，信”.若将“仁，义，礼，智，信”排成一排，则“仁”排在首位，且“智，信”相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据优先考虑法，捆绑法计算排法，利用古典概型的概率公式求得答案. 【详解】将“仁，义，礼，智，信”排成一排的排法有种； 把“智，信”看作一个元素，则“仁”排在首位，且“智，信”相邻的排法有种， 所以“仁”排在首位，且“智，信”相邻的概率为. 故选：C. 18．随机变量X的分布列如下: X 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用随机变量分布列的性质和期望的计算，求解参数. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知， ①， 又②， 联立① ，② ，解得，. 故选：A. 19．点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可 【详解】点到直线的距离， 故选：B 20．下列说法中不正确的是（    ） A．正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是 B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1 C．正弦函数在上都是减函数 D．余弦函数在上都是减函数 【答案】D 【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是，故正确； 余弦函数当且仅当时，取得最大值1，故正确； 正弦函数在上都是减函数，故正确； 余弦函数在上都是增函数，故错误， 故选：D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．设函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可. 【详解】函数，则， 所以， 故答案为：1． 22．计算 . 【答案】1 【分析】将每一项进行化简求值，即可求解. 【详解】 故答案为：1 23．已知是方程的两根，则 ． 【答案】/ 【分析】由韦达定理求出，再利用正切的两角和公式求解即可. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以. 故答案为：. 24．灯具厂生产吊灯、台灯和壁灯，产量比为3：4：3.吊灯次品率为2%，台灯次品率为1.5%，壁灯次品率为2.5%.现随机抽取一盏灯，该灯是次品的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设吊灯、台灯、壁灯产量分别为3份、4份、3份. 则次品数为份， 所以总灯数为10份，故该灯是次品的概率是. 故答案为：. 25．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 . 【答案】 【分析】根据题意结合圆柱、球的体积、表面积公式运算求解. 【详解】设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径R， 由题意可得， r= R，h=2R， 空1： ，所以； 空2：，所以. 故答案为：；. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1．为了鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.小华按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能材料.已知这种节能材料的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月销量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：. (1)当销售单价定为多少时，小华每月获得的利润最大？并求出最大利润； (2)若物价部门规定，这种节能材料的销售单价不得高于元.如果小华想要每月获得的利润不低于元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】(1)当售价定为元时，元 (2)元 【分析】（1）根据利润=每月销量每件利润列式建立函数模型，再由二次函数的最值公式求值即可. （2）由题意列不等式求解，再由一次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）已知出厂价为每件元，成本价为每件元， 则每件利润为，每月销量， 设每月的利润为元， 则， 这是一个开口向下的二次函数，其中顶点横坐标为， 纵坐标为， 所以当时，元. （2）由条件令，则， 整理得，解得， ，， 已知出厂价为每件元，成本价为每件元，每件差价为元， 所以政府承担的总差价为为减函数， 则当时，最小，所以. 即政府为他承担的总差价最少为元. 2．已知是等差数列，是的前n项和，，，是等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与的关系可得，求出公差后，可得的通项公式；先求，，从而得公比，据此可求的通项公式； （2）利用分组求和法可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为是的前n项和，， 所以， 因为， 所以， 所以； 所以， 又因为， 所以，； （2）由（1）可知， 所以 . 3．如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)存在，点与点重合，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，连接，结合线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据题意，结合面面垂直的性质定理可推出为三棱锥的高，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1） 存在，当点与点重合时平面. 证明如下：连接，，分别为，的中点， ，且，可得四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面，即平面； （2）平面平面，且平面平面， 又，平面， 平面，则为三棱锥的高， 在中，，，则， 为的中点，， . 即三棱锥的体积为. 4．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，列方程可求解； （2）先求出这三组的频率，再由分层抽样可得，，分别抽取的人数分别为5，4，1，则X的所有取值为0，1，2，3，，计算出各自的概率，据此可求解. 【详解】（1）由概率和为1得： ， 解得； （2）学生日平均阅读时间在，，三组内的频率分别为： ，，. 所以这500名学生中日平均阅读时间在，，学生人数分别为： ，，. 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 此时X的所有取值为0，1，2，3， ， ， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 3 . 5．已知为抛物线：的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，且的最小值为． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，求的长． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设为点到的距离，通过，说明当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，取得最小值，转化求解即可． （2）联立，得，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可． 【详解】（1）设为点到的距离， 则由抛物线定义知，， 所以当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时， 取得最小值， 即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立， 得，、， 显然，，， 所以， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第3卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（三） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若复数是纯虚数，则实数a的值为（（   ） A．1 B．2 C．1或2 D． 4．已知命题，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．不等式 的解集是 （    ） A． B． C． D． 6．若，且角的终边经过点，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．在同一坐标系中，函数与函数（，且）的图像可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，若与方向相反，则（ ） A．0 B． C． D． 10．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知等差数列中，，则（  ） A．24 B．36 C．48 D．96 12．如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   13．如果二次函数图象的顶点是，并且它的图象经过点，那么这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 14．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 15．已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为（   ） A． B． C． D． 17．儒家五常是由孔子，孟子和董仲舒等人逐步提出的，儒家五常指的是“仁，义，礼，智，信”.若将“仁，义，礼，智，信”排成一排，则“仁”排在首位，且“智，信”相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 18．随机变量X的分布列如下: X 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 20．下列说法中不正确的是（    ） A．正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是 B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1 C．正弦函数在上都是减函数 D．余弦函数在上都是减函数 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．设函数，则 ． 22．计算 . 23．已知是方程的两根，则 ． 24．灯具厂生产吊灯、台灯和壁灯，产量比为3：4：3.吊灯次品率为2%，台灯次品率为1.5%，壁灯次品率为2.5%.现随机抽取一盏灯，该灯是次品的概率是 . 25．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 . 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1．为了鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.小华按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能材料.已知这种节能材料的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月销量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：. (1)当销售单价定为多少时，小华每月获得的利润最大？并求出最大利润； (2)若物价部门规定，这种节能材料的销售单价不得高于元.如果小华想要每月获得的利润不低于元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 2．已知是等差数列，是的前n项和，，，是等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 3．如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 4．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列及数学期望． 5．已知为抛物线：的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，且的最小值为． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $